高中数学基础知识之集合篇

高中数学基础知识之集合篇 思维导图，介绍了集合间的基本关系、集合的运算、集合的基本概念及其表示方法的知识。

高中数学基础知识之集合

集合的运算

并集

概念

文字语言

一般的，由所有集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A和集合B的并集，记作AUB，读作A并B

符号语言

AUB={x|x∈A，或x∈B}

图形语言

Venn图

性质

AUA=A

任何集合与其本身的并集等于这个集合的本身

AUØ=A

任何集合与空集的并集等于这个集合本身

拓展

常用结论

A⊆（AUB），B⊆（AUB）

A⊆B⇔AUB=B

交集

概念

文字语言

一般的，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作A交B

符号语言

A∩B={x|x∈A，且x∈B}

图形语言

Venn图

性质

A∩A=A

任何集合与其本身的交集等于这个集合本身

A∩Ø=Ø

任何集合与空集的交集都为空集

拓展

全集与补集

全集

概念

一般的，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U

补集

概念

文字语言

对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集，简称为集合A的补集，记作∁uA

符号语言

∁uA={x|x∈U，且x∉A}

图形语言

Venn图

性质

拓展：德·摩根定律（反演律）

集合运算中的元素的个数问题

容斥原理

证明过程

集合的基本概念及其表示方法

集合的概念

元素

研究的对象统称为元素，常用小写字母a，b，c…表示

集合概念中的研究对象是元素，研究集合问题的核心是研究集合中的元素，首先要明确集合中的元素是什么

集合

一些元素组成的总体叫做集合，简称集，常用大写字母A，B，C…表示

集合概念的理解

描述性

集合是一个原始的不加定义的概念，同点、线、面一样只是描述性的说明

整体性

集合是一个整体，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体

广泛性

组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物

注意：不是所有的对象都能组成集合，只有具有明确的标准，可以判断是否在集合内的对象才能组成集合

元素与集合的关系

属于

a是集合A中的元素，a属于集合A，a∈A

不属于

a不是集合A中的元素，a不属于集合A，a∉A

提示

1.元素a与集合A的关系至于属于与不属于两种结果

2.∈和∉具有方向性，符号的左边是元素，右边是集合

集合中元素的三个特征

确定性

给定的集合，元素必须是确定的

判断一组对象能够组成集合的依据

互异性

给定集合种的元素是互不相同的，即集合种的元素是不重复出现的

判断组成集合的元素的个数的关键

无序性

集合中的元素没有先后顺序，即改变元素的排列仍然表示同一个集合

元素的确定即确定了集合，与元素之间的排列顺序无关

集合的分类

按元素的属性分

数集（元素是数）

{x|y=x²}表示使y=x²有意义的x的取值范围

点集（元素是点）

{（x，y）|y=x²}表示满足y=x²的点的集合

其他集合

按元素的个数分

有限集（元素个数有限）

拓展1：有限集的子集个数

推导过程

集合{a}中元素个数1，所有子集数2：{a}，Ø 集合{a，b}中元素个数2，所有子集数4：{a} {b} {a，b} Ø

有限集合元素个数n，子集个数2^n

有限集合A中存在n个元素时

子集数：2ⁿ 个

真子集数：2ⁿ -1 个

非空子集数：2ⁿ -1 个

非空真子集数：2ⁿ -2 个

拓展2：对于有限集合A,B,C若集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素（m，n∈N*，且m＜n）

若B⊆C⊆A，则不同集合C的个数为2^(n-m)

若B⊆C⫋A，则不同集合C的个数为2^(n-m) -1

若B⫋C⫋A，则不同集合C的个数为2^(n-m) -2

无限集（元素个数无限）

常用的数集及其记法

常见数集

正整数集N*(N+)

自然数集N

整数集Z

有理数集Q

实数集R

常见数集之间的关系

N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R

集合的表示方法

列举法

{1，2，3}

元素和元素之间用逗号隔开，元素必须明确且不重复，元素可以是任何事物

描述法

实数集R中，有限小数和无循环小数都具有q/p（q∈Z，p∈Z，p≠0）的形式的数组成有理数集，即有理数Q表示为Q={x∈R|x=q/p，q∈Z，p∈Z，p≠0}

不能出现未被说明的字母

图示法

Venn图

集合间的基本关系

子集

若集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集

相等

若A⊆B，且B⊆A，则A=B

真子集

若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集

空集

不含任何元素的集合叫做空集，表示为Ø，并规定空集是任何集合的子集

Ø⊆A，Ø⫋B（B≠Ø）

1.∈表示元素和集合的关系，⊆及⫋表示的是两个集合之间包含和真包含的关系 2.A⊆B⇔A=B或A⫋B（B≠Ø） 3.若A⫋B，则B中至少有一个元素不属于A 4.若集合P中存在不属于集合Q的元素，则集合P不包含于Q，或Q不包含于P，分别记作P⊈Q，或Q⊈P 5.集合的子集和真子集具有传递性，即 ①若A⊆B，B⊆C，则A⊆C ②若A⫋B，B⫋C，则A⫋C

特殊符号： 1.⊆ 包含于 2.⫋ 真包含于 3.⊊ 真包含于 4.⊄ 不包含于 或 不属于(几何) 【 l⊄α：直线l在平面α外】 5.⊂ 属于(几何)【l⊂α：直线l在平面α内】 6. Ø 空集 7.∈ 属于 ∉ 不属于