第二章 一元函数微分学

第二章 一元函数微分学，其中利用导数定义判定可导性（难点，考的最多），例1：给出连续，求可导性和函数值和导数值。

第二章 一元函数微分学

• 一、导数与微分
  • 一、导数与微分的概念
    • 1、利用导数定义求极限
      • 例1：给出某点导数和函数值，求极限。法一：一般思想，凑成导数定义形式。法二：取特殊函数代入
      • 例2：给出导数存在，求1∞。法：通常三部曲
      • 例3：给出某点求极限，为某导数
      • 例4：导数的几何意义，给出公共切线，求极限。
    • 2、利用导数定义求导数
      • 例1：给出f(x)函数表达式，求某点导数。 法一：有导数定义求。法二：把非零项看成g(x)
      • 例2：分段函数分界点处求倒数。一般采用定义求。
      • 例3：由连续，给出极限，求函数值和导数值。
    • 3、利用导数定义判定可导性 （难点，考的最多）
      • 例1：给出连续，求可导性和函数值和导数值。
      • 例2：求可到的充要条件。需注意四个条件。好题
      • 例3：函数表达式由函数和绝对值组成，求某点的可到的充要条件
      • 例4：不可到点的个数。法一：因式分解。
      • 例5：求某点处不可导的充分条件
      • 例6：函数不直接给出，给出极限，求可导点
      • 例7：分段函数，（一）求满足连续的参数。（二）证明函数有连续的一阶导数
  • 二、导数的几何意义
    • 例1：求某点处切线方程
    • 例2：给出曲线参数方程，求某点处法线方程。
    • 例3：求极坐标在某点处切线和法线和直角坐标方程。
    • 例4：曲线与曲线相切，求参数。
  • 三、导数与微分的计算
    • 1、复合函数求导法
      • 例1：求某点二阶导
      • 例2：求某点导数
      • 例3：两个函数分段，求复合的导数
      • 例4：可以用链导法求
    • 2、隐函数求导法
    • 3、参数方程求导法
    • 4、反函数求导法
    • 5、对数求导法
    • 6、高阶导数
• 二、导数的应用
  • 一、函数的单调性、极值、最值（基本题）
    • 例1：给出变上限积分，求函数的单调区间和极值。上下限有x，被积函数有x，不能直接求，需拆项。注意对称美，偶函数，求出驻点后分类讨论。
    • 例2：给出隐函数，求极值。隐函数求导，左右两端同时求导。一阶导无法得出结果，需再求导。
    • 例3：给出某点导函数和二阶导极限。判断极大极小，与拐点。极限与极值关系，保号性。
    • 例4：给出一阶导、二阶导的方程。（一）x=a极值，求a值与判断极大或极小。（2）在x=1处取极值，判断极大或极小。
    • 例5：给出极限公式，讨论函数某点的极值。
  • 二、曲线的凹凸区间、拐点、渐近线及曲率（基本题）
    • 例1：给出二阶导和一阶导方程，求极值与拐点。
    • 例2：给出参数方程，求极值，与曲线的凹凸区间与拐点。
    • 例3：求曲线的斜渐近线与方程。（考的很多）
    • 例4：给出曲线的函数的复杂表达式，求曲线的渐近线条数。
    • 例5：求曲线的渐近线。
  • 三、方程根的存在性及个数（较难）
    • 方法思路： （1）存在性： 方法1：零点定理。 方法2：罗尔定理 （2）根的个数： 方法 1：单调性。 方法2：罗尔定理推论 罗尔定理推论： 若在区间 I 上，fⁿ(x) ≠0，则方程f(x) = 0 在 I 上最多有n个实根。
    • 例1：求证方程在区间上有实根。 解法：设方程 f(x) ， 使f′(x)为题目所给方程。用罗尔定理。
    • 例2：讨论方程根个数。利用单调性，设函数，求导，导函数为零，判断单调性和特殊值。
    • 例3：给出函数的变上限积分表达式，求零点个数。法一：单调性，求导，导函数为零，判断单调性和特殊值。
    • 例4：求证方程有多个实根。 采用罗尔定理推论
    • 例5：方程中带参数，确定实根个数。 求导，然后对参数进行讨论
    • 例6：给出带参数方程只有一个解，求参数的取值范围。
  • 四、证明函数不等式
  • 五、微分中值定理有关证明题
    • 1、证明存在一个点 ξ∈(a,b), 使 F[ξ, f(ξ), f′(ξ)] = 0
    • 2、证明存在两个中值点 ξ,η∈(a,b), 使 F[ξ,η, f(ξ), f(η),f′(ξ),f′(η)] = 0