第十九章 一次函数

人教版初中数学八年级下册第十九章《一次函数》知识点梳理，包含①函数（常量与变量、函数与函数值、函数的图像等）②一次函数（正比例函数及一次函数的图像与性质、待定系数法、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式及二元一次方程组等）

一次函数

• 函数
  • 常量与变量
    • 常量
      • 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量
        • 只能取同一数值
    • 变量
      • 在一个变化过程中，数值发生变化的量，叫作变量
        • 变量是指变化的数量本身，不包括相应固定的指数。如圆的面积公式S=πR²，其中R，S是变量
    • • 常量与变量在特定的关系中有特定的意义
      • 常量是相对于某一变化过程或另一个变量而言的，绝对的常量是不存在的
  • 函数
    • 一般地，在一个变化过程中的两个变量x与y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称x是自变量，y是因变量。y是x的函数
      • 有两个变量
      • 一个变量的值随着另一个变量的值的变化而变化
      • 自变量每确定一个值，函数都有一个而且只有一个值与之对应
    • • 函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系
      • 对于自变量x的取值，必须要使代数式有实际意义
      • 判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有唯一确定的值与它相对应
        • 判断A是否是B的函数
          • 只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应
      • 两个函数是同一函数至少具备两个条件
        • ①函数关系式相同（或变形后相同）
        • ②自变量 的取值范围相同
        • 否则，就不是相同的函数
    • 自变量的取值范围
      • 定义
        • 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围
      • 自变量x的取值要有意义
        • 使含自变量的代数式有意义
        • 结合实际意义，使函数在实际情况下有意义
      • 确定函数自变量取值范围的方法
        • ①关系式为整式时，函数自变量取值范围为全体实数
        • ②关系式含有分式时，分式的分母不等于零
        • ③关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零
        • ④关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零
        • ⑤.实际问题中，函数自变量取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义
  • 函数值
    • 对于函数y=x,如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量x=a时的函数值
    • • 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的
      • 反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个
  • 函数的图像
    • 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象
    • 判断点P（x,y）是否在函数图像上的方法
      • 代入
        • 若满足函数关系式，则点在函数图像上
        • 若不满足函数关系式，则点不在函数图像上
    • 描点法画函数图像的一般步骤
      • ①列表
        • 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值
      • ②描点
        • 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点
      • ③连线
        • 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来
  • 函数的表示方法
    • 列表法
      • 函数关系用一个表格表达出来的方法
    • 图像法
      • 用图象表达两个变量之间的关系
    • 解析式法
      • 函数解析式
        • 用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式
      • 两个变量之间的关系有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示出来，这种表示的方法叫做解析式法
      • • 函数解析式是等式，书写是有顺序的，通常等式的左边是函数，等式的右边是用自变量表示函数的代数式
• 一次函数
  • 正比例函数
    • 定义
      • 一般的，形如 y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数
      • k叫做比例系数
    • 等价形式
      • ①y是x的正比例函数
      • ② y=kx（k为常数，且k≠0）
      • ③若y与x成正比例
      • ④
        • k为常数，且k≠0
    • 图像与性质
      • 正比例函数的图像是一条经过原点的直线，称它为直线y=kx
      • 性质
        • 当k＞0时，直线y=kx经过第一、三象限，y随x的增大而增大
          • 
        • 当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，y随x的增大而减小
          • 
        • 自变量x的取值范围是全体实数
      • lkl
        • lkl越大
          • 直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大
        • lkl越小
          • 直线y=kx越远离y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小
  • 一次函数
    • 形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数叫作一次函数
      • x是自变量
      • y是x的函数
    • • 特别：当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫作x的正比例函数
      • 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
  • 一次函数的判别
    • 先将式子进行变形，看它能否化成y=kx+b的形式
      • k≠0
      • x的指数是1
      • b为任意常数
      • 若符合条件
        • b≠0
          • 一次函数
        • b=0
          • 正比例函数
  • 一次函数的图像及性质
    • 函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的图像是一条直线
    • • 直线y=kx+b的图像可以由直线y=kx平移lbl个单位长度得到
        • b＞0,向上平移
        • b＜0，向下平移
    • • k＞0
        • b＞0
          • 经过一、二、三象限
        • b＝0
          • 一、二
        • b＜0
          • 一、三、四
        • y随x的增大而增大
      • k＜0
        • b＞0
          • 一、二、四
        • b＝0
          • 二、四
        • b＜0
          • 二、三、四
        • y随x的增大而减小
    • 直线y=kx+b（k≠0）
      • 与y轴交于点（0，b）
      • 与x轴交于点
      • 截点（与b有关）：直线与y轴的交点，该点到原点的距离叫做截距
      • k的正负决定函数增减
      • b决定于y轴的交点
        • b＞0
          • 直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）
        • b＜0
          • 直线与y轴交于原点下方（即y轴的负半轴）
      • k,b一起决定直线y=kx+b经过的象限
    • 倾斜度
      • 只与K有关
        • lKl越大，图像越接近于y轴；lKl越小，图像越接近于x轴
    • 两条直线的位置关系
      • • • 将两直线方程联立成一个方程组
            • • 解得结果，即为交点
    • 直线的平移
      • 上加下减（对应b）
        • 直线y=kx+b向上或向下平移m个单位时的直线解析式为直线y=kx+b±m
      • 左加右减（对应自变量x，注意在括号内加减）
        • 直线y=kx+b向左或向右平移m个单位时的直线解析式为直线y=k（x±m）+b
    • 直线的对称
      • 直线y=kx+b
        • 关于x轴对称
          • 横坐标不变，纵坐标变成相反数
            • -y=kx+b→y=-kx-b
        • 关于y轴对称
          • 纵坐标不变，横坐标变成相反数
            • y=k（-x）+b→y=-kx+b
        • 关于原点对称
          • 横、纵坐标都变成相反数
            • -y=k（-x）+b→y=kx-b
  • 一次函数的图像的画法
    • 一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的图像也称为直线y=kx+b
    • 画一次函数的图像时，一般选取两个特殊点
      • 与x轴的交点
      • 与y轴的交点（0，b）
    • 正比例函数y=kx
      • 点（0,0），（1，k）
  • 用待定系数法求一次函数解析式
    • 待定系数法
      • 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法
    • 步骤
      • 1.设函数解析式为y=kx+b
      • 2.根据已知条件列出关于k和b的方程
      • 3.解方程
      • 4.把求出的k和b的值代入到函数表达式中即可
  • 一次函数与一元一次方程
    • 解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
    • 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b（k≠0，b为常数），确定它与 轴交点的横坐标的值
  • 一次函数与一元一次不等式
    • 从图像上看，kx+b＞0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应x的取值范围
    • 从图像上看，kx+b＜0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应x的取值范围
    • 如何确定两个不等式的大小关系
      • ax+b＞cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集
        • y=ax+b的函数值大于y=cx+d的函数值时的自变量x的取值范围
        • 直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方对应的点的横坐标范围
  • 一元一次不等式、一元一次方程与一次函数之间的关系
    • 当一次函数中一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值
    • 当一次函数中一个变量的取值范围确定时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量的取值范围
  • 一次函数与二元一次方程（组）
    • 二元一次方程
      • 二元一次方程与一次函数是“数”与“形”的关系，方程的解与函数图像上的点一一对应
      • 一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解
    • 二元一次方程组
      • 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线
      • 一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解
        • “数形”
          • 从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值
          • 从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标
      • 图像解法
        • 图像平行，原方程组无解
        • 图像重合，原方程组有无数组解
        • 图像只有一个交点，原方程组有唯一的一组解。交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解
  • 一次函数的应用
    • 数学建模
      • 将实际问题数学化
    • 实际问题的应用
      • 根据题意列出一次函数
      • 根据实际问题的需要确定自变量的取值范围
      • 画函数图像时，x轴与y轴的单位长度可以不同
      • 实际问题中的一次函数和正比例函数图像，大多为线段或射线。因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定限制的，即自变量的取值范围必须使实际问题有意义
    • 选择最佳方案问题
      • 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用