导图社区 材料力学思维导图
本笔记涵盖了材料力学的方方面面，包含有应力，应变能，轴向拉伸，剪切，扭转，弯曲受力，弯曲形变组合变形问题，强度理论等内容。内容详略得当，精良丰富，包含公式推导，知识总结，题型总结等等。
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材料力学
内力
轴力
扭矩
剪力
弯矩
应力应变
应力
作用于物体内部单位面积上的内力
应变
线应变
单位长度上的形变
角应变
扩展
应力集中
温度应力
应变能
复杂组合构件的形变分析
第四强度理论的前置公式
形变
拉压
低碳钢的拉伸试验
弹性阶段
屈服阶段
加强阶段
局部变形阶段
剪切
扭转
惯性矩
对形心
弯曲
最大切应力分析
对截面
弯曲变形
挠度
转角
曲率
压杆稳定性
组合形变
基本分析方式
单元体
拉压+弯曲
扭转+弯曲
应力状态
平面应力状态
I形梁的应力分析
强度理论
四个强度理论
根据
应用
假设
1. 均匀连续性
认为整个体系内无空隙 力学性能均匀
2. 各向同性假设
认为材料各个不同方向的力学性能相同
3. 圣维南定理（横截面应力分布均匀）
4. 剪切时受压面认为为垂直力的截面
5. 形状、大小不变、横截面上相邻圆截面绕轴线发生相对转动
6. 弯曲中忽略切应力
7. 挠曲线的近似
方向判断
类似压强
定义
由圣维南定理（横截面应力分布均匀）可得
单位
实际上的应力分布
子主题
因杆件外形引起的局部应力急剧增大的现象
在开孔，沟槽，螺孔等截面突变处
应力集中系数
带圆孔的薄板k≤3
对材料的影响
塑性
因为屈服现象，应力会传导给附近分摊。故影响不大
脆性
当最大应力大于抗拉强度后，材料发生断裂，而断裂又会加强附近应力集中的现象
软件
MARC
（热胀冷缩）
公式
等效力的效应有
温度应力及残余应力的分析
焊接
分析非受限时的变形和受限时的变形
单向外力下的应变能计算
应变能=外力做功
由胡克定理有
单杆时
应变能密度
用于求解复杂构件体的应变问题
设总应变为L，有
分析各杆件受力并算出其应变能
W=E求出L即可
各应变能求解
各向同性材料
应变能=体积改变能密度+畸变能密度
体积改变能密度
主应力相等时，仅发生体积改变
畸变能密度
物体形状改变时储存的能量
应变能的求解
代入广义胡克定律，有
体积改变能的求解
由体积改变
即单元体的体积改变仅与三个主应力之和相关
得：
令
有
畸变能的求解
由：应变能密度=畸变能密度+体积改变能密度
得
轴向拉伸
轴向拉压
轴向
作用在杆上外力合力的作用线与杆的轴线重合
形变规律
纵向
现象
拉伸
规律
推导
定义该比例为弹性模量E 反应材料抵抗弹性形变的能力
F、l、A不相干
纵向线应变
由公式1，2，3得
横向
压缩
横向线应变
定义横向线应变与纵向线应变比值为泊松比μ
又称横向型变系数
校核
对塑性材料为屈服极限 脆性材料为抗拉强度
弹性，塑性
特点
发生形变的能力
直到拉断，试件的变形很小，横截面积近乎无变化（脆性断裂）
以抗拉强度做强度指标
塑性指标
伸长率
式样拉断后标距部分增加的长度与标距长度的百分比
原标距长度
拉断后长度
区分塑性，脆性材料
塑性材料
低合金钢、碳素钢、青铜
脆性材料
铸铁、混凝土、石料
断面收缩率
反应材料强度的指标
屈服极限
应力首次下降的最低值称为下屈服点，即屈服点，屈服极限
若塑性材料无明显屈服阶段 则取产生0.2%塑性应变时的应力值为屈服强度，记
抗拉强度
即能承受的最大应力
强度指标
压缩试验
对多数塑性材料
低碳钢
弹性极限和屈服极限与拉伸基本相同
适用于抗拉构件
对脆性材料
铸铁
抗压强度远比抗拉强度高
适用于抗压构件
拉伸实验
常温、静载
常温，静载下实验
过程
1. oa弹性阶段
发生弹性形变
卸力后变形完全消失
比例极限
即应力应变维持比例的最大应变值
弹性极限
不发生塑性形变的最大应力
2. bc屈服阶段
屈服
应力不在增加，有些微小的波动 应变急剧增加一直到c点 产生塑性形变
滑移线
将试样抛光，表面会有许多与轴线成45°的条纹
此时，切应力最大 值为屈服时试件横截面上的正应力的一半
联系应力状态
应力首次下降的最低值称为下屈服点，称为屈服点，屈服极限
3. ce强化阶段
强化
材料恢复抵抗变形的能力 要使它继续变形，需增加应力 这种现象称为强化
发生塑性形变
在d点慢慢卸去外力 曲线会沿与oa近乎平行的直线下降至0 有部分变形残留
性质改变
强化后比例极限，屈服点变大
承载能力上升
塑性变形相对减小
即塑性降低
冷拉
例
冷轧钢，冷拔钢丝
由于加工硬化降低了材料的塑性 不利于继续轧制和拉拔 须要退火处理恢复塑性
4. ef局部变形阶段
颈缩现象
变形集中于某一段，横截面积出现局部迅速收缩
随横截面积减小，实际应力迅速增大，F减小，原面积求出的名义应力逐渐减小
抗拉强度（轻度极限）
实例
受力特点
大小相等
方向相反
作用线相邻
交界面发生相对错动
挤压面发生压缩
拉深件发生拉伸
对剪切构件通常需要进行三种校核
对剪切面的剪应力校核
对挤压面的压应力校核
挤压面积常取圆柱的截面
对拉伸件的拉应力校核
许用应力的取值
受力
扭矩方向
在纸平面上，左上右下
扭矩功率公式
即当轴的传递功率为1KW，转速为1r/min时 其受到的力矩为9550N·m
宏观
形状、大小不变、横截面上相邻圆截面绕轴线发生相对转动
微观
平衡力偶
物体扭转时，单元体两侧收到一对力偶作用，力偶使单元体有旋转的趋势 而实际上单元体在扭转后处于平衡状态，即必然存在另一力偶使单元体平衡，即平衡力偶
半径
单位长度上的扭转角
应力应变关系
剪切胡克定律
G
剪切弹性模量
切应力与扭矩的关系
取横截面观察
横截面上所有切应力对圆心的力矩之和=M
故有
简化
实心
空心
步骤
1. 分析扭矩
正负
平面上
左上，右下
2. 对形心的极惯性矩
3. 最大切应力（强度校核）
4. 形变（刚度校核）
对于
剪切弹性模量G
弹性膜性模量E
泊松比μ
纯弯曲
只受力矩情况下的弯曲
为什么忽略切应力
对于l/h>5的杆其切力产生的翘曲对形变影响很小，不占主要部分
对于长宽比=5的杆件 切应力产生的形变仅为1%
由实际到理论
受力及物体简化
载荷简化
剪力弯矩分析
左上右下
即左侧合力向上/右侧合力向下
下弯为正
弯矩图
找最大弯矩及由弯矩分析弯曲状况
关于q，F，M间的联系
中性层
弯曲时形变为0
在与力垂直方向上
求法
形变分析
y
到中性层的距离
应力分析
1/r
受力分析
在横截面上
合力为0
得中性层
简化后有
Sixi为各成分形心及形心到假定轴的距离
对z轴合力矩=M
得曲率
M弯矩
外力弯矩
Iz惯性矩
与截面大小和形状有关
求组合体时
确定组合体各部分到中性层的距离，分别求定积分
规则图形
对于圆
有Ir=2Iz
先用r求，再转化为Iz
直接代入面积公式即可
EI称为抗弯强度
解题步骤
分析最大应力
求惯性矩
求受力截面的中性层以确定最大应力处位置
由受力分析得剪力图，弯矩图
分析力矩
分析受力
提高梁强度的措施
降低最大弯矩
合理的截面（T形）
等强度梁
切应力
切应力与剪力平行
沿宽度均匀分布
最大切应力位于中央
例题
弯曲形变
挠曲线
梁弯曲后形成的曲线
梁弯曲后的曲线
推导：
由数学关系得：
同时纯弯曲时曲率：
近似
忽略了剪力影响
叠加原理
载荷都在同一方向
微分法
代入条件
边界条件
铰支座
固定端
连续条件
失稳
轴向受力的细长杆当所受压力达到/超过一定数值时，杆突然弯曲
称该值为Fcr
欧拉公式:
由于弯曲，各截面上有弯矩
当
Fcr=M/δ
由挠曲线方程可得曲率
有:
解得
代入边界条件/临界条件有:
欧拉公式的适用范围
临界应力
压杆的应力不超过比例极限
即
有柔度
计算步骤
1. 计算
惯性半径
柔度
极限柔度
2. 按柔度
经验公式
欧拉公式
组合变形
弯曲+拉伸
微观上应力分析后叠加
同向
弯曲+扭转
取单元体有
计算得
情景
拉伸试验中，低碳钢在屈服阶段产生与轴向成45°的滑移线
铸铁圆杆在扭转时沿45°螺旋面断裂
受力构件内某一点的各个截面上的应力情况
主平面
切应力为0的平面
主要计算
假设一斜截面
特别的
不难得
这是一个圆的方程，这个圆称为应力圆
单元体上半圈等于应力圆上一圈
可得
分别令（），τ=0
方位
τ=0，代入τα的公式，不难得
当x上应力大于y上应力时，α为最大应力的方向，α+90°为最小应力的方向 反之反之
三向应力状态
分别分析三个垂面上的应力圆可作图
对于薄壁圆筒
取最左侧一点
作用于筒底的压力
z轴方向的正应力
y方向的正应力
对于I形梁
S面上剪力，弯矩最大
单元体分析
1处正应力最大 （4处压应力最大）
3处切应力最大
2处正应力，切应力都较大
弯曲时的切应力
没推导 书上就这麽写的
广义胡克定律
综合三个面的拉压变形及其对垂直面上的影响有广义胡克定律：
第一强度理论
最大拉应力理论
引起材料发生脆性断裂的主要原因是最大压应力 即：
第二强度理论
最大伸长线应变理论
引起材料发生脆性断裂的原因是线应变超过最大值 即：
第三强度理论
最大切应力理论
引起塑性屈服的主要因素是最大切应力
极限切应力的值为屈服时试件横截面上的正应力的一半
第四强度理论
畸变能密度理论
引起塑性屈服的主要因素是应变能密度超过一极限值
1. 从危险点取单元体，计算出主应力
2. 选择适当的强度理论，计算出相应的相当应力
相当应力即由强度理论算出来的应力
3. 确定许用拉应力校核应力
结论
对于单向应力
纯剪切应力
单向应力与剪切应力组合
破坏形式
分类
脆性断裂
塑性屈服
破坏形式不仅与材料有关，也与应力状态相关
铸铁再压缩时发生塑性屈服
有环形凹槽的低碳钢由于应力集中发生脆性断裂
1
对于E，G，μ间关系的推导
2
扭转均匀
3
