考研管综数学基础知识点

管综数学 考研，数学零基础知识点，内容有算术、整式、分式、函数、方程和不等式、数列，欢迎大家学习。

管综数学零基础

• 算术
  • 实数-R
    • 实数的分类
      • 有理数
        • 整数-Z
          • 自然数-N
            • 0
              • 最小的自然数
            • 正整数
              • 1
                • 最小的正整数
              • 质数
              • 合数
          • 负整数
        • 分数
          • 正分数
          • 负分数
      • 无理数
    • 整数与自然数
      • 整数-Z
        • 正整数
        • 0
        • 负整数
      • 自然数-N
        • 0
        • 正整数
      • 整数的加、减、乘运算是封闭的
    • 整除
      • 数的除法
        • 当整数a除以正整数b，商为q，余r，则 a = bq + r（r=0，1，2，……，b-1）
          • 被除数（整数） = 除数（正整数） × 商（整数） + 余（自然数，且＜除数-1） 重要性质：a -r能被b整除
        • 当r = 0时，称a能被b整除或b能整除a，记为b|a
      • 特点
        • 能被2整除的数：个位为0，2，4，6，8.（偶数）
        • 能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整数
        • 能被5整除的数：个位为0或5
        • 能被10整除的数：个位必为0
        • 能被4整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4整数
        • 能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件
        • 能被8整除的数：末三位（个位、十位和百位）数字必能被8整除
        • 能被9整除的数：各数位数字之和必能被9整除
        • 能被11整除的数：从右向左，奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除（也包括0）
      • 倍数和约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数
        • 0为任意非零整数的倍数
    • 公倍数与公约数
      • 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的叫作这几个数的最小公倍数
      • 几个数公有的约束，叫作这几个数的公约数；其中最大的叫作这几个数的最大公约数
      • 最小公倍数求法
        • 1.分解质因数→可求最大公约数 （短除法）
        • 2.公式法
      • 最小公倍数：[a，b]
      • 最大公约数：（a，b）
      • 求约数个数
        • 先分解质因数，将所有因数的次方加1之后相乘可得结果 例如1200000 = 2^7 * 3 * 5^5，则约数个数（7+1）×（1+1）×（5+1）= 96个
      • mn = [m，n]×（m，n）——两数之积=最小公倍数×最大公约数
        • x=ka，y=kb，最大公约数=k，最小公倍数=kab，xy=k²ab=k×kab
      • a|bk，（a，k）= 1 —>a|b
    • 奇数与偶数
      • 奇数
        • 不能被2整除的整数，表示为2k+1（k∈Z）
      • 偶数
        • 能被2整除的整数，表示为2k（k∈Z）
      • 奇数、偶数都在整数范围，0属于偶数； 两个相邻的整数必有一奇一偶
      • 运算性质
        • 加减±
          • 奇奇偶、奇偶奇、偶偶偶
          • 任意多个偶数相加（相减）仍为偶数
          • 偶数个奇数相加（相减）为偶数，奇数个奇数相加（相减）为奇数
        • 乘积×
          • 奇奇奇、奇偶偶、偶偶偶
          • 偶数×整数=偶数
    • 质数与合数
      • 正整数分为质数、合数和1；0不属于正整数
      • 质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫质数，也称为素数
      • 合数：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫合数
      • 互质数：公约数只有1的两个数成为互质数
        • 1和任何自然数互质
        • 相邻的两个自然数互质
        • 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
        • 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
        • 如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1
      • 重要性质
        • 1不是质数也不是合数
        • 质数和合数都在正整数范围，且有无数多个
        • 20以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19
          • 两个质数相差为2的有（3，5）（5，7）（11，13）（17，19） 两个质数相差为1的只有（2，3）这组数
        • 2是唯一一个既是质数又是偶数的整数，即是唯一的质偶数
          • 大于2的质数必为奇数，最小的质数是2，最小的合数是4
        • 如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2
        • 若质数p|ab，则必有p|a，p|b
        • 若正整数a，b积是质数p，则必有a=p或者b=p
    • 有理数与无理数
      • 有理数
        • 整数-Z
          • 完全平方数
            • 若一个数能表示成某个整数的平方形式，则称这个数为完全平方数，eg：0，1，4，9，16……
        • 分数
          • 有限小数、无限循环小数
          • 正分数
          • 负分数
      • 无理数
        • 无限不循环小数
      • 任何有理数都都可以写成n/m（m，n∈Z，且m≠0）
      • 无理数无法表示成分子和分母都是整数的分数
      • 有理数与无理数之间的运算性质
        • 有理数（±、×、÷）有理数 = 有理数
        • 无理数（±、×、÷）无理数 = 不一定是无理数（不确定）
        • 无理数（±）有理数=无理数
        • 非0有理数（×，÷）无理数=无理数
        • a，b是有理数，α是无理数，且a+αb=0 → a=0，b=0
      • 无理数的平方及配方
      • 有理化变形
        • 利用平方差公式进行有理化
    • 相反数：a + b = 0
    • 倒数：ab = 1
    • 算术平方根：算术平方根为非负的平方根
    • 其他公式
      • 实数的乘方运算a≠0时
        • a⁰=1
        • a⁻ⁿ=1/aⁿ
        • aˣaⁿ=aˣ⁺ⁿ
        • (aˣ)ⁿ=aˣⁿ
        • aˣ/aⁿ=aˣ⁻ⁿ
        • 负实数的奇数次幂为负实数，负实数的偶数次幂为正实数
      • 实数的开方运算
        • 负实数无偶次方根；0的偶次方根为0；正实数的偶次方根有两个且互为相反数
        • a>0时，a的平方根是±格√a
        • a的ⁿ/ˣ次=ˣ√aⁿ
        • 乘积的方根：ⁿ√ab=ⁿ√a×ⁿ√b
        • 分式的方根：ⁿ√b分之a=ⁿ√b分之ⁿ√a
        • 根式的方根：(ⁿ√a)ˣ=ⁿ√aˣ
        • 根式的化简：ˣⁿ√aʸⁿ=ˣ√aʸ
        • 分母有理化
      • ab±n(a+b)=(a±n)(b±n)-n²
      • 非整除
        • 同余与剩余定理
          • 余同：公倍数加余 和同：公倍数加和 差同：公倍数减差
          • 若除数与余数无规律，先分析个位数特征 ，再逐一列举，锁定目标值，最后用余数不变定理调范围
        • 余数不变定理：被除数加除数k倍除以除数，余数不变 eg.20÷3余2→（20k+3k)÷3也余2
  • 比与比例
    • 基本概念
      • 比：两个数相除，又称这两个数的比，即a:b=a/b（b≠0）
      • 比例：如果两个比a:b和c:d的比值相等，则称a、b、c、d成比例，记为：a:b=c:d或a/b=c/d，其中a和d称为比例外项，b和c称为比例内项
      • 比例中项：当a:b=b:c时，称b为a，c的比例中项
      • 比例的基本性质
        • 更比定理：
        • 反比定理：
        • 合比定理：
        • 分比定理：
        • 合分比定理：
        • 增减性定理（a，b＞0）
        • 等比定理：
    • 正比和反比
      • 正比：若y = kx（k ≠ 0，k为常数），则称y与x成正比，k为比例系数
        • 并不是x和y同时增大或减小才称为正比，比如k<0时，x增大时，y反而减小
      • 反比：若y = k/x（k ≠ 0，k为常数），则称y与x成反比，k为比例系数
  • 数轴与绝对值
    • 数轴：规定了原点正方向和单位长度的直线叫数轴
      • 所有的实数都可以用数轴上的点来表示
      • 数轴上右边的数总比左边的大
      • 两个负数相比较，绝对值大的反而小
    • 绝对值
      • 实数a的绝对值可以用|a|表示，
      • 几何意义
        • 是一个实数a在数轴上所对应的点到原点的距离
        • |a-b|为a，b两点间的距离
      • 性质
        • 非负性：|a| ≥ 0，任何实数的绝对值非负
        • 自比性：-|a| ≤ a ≤ |a|，推广为
        • 等价性：
        • 对称性：|-a| = |a|
      • 基本不等式
        • -|a|≤a≤|a|
      • 三角不等式
        • ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
          • 左异右同，可以为零(左部分等号，ab异号)
        • ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
          • 左同右异，可以为零
      • 最值问题典型(重点)采用以上方法
        • y=|x-a|+|x-b|
        • y=|x-a|-|x-b|
        • y=|x-a|-|x-b|
        • y=|x-a|+|x-b|+|x-c|
        • y=|x-a|+m|x-b|-n|x-c|
        • 自变量属于某一区间
  • 均值与方差
    • 算术平均值
      • x⁻=x₁+x²+…+xₙ÷n
    • 几何平均值
      • G=ⁿ√x₁x₂x₃…xₙ，x>0
    • 方差(x⁻为平均值)
      • S²=1/n×[(x₁-x⁻)²+(x₂-x⁻)²+…+(xₙ-x⁻)²] =1/n×[(x₁²+x₂²+…+xₙ²)-nx⁻²]
    • 标准差
      • S=√S²
    • 均值不等式
      • 算术平均值大于等于几何平均值
        • x₁+x²+…+xₙ÷n≥ⁿ√x₁x₂x₃…xₙ
      • 几个基本不等式
        • a+b≥2√ab(a，b，c均为正数，a=b时等号成立)
        • a+b+c≥3׳√abc(a，b，c均为正数，a=b=c时等号成立)
        • a²+b²≥2ab，(此不等式恒成立，a=b时等号成立)
    • 对勾函数
      • y=x+1/x(或y=ax+b/x，a，b≠0)
        • x>0时，函数有最小值2；x<0时，函数有最大值-2
• 整式、分式
  • 整式
    • 定义：单项式与多项式统称为整式
      • 单项式：数字与字母的积，如3x²
      • 多项式：几个单项式的和叫做多项式
    • 四则运算
      • 加减法：只需合并同类项，减法是加法的逆运算
      • 乘法：每个整式的各项要互相乘，再合并同类项
      • 常用公式
        • (a±b)²=a²±2ab+b²
        • (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
          • a²+b²+c²±ab±ac±bc=½[(a±b)²+(a±c)²+(b±c)²] 若1/a+1/b+1/c=0，则(a+b+c)²=a²+b²+c²
        • a²-b²=(a+b)(a-b)
        • (a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b²
        • a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)
          • 常把1看作1³：x³±1=(x±1)(x²∓x+1)
      • 除法
        • 整式F(x)除以整式f(x)的商式为g(x)，余式为r(x)，则有F(x)=f(x)g(x)+r(x)，并且r(x)的次数要小于f(x)的次数
        • 多项式被另一整式整除，后者即是前者的因式
          • eg：如果多项式 f(x) 能够被整式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0(当 f(x)=0 时)。
        • 当r(x) = 0，F(x) = f(x)g(x)，此时称F(x)能被f(x)整除，记作f(x)|F(x)
        • 因式定理
          • f(x)含有(ax-b)因式↔f(x)能被(ax-b)整除↔f(b/a) = 0
          • f(x)含有(x-a)因式↔f(x)能被(x-a)整除↔f(a) = 0
    • 因式分解
      • 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫分解因式
      • 公式法，十字相乘法，分组分解法
        • ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x-c₂)，其中a=a₁a₂，c=c₁c₂，并且b= a₁c₂+a₂c₁
  • 分式
    • 形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B≠0的式子叫做分式；其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母
    • 分式的运算
    • 基本性质
• 函数、方程和不等式
  • 一元一次函数、方程和不等式
    • 一元一次函数
      • 形如y=ax+b（a≠0）的函数叫一元一次函数，其图像是一条直线，a为斜率，b为直线在y轴上的截距
    • 代数方程一元一次方程形式
      • ax+b=0（a≠0），根为x=-b/a
    • 不等式一元一次不等式形式
      • ax+b>（＜，≥，≤，≠）0，（a≠0）
      • 解法：将所给一元一次不等式为标准型ax>b（a≠0）或ax<b（a≠0）后，不等式两边同除以未知数x的系数a。 注意：当a>0时，不等号方向不变，a<0时，不等号方向改变
  • 一元二次函数、方程和不等式
    • 一元二次函数及性质
      • 形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫做一元二次函数，其图像为一条抛物线。当a>0时开口向上，a<0时开口向下
      • 函数y=ax²+bx+c（a>0）性质
        • 顶点是
        • 对称轴为
        • 值域为
        • 单调递增区间
        • 单调递减区间
    • 一元二次方程及运算
      • ax²+bx+c=0（a,b,c∈R，a≠0）
      • 根的判别式
        • △ = b² - 4ac
        • △>0时，方程有两个不相等的实根，x₁,x₂=
        • △=0时，方程有两个相等的实根，x₁,x₂=
        • △<0时，方程没有实根
      • 根与系数的关系，设方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根x₁,x₂，则有
    • 一元二次不等式及解法
      • 标准形式
        • ax² + bx + c > 0（a>0）
        • ax² + bx + c < 0（a>0）
      • 解集
        • ax² + bx + c > 0（a>0），解集为x<x₁或x>x₂（x₁<x₂），即取两边
        • ax² + bx + c > 0（a>0），解集为x₁<x<x₂（x₁<x₂），即取中间
    • 一元二次函数，方程，不等式的关系
  • 均值不等式
    • 平均值定义
      • 几何平均值只对正实数有定义，而算术平均值对任何实数都有定义
    • 均值定理
    • 常用的均值不等式
    • 均值不等式的应用
      • “一正”—— 各项为正
      • “二定”—— 和或积为定值（有时需通过“凑配法”凑出定值）
      • “三相等”—— 等号能否取到
      • 用基本不等式求最值，先验证给定式子是否满足最值三条件 然后利用上述不等式公式才可以求出最值
  • 绝对值函数、方程、不等式
• 数列
  • 基本概念
    • 按照一定次序排列的一列数叫做数列
    • 通项公式：
  • 等差数列
    • 通项公式
    • 如果a，b，c成等差数列，那么b叫做a和c的等差中项，这时必有b - a = c -b，即2b = a + c
    • 前n项和
    • 重要性质
      • 子主题
  • 等比数列
    • • 等比数列中任意一元素均不为0
    • 通项公式
    • 等比中项
      • 若a，b，c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，即ac = b²
    • 前n项和
      • • 当公比q的绝对值|q| < 1时，称该数列为无穷递缩等比数列，它的所有项的和
    • 重要性质
• 2⁰¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹⁺⁻⁼⁽⁾ⁿ