材料力学思维导图

本笔记涵盖了材料力学的方方面面，包含有应力，应变能，轴向拉伸，剪切，扭转，弯曲受力，弯曲形变组合变形问题，强度理论等内容。内容详略得当，精良丰富，包含公式推导，知识总结，题型总结等等。

材料力学

• 内力
  • 轴力
  • 扭矩
  • 剪力
  • 弯矩
• 应力应变
  • 应力
    • 作用于物体内部单位面积上的内力
  • 应变
    • 线应变
      • 单位长度上的形变
    • 角应变
  • 扩展
    • 应力集中
    • 温度应力
• 应变能
  • 复杂组合构件的形变分析
  • 第四强度理论的前置公式
• 形变
  • 拉压
    • 低碳钢的拉伸试验
      • 弹性阶段
      • 屈服阶段
      • 加强阶段
      • 局部变形阶段
  • 剪切
  • 扭转
    • 惯性矩
      • 对形心
  • 弯曲
    • 最大切应力分析
      • 惯性矩
        • 对截面
    • 弯曲变形
      • 挠度
      • 转角
      • 曲率
      • 压杆稳定性
• 组合形变
  • 基本分析方式
    • 单元体
  • 拉压+弯曲
  • 扭转+弯曲
• 应力状态
  • 平面应力状态
  • I形梁的应力分析
• 强度理论
  • 四个强度理论
    • 根据
    • 应用
• 假设
  • 1. 均匀连续性
    • 认为整个体系内无空隙 力学性能均匀
  • 2. 各向同性假设
    • 认为材料各个不同方向的力学性能相同
  • 3. 圣维南定理（横截面应力分布均匀）
  • 4. 剪切时受压面认为为垂直力的截面
  • 5. 形状、大小不变、横截面上相邻圆截面绕轴线发生相对转动
  • 6. 弯曲中忽略切应力
  • 7. 挠曲线的近似
• 方向判断

应力

• 应力
  • 类似压强
  • 定义
    • 作用于物体内部单位面积上的内力
    • 由圣维南定理（横截面应力分布均匀）可得
    • 单位
  • 实际上的应力分布
• 应变
  • 单位长度上的形变
  • 子主题
• 应力集中
  • 因杆件外形引起的局部应力急剧增大的现象
    • 在开孔，沟槽，螺孔等截面突变处
  • 应力集中系数
    • • 带圆孔的薄板k≤3
  • 对材料的影响
    • 塑性
      • 因为屈服现象，应力会传导给附近分摊。故影响不大
    • 脆性
      • 当最大应力大于抗拉强度后，材料发生断裂，而断裂又会加强附近应力集中的现象
  • 软件
    • MARC
• 温度应力
  • （热胀冷缩）
  • 公式
  • 等效力的效应有
  • 温度应力及残余应力的分析
    • 焊接
    • 分析非受限时的变形和受限时的变形

应变能

• 单向外力下的应变能计算
  • 应变能=外力做功
  • 由胡克定理有
    • 单杆时
      • • • 应变能密度
  • 用于求解复杂构件体的应变问题
    • 设总应变为L，有
    • 分析各杆件受力并算出其应变能
    • W=E求出L即可
• 各应变能求解
  • 各向同性材料
  • 应变能
    • 应变能=体积改变能密度+畸变能密度
    • 体积改变能密度
      • • 主应力相等时，仅发生体积改变
    • 畸变能密度
      • 物体形状改变时储存的能量
  • 应变能的求解
    • 代入广义胡克定律，有
  • 体积改变能的求解
    • 由体积改变
      • • 即单元体的体积改变仅与三个主应力之和相关
        • 得：
    • 令
      • 有
  • 畸变能的求解
    • 由：应变能密度=畸变能密度+体积改变能密度
    • 有
      • 得
        • 强度理论

轴向拉伸

• 定义
  • 轴向拉压
    • 轴向
      • 作用在杆上外力合力的作用线与杆的轴线重合
• 形变规律
  • 纵向
    • 现象
      • 拉伸
    • 规律
    • 推导
      • • 定义该比例为弹性模量E 反应材料抵抗弹性形变的能力
          • 得
        • F、l、A不相干
      • 纵向线应变
        • 由公式1，2，3得
          • 得
  • 横向
    • 现象
      • 压缩
        • 横向线应变
    • 规律
    • 推导
      • • 定义横向线应变与纵向线应变比值为泊松比μ
          • • 得
            • 又称横向型变系数
• 校核
  • • 对塑性材料为屈服极限 脆性材料为抗拉强度
• 弹性，塑性
  • 特点
    • 塑性
      • 发生形变的能力
    • 脆性
      • 直到拉断，试件的变形很小，横截面积近乎无变化（脆性断裂）
      • 以抗拉强度做强度指标
  • 塑性指标
    • 伸长率
      • 式样拉断后标距部分增加的长度与标距长度的百分比
      • • 原标距长度
        • 拉断后长度
      • 区分塑性，脆性材料
        • • 塑性材料
          • 低合金钢、碳素钢、青铜
        • • 脆性材料
          • 铸铁、混凝土、石料
    • 断面收缩率
  • 反应材料强度的指标
    • 屈服极限
      • 应力首次下降的最低值称为下屈服点，即屈服点，屈服极限
      • 若塑性材料无明显屈服阶段 则取产生0.2%塑性应变时的应力值为屈服强度，记
    • 抗拉强度
      • 即能承受的最大应力
  • • 塑性指标
      • 伸长率
      • 断面收缩率
    • 强度指标
      • 屈服极限
      • 抗拉强度
• 压缩试验
  • 压缩
  • 对多数塑性材料
    • 低碳钢
    • 弹性极限和屈服极限与拉伸基本相同
      • 适用于抗拉构件
  • 对脆性材料
    • 铸铁
    • 抗压强度远比抗拉强度高
      • 适用于抗压构件
• 拉伸实验
  • 常温、静载
  • 常温，静载下实验
  • 过程
    • 1. oa弹性阶段
      • 发生弹性形变
        • 卸力后变形完全消失
          • 比例极限
            • 即应力应变维持比例的最大应变值
          • 弹性极限
            • 不发生塑性形变的最大应力
    • 2. bc屈服阶段
      • 屈服
        • 应力不在增加，有些微小的波动 应变急剧增加一直到c点 产生塑性形变
          • 滑移线
            • 将试样抛光，表面会有许多与轴线成45°的条纹
            • 此时，切应力最大 值为屈服时试件横截面上的正应力的一半
            • 联系应力状态
          • 屈服极限
            • 应力首次下降的最低值称为下屈服点，称为屈服点，屈服极限
    • 3. ce强化阶段
      • 强化
        • 材料恢复抵抗变形的能力 要使它继续变形，需增加应力 这种现象称为强化
          • 发生塑性形变
            • 在d点慢慢卸去外力 曲线会沿与oa近乎平行的直线下降至0 有部分变形残留
          • 性质改变
            • 强化后比例极限，屈服点变大
              • 承载能力上升
            • 塑性变形相对减小
              • 即塑性降低
          • 冷拉
            • 例
              • 冷轧钢，冷拔钢丝
                • 由于加工硬化降低了材料的塑性 不利于继续轧制和拉拔 须要退火处理恢复塑性
    • 4. ef局部变形阶段
      • 颈缩现象
        • 变形集中于某一段，横截面积出现局部迅速收缩
          • 随横截面积减小，实际应力迅速增大，F减小，原面积求出的名义应力逐渐减小
          • 抗拉强度（轻度极限）
            • 即能承受的最大应力

剪切

• 实例
• 受力特点
  • 大小相等
  • 方向相反
  • 作用线相邻
• 形变
  • 交界面发生相对错动
  • 挤压面发生压缩
  • 拉深件发生拉伸
• 校核
  • 对剪切构件通常需要进行三种校核
    • 对剪切面的剪应力校核
    • 对挤压面的压应力校核
      • • 挤压面积常取圆柱的截面
    • 对拉伸件的拉应力校核
• 许用应力的取值

扭转

• 受力
  • 扭矩
    • 扭矩方向
      • 在纸平面上，左上右下
    • 扭矩功率公式
      • 即当轴的传递功率为1KW，转速为1r/min时 其受到的力矩为9550N·m
• 现象
  • 宏观
    • 形状、大小不变、横截面上相邻圆截面绕轴线发生相对转动
  • 微观
    • 单元体
      • 平衡力偶
        • 物体扭转时，单元体两侧收到一对力偶作用，力偶使单元体有旋转的趋势 而实际上单元体在扭转后处于平衡状态，即必然存在另一力偶使单元体平衡，即平衡力偶
• 线应变
  • • 半径
    • 单位长度上的扭转角
  • 应力应变关系
    • 剪切胡克定律
    • • G
        • 剪切弹性模量
• 切应力与扭矩的关系
  • 取横截面观察
  • 得
    • 横截面上所有切应力对圆心的力矩之和=M
    • • • 得
    • 故有
• 校核
  • • 简化
      • 实心
      • 空心
• 步骤
  • 1. 分析扭矩
    • 正负
      • 平面上
        • 左上，右下
  • 2. 对形心的极惯性矩
  • 3. 最大切应力（强度校核）
    • • 实心
      • 空心
  • 4. 形变（刚度校核）
• 对于
  • 剪切弹性模量G
  • 弹性膜性模量E
  • 泊松比μ
  • 有

弯曲

• 纯弯曲
  • 只受力矩情况下的弯曲
  • 为什么忽略切应力
    • 对于l/h>5的杆其切力产生的翘曲对形变影响很小，不占主要部分
    • 对于长宽比=5的杆件 切应力产生的形变仅为1%
• 由实际到理论
  • 受力及物体简化
    • 载荷简化
• 宏观
  • 剪力弯矩分析
    • 正负
      • 剪力
        • 左上右下
          • 即左侧合力向上/右侧合力向下
      • 弯矩
        • 下弯为正
  • 弯矩图
    • 找最大弯矩及由弯矩分析弯曲状况
  • 关于q，F，M间的联系
    • 有
• 微观
  • 中性层
    • 弯曲时形变为0
    • 在与力垂直方向上
    • 求法
  • 形变分析
    • • y
        • 到中性层的距离
  • 应力分析
    • • 1/r
        • 曲率
  • 受力分析
    • 在横截面上
      • 合力为0
        • • 得中性层
          • 简化后有
            • • Sixi为各成分形心及形心到假定轴的距离
      • 对z轴合力矩=M
        • • 有
            • 得曲率
            • M弯矩
              • 外力弯矩
            • Iz惯性矩
              • • 与截面大小和形状有关
                • 求组合体时
                  • 确定组合体各部分到中性层的距离，分别求定积分
                • 规则图形
                  • 对于圆
                    • 有Ir=2Iz
                    • • 先用r求，再转化为Iz
                  • 直接代入面积公式即可
            • EI称为抗弯强度
• 解题步骤
  • 分析最大应力
  • 求惯性矩
    • • 与截面大小和形状有关
      • 求组合体时
        • 确定组合体各部分到中性层的距离，分别求定积分
      • 规则图形
        • 对于圆
          • 有Ir=2Iz
          • • 先用r求，再转化为Iz
        • 直接代入面积公式即可
  • 求受力截面的中性层以确定最大应力处位置
    • • 简化后有
        • • Sixi为各成分形心及形心到假定轴的距离
  • 由受力分析得剪力图，弯矩图
  • 分析力矩
  • 分析受力
• 提高梁强度的措施
  • 降低最大弯矩
  • 合理的截面（T形）
  • 等强度梁
• 切应力
  • 假设
    • 切应力与剪力平行
    • 沿宽度均匀分布
  • 推导
  • 公式
  • 最大切应力位于中央
  • 例题
• 得

弯曲形变

• 挠曲线
  • 梁弯曲后形成的曲线
  • 梁弯曲后的曲线
  • • • 推导：
        • 由数学关系得：
        • 同时纯弯曲时曲率：
        • 故有
          • 近似
            • 忽略了剪力影响
          • 得
    • 得
  • 叠加原理
    • 载荷都在同一方向
  • 求法
    • 微分法
    • 代入条件
      • 边界条件
        • 铰支座
        • 固定端
      • 连续条件
• 例题
• 压杆稳定性
  • 失稳
    • 轴向受力的细长杆当所受压力达到/超过一定数值时，杆突然弯曲
      • 称该值为Fcr
  • 欧拉公式:
    • 推导
      • 由于弯曲，各截面上有弯矩
        • 当
          • Fcr=M/δ
      • 由挠曲线方程可得曲率
        • 有:
          • 解得
            • 代入边界条件/临界条件有:
  • 欧拉公式的适用范围
    • 临界应力
      • • 令
          • 有
    • 压杆的应力不超过比例极限
      • 即
        • 有柔度
    • 有
  • 计算步骤
    • 1. 计算
      • 惯性矩
      • 惯性半径
      • 柔度
      • 极限柔度
    • 2. 按柔度
      • 经验公式
      • 欧拉公式

组合变形

• 弯曲+拉伸
  • • 微观上应力分析后叠加
      • 同向
• 弯曲+扭转
  • 取单元体有
  • 计算得
  • 校核
• 例题

应力状态

• 情景
  • 拉伸试验中，低碳钢在屈服阶段产生与轴向成45°的滑移线
  • 铸铁圆杆在扭转时沿45°螺旋面断裂
• 应力状态
  • 受力构件内某一点的各个截面上的应力情况
  • 拉伸
  • 主平面
    • 切应力为0的平面
• 平面应力状态
  • 主要计算
  • 假设一斜截面
    • 有
      • 特别的
      • 不难得
        • 这是一个圆的方程，这个圆称为应力圆
          • 单元体上半圈等于应力圆上一圈
        • 可得
          • 分别令（），τ=0
          • • 方位
              • τ=0，代入τα的公式，不难得
              • 当x上应力大于y上应力时，α为最大应力的方向，α+90°为最小应力的方向 反之反之
• 三向应力状态
  • 分别分析三个垂面上的应力圆可作图
    • 可得
• 对于薄壁圆筒
  • 取最左侧一点
  • 作用于筒底的压力
  • z轴方向的正应力
  • y方向的正应力
    • • 应力
• 对于I形梁
  • 受力分析
    • S面上剪力，弯矩最大
  • 单元体分析
    • 1处正应力最大 （4处压应力最大）
    • 3处切应力最大
    • 2处正应力，切应力都较大
• 弯曲时的切应力
  • • 没推导 书上就这麽写的

强度理论

• 广义胡克定律
  • 综合三个面的拉压变形及其对垂直面上的影响有广义胡克定律：
  • 有
• 强度理论
  • 脆性
    • 第一强度理论
      • 最大拉应力理论
      • 引起材料发生脆性断裂的主要原因是最大压应力 即：
    • 第二强度理论
      • 最大伸长线应变理论
      • 引起材料发生脆性断裂的原因是线应变超过最大值 即：
  • 塑性
    • 第三强度理论
      • 最大切应力理论
      • 引起塑性屈服的主要因素是最大切应力
      • • 极限切应力的值为屈服时试件横截面上的正应力的一半
    • 第四强度理论
      • 畸变能密度理论
      • 引起塑性屈服的主要因素是应变能密度超过一极限值
  • 计算步骤
    • 1. 从危险点取单元体，计算出主应力
    • 2. 选择适当的强度理论，计算出相应的相当应力
      • 相当应力即由强度理论算出来的应力
    • 3. 确定许用拉应力校核应力
• 结论
  • 对于单向应力
  • 纯剪切应力
  • 单向应力与剪切应力组合
• 破坏形式
  • 分类
    • 脆性断裂
    • 塑性屈服
  • 破坏形式不仅与材料有关，也与应力状态相关
    • 铸铁再压缩时发生塑性屈服
    • 有环形凹槽的低碳钢由于应力集中发生脆性断裂
• 例题
  • 1
    • • 对于E，G，μ间关系的推导
  • 2
    • • 扭转均匀
  • 3