高等数学超详细知识导图

高等数学是一门研究函数、极限、导数、积分等基本概念和运算方法的学科，它是大学理工科及部分文科专业学生必修的一门基础课程。通过学习高等数学，可以培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，为后续的专业课程学习打下坚实的基础。高等数学主要包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容，涉及实数与函数、极限与连续、导数与微分、积分与不定积分、多元函数微分学、向量代数与空间解析几何、多元函数积分学、级数等内容。

高等数学

• 第一章 极限与连续
  • 概念
    • 函数
      • 性质
        • 有界性
        • 单调性
        • 奇偶性
        • 周期性
      • 特殊函数
        • 符号函数
        • 迪利克雷函数
        • 取整函数
    • 极限
      • 性质
        • 唯一性
        • 保号性
        • 有界性
        • 子列
      • 存在准则
        • 夹逼定理
        • 单调有界
      • 无穷小
        • 性质
          • 有限加减乘
          • 有界函数*无穷小=无穷小
        • 常用等价无穷小+
          • 三角函数与反三角函数
          • 指数函数与对数函数
          • 幂函数
    • 连续与间断
      • 连续
      • 间断点
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
        • 第二类间断点
      • 闭区间连续函数的性质
        • 最值定理
        • 有界定理
        • 零点定理
        • 介值定理
  • 做题技巧
    • 不定型极限
      • 基本不定型
        • 0/0
          • 等价无穷小
          • 洛必达法则
          • 麦克劳林公式
          • 差分法
        • 1^∞
          • 凑(1+0)^∞=e...
      • 其他不定型
        • ∞/∞
          • 等价无穷小
          • 洛必达法则
          • 麦克劳林公式
          • 差分法
        • 0*∞
          • 化为0/(1/∞)或∞/(1/0)
        • ∞-∞
          • 通分
          • 平方差公式
          • 倒数换元
          • 分子有理化
        • 0^∞
          • e^ln(...)
        • 0^0
          • e^ln(...)
    • n项和或积的极限计算
      • 简单式子直接计算后再算极限
      • 分母或分子一个次数不齐时用夹逼定理
      • 分子分母都齐次且分母次数=分子次数+1时用定积分定义
      • n项积 a1*a2*a3.. .可化为 e^ln(a1*a2*a3...)=e^(lna1+lna2+lna3...)
    • 极限存在性
      • 单调有界
    • 闭区间连续函数性质问题
      • 开区间 --> 零点定理
      • 闭区间/函数值相加 --> 介值定理
    • 中值定理求极限
      • 一般含有明显与n和n+1相关的式子/有取整函数时考虑用中值定理
• 第二章 导数与微分
  • 概念
    • 导数
      • 两种等价表示
      • 左导数与右导数
      • 连续、可导、可微
    • 求导基本公式+
      • 常数/幂函数
      • 指数函数/对数函数
      • 三角函数/反三角函数
    • 求导四则运算
      • 加减法
      • 乘法
      • 除法
    • 复合函数求导
      • 链式法则
    • 反函数求导
    • 隐函数求导
    • 参数方程求导
    • 极坐标方程求导
      • 化为参数方程
  • 做题技巧
    • 概念题
      • 保两侧 左右导数存在且相等
      • 不能跨 分子上得有一个定量f(a)
      • 阶相同 上下两个增量是同阶无穷小
    • 高阶导数+
      • u+v
      • uv
      • sinx与cosx
      • 1/(ax+b)
• 第三章 一元函数微分学的应用
  • 概念
    • 极值点
      • 极值点概念与求法
      • 极值点是x=a+
    • 中值定理
      • 罗尔定理
      • 拉格朗日中值定理
      • 柯西中值定理
      • 泰勒中值定理 即泰勒展开
        • 麦克劳林公式+
    • 单调性与极值
      • 单调性判别法 --> f'
      • 极值判别法
        • 第一充分条件 邻域判断
          • 左邻域f'>0且右邻域f'<0 --> 极大值
          • 左邻域f'<0且右邻域f'>0 --> 极小值
        • 第二充分条件 二阶导数判断
          • f''>0 --> 极小值
          • f''<0 --> 极大值
        • 泰勒公式判断
      • 凹凸性与拐点
        • 凹凸性判别+
          • f''>0 --> 凹函数
          • f''<0 --> 凸函数
        • 拐点
          • f''=0 且 f'''!=0
          • 拐点是(x, y)+
    • 渐近线
      • 水平渐近线
        • x->∞
      • 铅直渐近线
        • 无穷间断点
      • 斜渐近线
        • y/x->a(x->∞)&(y-ax)->b(x->∞)
    • 弧微分+
      • ds2=dx2+dy2
      • 显函数
      • 参数方程
      • 极坐标方程
    • 曲率与曲率半径+
      • 曲率公式
      • 曲率半径 R=1/k
  • 做题技巧
    • 证明高阶导数=0
    • 凑微问题
      • 待证结论只有一个中值 构造辅助函数
        • 还原法 --> 构造f/f' 一般导数差一阶
        • 分组构造法 --> 一般导数差两阶
        • 凑微法 --> 就硬凑
      • 待证结论中有一个中值和a, b
        • a, b与中值可分离
          • 分离变量后构造使用中值定理
          • 不分离变量直接构造再用中值定理
        • a, b与中值无法分离
          • 直接构造
      • 待证结论中有两个中值
        • 只含最简单的f'(切塔)与f'(伊塔)
          • 找三个点后用中值定理
        • 切塔 与 伊塔 复杂度不同
          • 分离变量先处理复杂的
        • 两者完全对等
          • 构造其中一个后使用两次中值定理
    • 拉格朗日中值定理中的惯性思维
      • 出现两个点相减
      • 出现三个点或三个导数
      • 出现原函数与导函数间的关系
    • 不等式证明
      • 中值定理
      • 单调性
      • 凹凸性
      • 最值
    • 函数零点或方程的根问题
      • 开区间+f(a)f(b)<0 --> 零点定理
      • 原函数F(a)=F(b) --> 罗尔定理
      • 单调性方法
        • 分离变量法
        • 直接构造法
• 第四章 不定积分
  • 概念
    • 基本性质
      • 加减可拆
      • 常数可提
    • 不定积分基本公式+
      • 幂函数
        • 一般幂函数
        • 1/x
      • 指数函数
      • 三角函数
        • 普通三角函数
        • 特殊
      • 平方和差
  • 做题技巧
    • 不定积分积分法+
      • 凑微分法
      • 第二类换元法
        • 无理函数换元 并非全部情况
        • 平方和差 --> 三角换元
        • 倒数换元
      • 分部积分法
        • 幂函数*指数函数
        • 对数函数*幂函数
        • 幂函数*三角函数
        • 反三角函数*幂函数
        • 指数函数*三角函数
        • secx与cscx的奇数次方
      • 有理函数积分法
        • 真分式
          • 分母=0有多解 --> 拆成部分和
          • 分母为正好次方 --> 直接ln(u)
          • 分母=0无解 --> 凑arctan(u)与ln(u)
        • 假分式
          • 拆成幂函数+真分式
      • 三角有理函数积分法
        • 出现1+cos(x) --> 半角公式
        • 出现sin(x)^2与cos(x)^2与C时 --> 同除cos(x)^2
        • 分式 --> 组合凑微 分子=A(分母)+B(分母)'
        • 先统一角度
        • 出现sin(x)^2与cos(x)^2与sin(2x)时 --> (sin(x)^2)'=sin(2x) (cos(x)^2)'=-sin(2x)
• 第五章 定积分
  • 概念
    • 定义
      • 活用区间[0,1]定积分定义 极限求法
    • 基本性质
      • 基本性质
        • 同区间加减可拆
        • 同区间常数可提
        • 线性组合的定积分=定积分的线性组合
        • 区间可拆
        • 大小关系
          • f(x)>=0时 f(x)定积分>=0
          • f(x)>=g(x)时 f(x)定积分>=g(x)定积分
          • |定积分f(x)| <= 定积分|f(x)|
        • 积分中值定理 (闭区间)
      • 推广性质
        • 积分中值定理推广 (开区间)
        • 积分第一中值定理
          • g(x)>=0时 定积分(f(x)*g(x))=f(切塔)*定积分g(x)
        • 大小关系
          • f(x)>=0 且 定积分f(x)=0时 f(x)=0恒成立
        • 柯西中值定理
          • (定积分(f(x)*g(x)))^2<=定积分(f(x)^2)*定积分(g(x)^2)
    • 基本理论
      • 积分基本定理
        • 上限积分函数求导为本身 (注意复合函数)
        • 牛莱公式
      • 特殊性质+
        • 对称区间
          • 一般
            • 定积分{-a,a}f(x)=定积分{0,a}[f(x)+f(-x)]
          • 奇函数
            • 对称区间定积分为0
          • 偶函数
            • 对称区间定积分为2倍一半区间
        • 三角函数
          • 定积分{0,pi/2}f(sinx)=定积分{0,pi/2}f(cosx)
            • 定积分{0,pi/2}(sinx)^n=定积分{0,pi/2}(cosx)^n=I(n)
            • I(n)=((n-1)/n)*I(n-2)
            • I(1)=1
            • I(0)=pi/2
          • 定积分{0,pi}f(sinx)=2*定积分{0,pi/2}f(sinx) sinx可换为|cosx|
          • 定积分{0,pi}(x*f(sinx))=(pi/2)*定积分{0,pi}f(sinx)=pi*定积分{0,pi/2}f(sinx)
          • 定积分{0,2*pi}f(|sinx|)=4*定积分{0,pi/2}f(sinx) sinx可换为cosx
        • 周期函数
          • 周期函数平移性质
          • n倍周期上的积分=n*一个周期上的积分
        • 圆积分
          • 画圆求解
        • 幂函数积分
          • 定积分{a,b}(x-(a+b)/2)^n=0 (n为奇数)或=2*定积分{0,(a+b)/2}(x-(a+b)/2)^n
      • 积分法
        • 换元积分法
        • 分部积分法
    • 广义积分
      • 敛散性概念
        • 区间无限
          • 有限到正无穷
          • 负无穷到有限
        • 区间有限
          • 左端为无穷间断点
          • 右端为无穷间断点
      • 敛散性判别法+
        • 区间无限
          • 正无穷 --> (x^α)*f(x)在正无穷的极限k
            • k存在且α>1 收敛
            • (k>0或k=+∞)且α<=1 发散
          • 负无穷 --> (x^α)*f(x)在负无穷的极限k
            • k存在且α>1 收敛
            • (k!=0或k=∞)且α<=1 发散
        • 区间有限
          • 左端点 --> ((x-a)^α)*f(x)在a+的极限k
            • k存在且α<1 收敛
            • (k>0或k=+∞)且α>=1 发散
          • 右端点 --> ((b-x)^α)*f(x)在b-的极限k
            • k存在且α<1 收敛
            • (k>0或k=+∞)且α>=1 发散
        • 大小关系判别法
          • f(x)<=g(x) --> 定积分g(x)收敛定积分f(x)就收敛
          • f(x)>=g(x) --> 定积分g(x)发散定积分f(x)就发散
        • 绝对值函数
          • 定积分{a,+∞}|f(x)|收敛则定积分{a,+∞}f(x)收敛 反之不一定
      • 一个特殊广义积分函数+
        • Γ(α)=定积分{0,+∞}((x^(α-1))*(e^(-x)))
        • 性质
          • Γ(α+1)=α*Γ(α)
          • Γ(n+1)=n!
          • Γ(1/2)=sqrt(pi)
    • 定积分的应用（微元法）
      • 几何应用
        • 旋转体表面积 注意用弧微分
        • 旋转体体积
        • 曲线长度 注意用弧微分
      • 特殊曲线
        • 圆
        • 摆线
        • 心形线
        • 双纽线
        • 星形线
      • 物理应用
  • 做题技巧
    • 定积分概念与性质问题
    • 变积分限函数问题
      • 注意换元方法
    • 定积分的计算
      • 一般不上来就用牛莱公式
      • 换元法
        • 无理换元
        • 三角换元
      • 变换积分限
        • 三角函数尽量变换到{0,pi/2}上
        • 一般都想办法变换到对称区间上
      • 利用三角公式构造n*定积分=常数
      • 分部积分
    • 定积分的证明
      • 连续函数
        • 基本性质+特殊性质
          • 变换积分区间法
          • 一项含定积分一项不含
            • 将不含定积分的式子构造为定积分
            • 将含积分项用积分中值定理去掉积分
          • 含绝对值
            • 定积分的绝对值<=绝对值函数的定积分
          • 含a,b,切塔
            • 凑微法构造辅助函数
      • 连续且单调
        • 相减构造辅助函数
        • 其他辅助函数构造法
          • f(x)单增 --> (x-y)*(f(x)-f(y))>=0
          • f(x)单减 --> (x-y)*(f(x)-f(y))<=0
        • 变换积分区间法
        • 中值定理法
      • 周期函数
        • 周期函数性质
      • 连续可导
        • 定积分内不含f'(x) --> 拉格朗日中值定理
        • 定积分内含f'(x) --> 牛莱公式
        • (1/积分区间长度)*定积分 --> 积分中值定理
      • 高阶可导
        • 泰勒公式
          • 对原函数F(x)使用泰勒展开
            • 结论中出现f(切塔)高阶导数且符合拉格朗日余项格式
            • 结论中切塔属于开区间
          • x0的选取原则与微分相同
• 第六章 多元函数微分学
  • 基本概念
    • 多元函数的极限
      • ρ->0
    • 多元函数的连续
    • 偏导数
    • 高阶偏导数
    • 全微
    • 方向导数
    • 梯度
  • 基本理论
    • 有界闭区域连续函数的性质
      • 最值定理
      • 有界定理
      • 介值定理
    • 连续、可偏导、可微的关系
      • 可微一定可偏导且连续
      • 两个偏导数都连续一定可微
      • 有二阶偏导数连续一定有f''xy(x,y)=f''yx(x,y)
    • 求偏导的类型
      • 显函数
      • 复合函数
      • 隐函数
        • 1 找到变量个数
        • 2 找有几条约束条件 约束条件数等于因变量个数
        • 3 剩下的数是自变量个数
      • 变换求偏导
  • 应用
    • 极值
      • 无条件极值
        • 1 求定义域
        • 2 两个偏导=0求驻点
        • 3 判别法
          • 1 A=f''xx B=f''xy C=f''yy
          • 2 判断AC-B^2大小
            • AC-B^2>0时是极值点
              • A>0为极小值
              • A<0为极大值
            • AC-B^2<0时不是极值点
      • 条件极值
        • 拉格朗日数乘法
          • 1 令F=f(x,y)+λg(x,y)
          • 2 求F'x=0 F'y=0 F'λ=0 判断极值
            • 解法一 根据F'x与F'y消掉λ直接解出(x,y)
            • 解法二 根据F'x与F'y解出x=h(λ) y=t(λ)进而解出λ从而解出(x,y)
        • 转化为一元函数
        • 参数方程法
    • 方向导数
      • 二维空间方向导数=x偏导*cosα+y偏导*cosβ cosα cosβ称为方向余弦
      • 三位空间方向导数=x偏导*cosα+y偏导*cosβ+z偏导*cosγ cosα cosβ cosγ称为方向余弦
    • 梯度
      • 函数在某一点增长速度最快的方向
      • grad(u)={u'x, u'y, u'z} {a,b,c}表示向量
    • 几何应用
      • 空间曲面的切平面与法线 空间曲面F(x,y,z)=0
        • 法向量 {F'x,F'y,F'z}
        • 法线 (x-x0)/F'x=(y-y0)/F'y=(z-z0)/F'z
        • 切平面 F'x*(x-x0)+F'y*(y-y0)+F'z*(z-z0)=0
      • 空间曲线的切线与法平面 空间曲线x=x(t) y=y(t) z=z(t)
        • 切向量 {x',y',z'}
        • 切线 (x-x0)/x'=(y-y0)y'/=(z-z0)/z'
        • 法平面 x'*(x-x0)+y'*(y-y0)+z'*(z-z0)=0
      • 空间曲线切向量 空间曲线F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0
        • 切向量 ({F'x,F'y,F'z}×{G'x,G'y,G'z})
• 第七章 微分方程
  • 微分方程基本概念
    • 微分方程
    • 微分方程的阶数
    • 微分方程的解
  • 一阶微分方程的种类与解法+
    • 可分离变量的微分方程
      • 定义
        • dy/dx=f(x,y) f(x,y)=g(x)*g(y)
      • 解法
        • 分离变量并两边积分
    • 齐次微分方程
      • 定义
        • dy/dx=f(x,y) f(x,y)=g(y/x)
      • 解法
        • 令u=y/x则dy/dx=u+x*(du/dx)带入原方程变为可分离变量形式
    • 一阶齐次线性微分方程
      • 定义
        • dy/dx+P(x)*y=0
      • 公式
    • 一阶非齐次线性微分方程
      • 定义
        • dy/dx+P(x)*y=Q(x)
      • 公式
    • 伯努利方程
      • 定义
        • dx/dy+P(x)*y=Q(x)*y^n
      • 解法
        • 令z=y^(1-n)化为一阶非齐次线性方程
    • 全微分方程
      • 定义
        • P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0且P对x偏导=Q对y偏导
      • 解法
        • u(x,y)+C 其中u(x,y)=定积分(Pdx+Qdy)
  • 可降阶的高阶微分方程+
    • y'''...=f(x)型
      • 多次不定积分
    • f(x,y',y'')=0型 即缺y型
      • 令p=y'则y''=dp/dx后按一阶方法求解
    • f(y,y',y'')=0型 即缺x型
      • 令p=y'则y''=dp/dx=y'*dp/dy=p*dp/dy后按一阶方法求解
  • 高阶微分方程+
    • 高阶线性微分方程
      • 基本概念
        • n阶齐次线性方程
          • y''+py'+qy=0
        • n阶非齐次线性方程
          • y''+py'+qy=f(x) 对右侧可拆为多个方程
      • 解的结构与性质
        • 齐次解的线性组合仍是齐次解
        • 齐次解+非齐次解=非齐次解
        • 非齐次解1-非齐次解2=齐次解
        • 拆后1非齐次解+拆后2非齐次解=非齐次解
        • 非齐次解组线性组合仍为非齐次解的充要条件为线性系数和=1
        • 非齐次解组线性组合为齐次解的充要条件为线性系数和=0
        • 齐次解组线性无关时线性组合为齐次通解
        • 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
      • 高阶常系数线性微分方程
        • 二阶常系数齐次线性微分方程解法
          • 特征方程法 特征方程的解为λ1,λ2
            • 实解 λ1!=λ2
            • 实解 λ1=λ2
            • λ1,λ2=α+βi
          • 三阶特征方程 特征方程解为λ1,λ2,λ3
            • 实解 λ1!=λ2!=λ3
            • 实解 λ1=λ2!=λ3
            • 实解 λ1=λ2=λ3
            • 实解+2虚解 λ1 λ2,λ3=α+βi
        • 二阶常系数非齐次线性微分方程解法
          • f(x)=Pn(x)*e^(kx)
            • k不是特征方程的解
            • k是特征方程的一个解
            • k是特征方程的两个相同解
          • f(x)=e^(αx)*[Pl(x)*cos(βx)+Ps(x)*sin(βx)]
            • α+βi不是特征值
            • α+βi是特征值
    • 欧拉方程
      • 定义
        • (x的n次幂*y的n阶导)的和=f(x) 最高阶次系数化为1
      • 解法
        • 令x=e^t 则x*y'=Dy (x^2)*y''=D(D-1)y等等 化为高阶常系数线性微分方程
• 第八章 重积分
  • 二重积分
    • 定义
      • 活用单位正方形定积分 极限求法
    • 性质
      • 同去间加减可拆
      • 常数可提
      • 线性组合的二重积分=二重积分的线性组合
      • 去间可拆
      • 1的二重积分为积分区域的面积
      • 大小关系
      • 二重积分中值定理
      • 对称性质
        • 区域关于y轴对称 即关于变量x对称
          • 关于x为奇函数
            • 0
          • 关于x为偶函数
            • 二倍半区间
        • 区域关于x轴对称 即关于变量y对称
          • 关于y为基函数
            • 0
          • 关于y为偶函数
            • 二倍半区间
    • 计算方法
      • 直角坐标法
        • X区域
        • Y区域
        • 改变积分次序
          • (x^2n)*e^k(x^2)
          • e^(k/x)
          • sin(k/x)或cos(k/x)
      • 极坐标法 一般含(x^2+y^2)在函数或积分区域内
        • 1 x=r*cosθ y=r*sinθ
        • 2 二重积分=定积分dθ*定积分f(x,y)*r*dr
      • 一般步骤
        • 1 作图
        • 2 找范围
        • 3 拆二重积分为定积分
    • 应用
      • 几何应用
        • 平面区域面积
        • 曲顶柱体体积
        • 空间曲面面积 注意用表面微分 类似弧微分
      • 物理应用
        • 质心坐标
        • 转动惯量
  • 三重积分
    • 性质
      • 线性组合的三重积分=三重积分的线性组合
      • 1的三重积分为区域的体积
      • 三重积分中值定理
      • 对称性质
    • 计算方法
      • 直角坐标法
        • 切片法
          • 1 画图
          • 2 找到z的取值范围 常范围 即z属于[c,d]
          • 3 任取一个z值 把z看作常数 找到x,y关于z的活动范围Dz
          • 4 三重积分=定积分{c,d}dz*二重积分{x,y关于z活动范围}f(x,y,z)dxdy
        • 铅直投影法
          • 1 画图
          • 2 投影到xOy平面 找到x,y活动范围 是常范围 即该活动范围Dxy是g(x,y)=0
          • 3 z夹在两个曲面φ1(x,y)=0,φ2(x,y)=0中间
          • 4 三重积分=二重积分{x,y活动范围}dxdy*定积分{两个曲面}f(x,y,z)dz
      • 柱坐标法 出现x^2+y^2 不必单独记 是铅直投影法的延申
      • 球坐标法 出现x^2+y^2+z^2
        • 1 画图
        • 2 坐标变换 x=r*cosθ*sinφ y=x=r*sinθ*sinφ z=x=r*cosφ θ是与x轴正方向夹角 φ是与z轴正方向夹角
        • 3 定范围 θ属于[α,β] φ属于[θ1,θ2] r属于[r1(φ,θ),r2(φ,θ)]
        • 4 三重积分=定积分dθ*定积分dφ*定积分f(x,y,z)*(r^2)*sinφdr
    • 应用
      • 空间几何体质心
      • 空间集合体转动惯量
• 第九章 级数
  • 常数项级数
    • 基本概念与敛散性
    • 基本性质
      • 收敛级数+收敛级数=收敛级数
        • 单发散则和发散
        • 双发散的和不一定发散
      • 级数*非0常数敛散性不变
      • 级数中增加、减少、改变有限项不改变级数的敛散性 但可能改变级数的结果
      • 收敛级数添加任意括号后依然收敛 但添加任意括号后收敛原级数不一定收敛 即添加括号提高级数的收敛性
      • 若级数收敛则an在无穷处趋近与0 反之不对
    • 两个重要级数
      • p级数
        • 定义
          • 1/(n^p)无穷和
          • p=1时称为调和级数
        • 敛散性判断
          • p>1 收敛
          • p<=1 发散
      • 几何级数 即等比数列无穷和
        • 定义
          • a*q^n无穷和
        • 敛散性判断
          • |q|<0 收敛 S=首项/(1-公比)
          • |q|>=1 发散
    • 正项级数
      • 定义
        • an>=0
        • Sn单增 可通过Sn是否有上界判断敛散性
      • 审敛法
        • 比较法 两个不同级数an与bn 重点是找参照对象
          • 大小比较
            • an<=bn时 若bn收敛 则an收敛
            • an>=bn时 若bn发散 则an发散
          • 夹逼收敛
          • 比值比较
            • lim(an/bn)=m m为有穷正数 an与bn敛散性相同
          • 比值推论
            • lim(an/bn)=0 若bn收敛 则an收敛
            • lim(an/bn)=+∞ 若bn发散 则an发散
        • 比值法 只含一个级数an ρ=相邻两项比值的极限
          • ρ<1 收敛
          • ρ>1 发散
        • 根值法 ρ=n次根号an的极限
          • ρ<1 收敛
          • ρ>1 发散
        • 积分法
          • an单减时 级数敛散性与反常积分一致
    • 交错级数
      • 定义
        • 一般项一正一负 正负交错 一般项记为:un*(-1)^n
      • 审敛法
        • 莱布尼茨法
          • un单减且un极限=0 则该交错级数收敛 且S<=a1
    • 绝对收敛与条件收敛
      • 概念
        • |un|级数收敛称谓绝对收敛
        • un级数收敛但|un|级数发散称为条件收敛
      • 关系
    • 一些技巧
      • 敛散性大小判别
        • 添加括号增加收敛性
        • 趋向于零的速度越快 收敛可能性越强
        • 添加绝对值增加发散性
      • 审敛思路
        • 1 先看an趋近于0否
        • 2 一般项中含差且易用定义法 用定义法
        • 3 抽象一般项 使用性质与审敛法
        • 4 具体一般项 采用审敛法
          • 含阶乘 用比值法
          • 含n次方 用根值法
          • 含对数 用积分法
          • 其他情况 用比较法
      • 正项级数收敛的充要条件
        • 奇数项收敛且偶数项收敛
      • 正项级数发散的判断
        • 奇数项或偶数项有一个发散
      • 收敛级数加平方的影响
        • un是一般级数 加平方无法确定敛散性
        • un是正项级数 加平方后依然收敛
  • 幂级数
    • 函数项级数
      • 一般项中有变量
    • 定义
      • 一般项为an*(x-x0)^n
      • 特殊情况x0=0 一般项为an*x^n
    • 收敛域与发散域
      • x的取值使得级数收敛称为收敛域 类似函数的定义域
      • x的取值使得级数发散称为发散域
    • 收敛半径
      • 阿贝尔定理
        • x0是收敛点 则|x|<|x0|时幂级数绝对收敛
        • x1时发散点 则|x|>|x1|时幂级数发散
      • ρ=|a{n+1}/an|的极限或|an|的n次根号
        • ρ=+∞ 则R=0
        • ρ=0 则R=+∞
        • ρ为非零有穷正数 R=1/ρ
    • 性质
      • 和函数S(x)在(-R,R)上连续
      • 逐项可导性
        • 求导后收敛半径不变 但收敛域不确定
      • 逐项可积性
        • 求积分 积分上限函数 后收敛半径不变 但收敛域不确定
    • 函数幂级数展开
      • 直接展开
        • 泰勒公式展开
        • 麦克劳林公式 注意定义域
      • 间接展开
        • 麦克劳林公式
        • 逐项可导与逐项可积性
    • 求幂级数的和函数
      • 理论基础
        • 用逐项可导与逐项可积性求
        • 反用麦克劳林公式求
        • 微分方程的方法
      • 题型分类
        • 多项式*x^n
          • 用逐项可导性
          • 1/(1±x)的麦克劳林公式
        • (x^n)/多项式
          • 消分母 用逐项可积性
          • ±ln(1±x)的麦克劳林展开
        • (多项式1/多项式2)*(x^n)
          • 拆为多项式+1/多项式
        • (x^n)/多项式 多项式中含阶乘
          • 利用e^x sinx cosx麦克劳林级数
          • 求导S(x)构造微分方程
        • an*(x^n) 其中an给出递推关系
          • 由递推关系求出an表达式
          • 将递推关系带入幂级数求出S(x)满足的关系式从而求出S(x)
      • 做题步骤
        • 1 求收敛半径与收敛域
        • 2 套用方法求合函数
  • 傅里叶级数
    • 类型
      • 周期为2pi的函数f(x)的傅里叶级数
      • 定义在[-pi,pi]上的函数f(x)的傅里叶级数
      • 定义在[0,pi]上的函数f(x)的傅里叶级数
      • 周期为2L的函数f(x)的傅里叶级数
      • 定义在[-L,L]上的函数f(x)的傅里叶级数
      • 定义在[0,L]上的函数f(x)的傅里叶级数
    • 做题步骤
      • 1 周期T=2L
      • 1 f(x)=(a0)/2+级数(an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L))
      • 2 an=(1/pi)*定积分{-L or 0,L}f(x)*cos(n*pi*x/L) bn=(1/pi)*定积分{-L or 0,L}f(x)*sin(n*pi*x/L)
• 第十章 向量代数和空间解析几何
  • 基础理论
    • 基本概念
      • 向量 矢量
      • 向量的坐标
      • 向量的方向角与方向余弦
      • 向量在一个轴的投影
    • 向量运算
      • 几何描述
        • 略
      • 代数坐标描述
        • 向量加减法
        • 向量数乘
        • 向量的数量积
        • 向量的向量积
    • 向量数量积的性质
      • 数量积运算符合交换律
      • 数量积为0 -> 两个向量垂直
    • 向量向量积的性质
      • 向量积交换运算顺序后需要加负号
      • 向量积为0向量 -> 两个向量平行
      • 向量积与参与运算的两个向量垂直
      • 向量积的模=2*三角形面积
  • 向量的应用
    • 平面
      • 点法式
      • 一般式
      • 截距式
      • 三点式
    • 直线
      • 一般式
      • 点向式
      • 参数式
    • 曲面的切平面与法线
    • 曲线的切线与法平面
    • 特殊曲面
      • 旋转曲面
        • 二维空间旋转曲面
          • 绕谁转谁不变
        • 三维空间旋转曲面
      • 柱面
        • 母线平行于坐标轴的曲面 缺一个变量
        • 投影柱面 可以方程组可以消掉一个变量
    • 距离
      • 两点之间的距离
      • 点到平面的距离
      • 点到直线的距离
      • 平行平面间的距离
      • 异面直线间的距离
    • 夹角
      • 两向量夹角
      • 两直线夹角
      • 两平面夹角
      • 直线与平面的夹角
• 第十一章 曲线积分和曲面积分
  • 曲线积分
    • 第一类曲线积分 对弧长的曲线积分 标量*标量
      • 思想与定义
        • 非均匀曲线质量
      • 性质
        • 线性可拆
        • 曲线可拆
        • 1的曲线积分=曲线长度
        • 对称性
          • 曲线关于y轴对称 即关于变量x对称
          • 曲线关于x轴对称 即关于变量y对称
          • 曲线关于y=x对称
            • x,y变量可以交换
      • 计算方法
        • 特殊替代法
        • 定积分法 弧微分代换
          • 直角坐标下显函数
          • 参数方程
    • 第二类曲线积分 对坐标的曲线积分 向量点乘向量
      • 思想与定义
        • 变力曲线做功问题
          • F*(x,y)={P(x,y),Q(x,y)} dL*={dx,dy}
          • dW=(F*)点乘(dL*)
          • W=曲线积分Pdx+Qdy
      • 性质
        • 曲线方向变化
        • 对坐标的曲线积分可化为对弧长的曲线积分
          • 曲线积分Pdx+Qdy=曲线积分(P*cosα+Q*cosβ)ds
        • 曲线可拆
      • 二维空间计算方法
        • 定积分法
          • 显函数代换
            • 曲线积分=定积分{起点,终点}P(x,y(x))*dx+Q(x,y(x))*y'(x)*dy
          • 参数方程代换
            • 曲线积分=定积分{起点,终点}(P(x(t),y(t))*x'(t)+Q(x(t),y(t))*y'(t))dt
        • 二重积分法 格林公式 连通的有限闭区域D L为区域D的正方向
          • 单连通区域 区域没有"洞" 正方向是逆时针
          • 多连通区域 区域有"洞" 正方向是外逆内顺
          • 曲线积分=二重积分(Q偏导x-P偏导y)
        • 曲线积分与路径无关的条件
          • 等价说法
            • D为单连通区域 P(x,y),Q(x,y)在D内连续可偏导
            • 曲线积分与路径无关
            • 区域D内任意闭曲线C 曲线积分{C}Pdx+Qdy=0
            • 区域D内恒有Q偏导x=P偏导y 柯西-黎曼条件
            • 区域D内存在二元函数u(x,y)使du=Pdx+Qdy
          • 做题技巧
            • 路径按先水平后铅直 曲线积分=定积分{x0,x1}P(x,y0)dx+定积分{y0,y1}Q(x1,y)dy
            • 找到全微分的原函数u(x,y) u(x,y)可以由积分上限函数求得 曲线积分=u(x1,y1)-u(x0,y0)
        • 一般步骤
          • 1 作图
          • 2 代换法或格林公式法 根据题目选合适的方法
            • 定积分法找准曲线与起点终点
            • 格林公式法找准P(x,y)与Q(x,y)
          • 3 算定积分
      • 三维空间计算方法
        • 定积分法
          • 参数方程代换
        • 斯托克公式法 曲线积分等价公式
          • 曲线积分Pdx+Qdy+Rdz
          • 二重积分{Σ}|{dydz,dzdx,dxdy},{对x偏导,对y偏导,对z偏导},{P,Q,R}| ||表示行列式
          • 二重积分{Σ}|{cosα,cosβ,cosγ},{对x偏导,对y偏导,对z偏导},{P,Q,R}|dS 角度为曲面法向量的方向余弦
  • 曲面积分
    • 第一类曲面积分 对面积的曲面积分
      • 思想与定义
        • 非均匀曲面密度
      • 性质
        • 线性可拆
        • 曲面可拆
        • 1的曲面积分=曲面面积
        • 对称性
          • 曲面关于xOy平面对称 即关于变量z对称
          • 曲面关于yOz平面对称 即关于变量x对称
          • 曲面关于xOz平面对称 即关于变量y对称
      • 计算方法
        • 特殊替代法
        • 二重积分法 面微分代换
          • 1 曲面Σ投影到平面 一般投影到xOy平面 找到活动范围Dxy 其他也可
          • 2 显函数代换 {Σ}dS={Dxy}sqrt(1+(z'x)^2+(z'y)^2)dxdy
    • 第二类曲面积分 对坐标的曲面积分
      • 思想与定义
        • 非均匀流量
      • 性质
        • 曲面方向变化
        • 曲面可拆
        • 对称性 与定积分等刚好相反
          • 曲面关于xOy平面对称 即关于变量z对称
            • 关于z是奇函数 曲面积分=2*半曲面积分
            • 关于z是偶函数 曲面积分=0
          • 曲面关于yOz平面对称 即关于变量x对称
            • 关于x是奇函数 曲面积分=2*半曲面积分
            • 关于x是偶函数 曲面积分=0
          • 曲面关于xOz平面对称 即关于变量y对称
            • 关于y是奇函数 曲面积分=2*半曲面积分
            • 关于y是偶函数 曲面积分=0
      • 计算方法
        • 二重积分法 投影法
          • 投影到xOy Σ:z=φ(x,y) 曲面积分{Σ}R(x,y,z)dxdy=±二重积分{Dxy}R(x,y,φ(x,y))dxdy
            • 法向量与z轴夹角为锐角 cosγ>=0 正号
            • 法向量与z轴夹角为钝角 cosγ<0 负号
            • 在z轴上方向下看 上正下负
          • 投影到其他平面类似
        • 高斯公式法
          • Ω为几何体 Σ为Ω的外侧曲面 P,Q,R在Ω上一阶连续可导
            • 曲面积分{Σ}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=三重积分{Ω}(P偏导x+Q偏导y+R偏导z)dv
        • 两类曲面积分间的关系
          • 曲面积分Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=曲面积分(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
  • 场论初步
    • 梯度 旋度 散度
      • 梯度
        • u=f(x,y,z) 梯度grad(u)={u偏导x,u偏导y,u偏导z}
      • 旋度
        • 向量场a*={P,Q,R} 旋度rot(a*)=|{i*,j*,k*},{对x偏导,对y偏导,对z偏导},{P,Q,R}|
      • 散度
        • 向量场a*={P,Q,R} 散度div(a*)={P偏导x,Q偏导y,R偏导z}
    • 通量与环流量
      • 通量
        • 向量场a*={P,Q,R} 曲面Σ 曲面上单位法向量n* 通量Φ=曲面积分{Σ}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=曲面积分{Σ}(a*)点乘(n*)dS
      • 环流量
        • 向量场a*={P,Q,R} 有向闭曲线L 曲线积分{L}Pdx+Qdy+Rdz=曲线积分{L}(a*)点乘ds*