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最强线性代数
考研时根据张宇和汤家凤两人的视频整理而来，包括各种技巧公式。
编辑于2021-01-08 16:17:47- 最强力扣算法题目重点思路代码整理
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- 大纲
线性代数
第一章 行列式
1.具体型行列式的计算
1.化为"12+1"型行列式
2.加边法: 展开式逆用
1.准则: 加的边必有一条为1,0,0,展开后值不变,另一条无限制
2.常见形式
1.行列式每行都有相同规律/形式,但缺少最重要的构成规律的一行
2.范德蒙德明显缺一行,补1,x,x²... 展开后对比x的系数 P22
3.递推法: 高阶→低阶
1.准则: Dn与Dn-1有完全相同的分布规律,只是少了一行
2.常见形式
1.≤型
1.n阶时: 一定从尾部展开,保持形状不变,尖角为a
2.低阶时: 按横着一行展开,前后为上/下三角形,中间为分块
2.川型
1.未告诉结果: Dn=a·D(n-1)-bc·D(n-2)
a b c
2.告诉结果: 用第二类数归法简单
3.当a与c相似时,直接化为上三角也挺方便
4.数归法: 低阶→高阶
1.第一类数归法
1.形式: n=1成立,设n=k成立,证n=k+1成立
2.适用于Dn与Dn-1关系
2.第二类数归法
1.形式: n=1,n=2成立,设n<k成立,证n=k成立
2.适用于Dn与Dn-1,Dn-2关系
注: 考研行列式必有规律,人造的,越算越复杂,从头再来
2.抽象型行列式的计算
1.行列式性质
已知|A|求|B|
2.矩阵知识
1.C=AB→|C|=|A||B|
2.C=A+B→|C|=|A+B|
不能再展开,只能将B转化为A,化为乘积形式(E=A·A﹣¹)
3.|A*|=|A|ⁿ﹣¹,|(A*)*|=|A|^(n-1)²
3.用相似理论
A～B→|A|=|B|=λ₁λ₂λ₃
4.用方程知识
1.准则
1.一个向量是其他向量的组合→乘积形式
2.具体形式
1.|A|的每一列减去其余各列
行和相等的矩阵,对角线为1,其余都是-1
3.余子式和代数余子式的计算
1.用行列式
1.准则: 相当于用余子式前面的系数替换余子式那行的系数
2.常见形式
1.同一行余子式拆成两部分
各部分前面的系数必然相同,去行列式中找到类似两行
2.用矩阵
1.|A|≠0 → A*=|A|·A﹣¹ →可求出所有Aij
2.常见形式
1.A₁₁A₂₃-A₂₁A₁₃
A*的A₃₂的余子式
3.用特征值
1.A*=|A|·A﹣¹=λ₁λ₂·A﹣¹
2.A₁₁+A₂₂+A₃₃=tr(A*)=λ₂λ₃+λ₁λ₃+λ₁λ₂
4.求代数余子式
Mij=(-1)^(i+j)Aij
4.证|A|=0
1.r(A)<0
A为抽象矩阵时,首选此法
2.Ax=0有非零解
3.0是A的特征值
4.A的行/列向量线性相关
5.反证法: 设|A|≠0,A可逆,用A﹣¹找矛盾
6.|A|是个数,若|A|=k|A|,k≠1,则|A|=0
第二章 矩阵
1.求Aⁿ
1.r(A)=1 秩一矩阵
Aⁿ=[tr(A)]ⁿ﹣¹·A
2.试算A²,A³,找规律
1.若A²=kA →Aⁿ=kⁿ﹣¹·A
2.若A²=kE →A²ⁿ =kⁿE, A²ⁿ﹢¹=kⁿA
3.常见情形
1.矩阵特别有规律,每行类似
2.矩阵中0特别多
3.B=P﹣¹AP →Bⁿ =P﹣¹AⁿP
3.A=B+C 分解
1.B=E →Aⁿ只剩下C (C可能在几次幂之后变为0)
2.BC=CB=O →Aⁿ =Bⁿ+Cⁿ
4.用初等矩阵求P₁ⁿAP₂ⁿ
先对A作与P₁相同的行变换n次,再对结果作与P₂相同的列变换n次
5.用相似理论
A～∧ →A=P∧P﹣¹ →Aⁿ=P∧ⁿP﹣¹
2.关于A*,A﹣¹,初等矩阵
1.A*
1.十大公式
2.A﹣¹
1.求A﹣¹
1.具体型
1.(A:E)→(E:A﹣¹)(只能行变化,求秩可以行列变换)
2.A﹣¹ =1/|A|·A*
2.抽象型
1.创造AB=E →A﹣¹=B
2.创造A=BC,B,C均可逆 →A﹣¹ =C﹣¹·B﹣¹
3.常见形式
1.Aⁿ =0
E-Aⁿ=(E-A)(E+A+...+Aⁿ﹣¹)=E
2.E+A可逆,B=(E+A)﹣¹(E-A),求E+B的逆★
重要思维: 类比思想,1+a可逆,b=(1-a)/1+a,直接算(1+b)﹣¹,求出结果后类比从后往前推
3.分块矩阵
背公式(左乘同行,右乘同列,加负号 副对角线先交换位置)
1.1★ 求(A-B)﹣¹A
不用分开算,(A-B:A)→E:(A-B)﹣¹A (行变换作用在左边)
2.判断是否可逆
1.特征值,行列式法: |A|=λ₁λ₂...=0 →不可逆(求出具体的λ)
T+二二1
2.用秩: r(A)<n →不可逆
3.初等矩阵
Ei(c),Eij,Eij(k) 背公式
3.矩阵方程
1.化简
1.消公因式: CA=CB,C可逆 →A=B
2.提公因式
3.移项
4.常用公式
1.看到A﹣¹,首先乘A消去
2.A(B C)=(AB AC) (B C)A≠(BA CA)
2.求解: AX=B
1.直接求逆: A,B可逆
2.化方程组: A,B不可逆
1.将X,B按列分块,Aζi =βi
2.A,B组合一起(A:B)化简为最简形
3.确定通解个数s=n-r(A),再分别写出对应的特解
3.待定元素法: 无法化为AX=B
直接设X=(xij),直接代入方程,得到方程组,再利用系数矩阵的增广矩阵
3.求未知矩阵A
1.相似理论
P﹣¹AP=∧ →A=P∧P﹣¹
P为特征向量的组合,∧为特征值的对角阵
4.矩阵的秩
1.行列变化都可以,解方程组只能用行变化
第三章 线性方程组
1.具体型方程组
1.解含参数的线性方程组
1.AX=0
2.AX=B
3.方形: 克拉默法则
4.变体: 含参的向量之间关系
5.具体形式
1.A可经过初等列变换化为B,求其中参数
1.列变换与行变换相同,没有区别,初等变换不改变秩
2.不要想着将A向B转化(错误思想),应该都将A,B化为最简形,秩相同
2.AX=B有解 →r(A)=r(A B)
可当结论使用
3.求可逆X,使AX=B
求出X后,必须排除掉|X|=0的情况
4.AX=B存在两个不同的解
r(A)=r(A B)<n
2.方程组的公共解和同解
1.公共解的三种求法
1.联立AB两个方程组
2.求出A的基础解系代入B,得到未知数关系
3.求出A,B的基础解系,令相等,得到未知数关系
2.同解=相互代入= r(A)=r(B)且单方满足= r(A)=r(B)=r A B
1.大的解必然是其中小部分的解,只要证小部分的解也是与大部分不同部分的解,即同解(求出小部分通解代入不同部分)
2.抽象型方程组
1.解的判定
1.AX=b有解 →r(A)=r(A b)
2.基础解系
1.是否为基础解系
3个条件: 是解,无关,个数s=n-r(A)
2.用基础解系表示解
3.常见形式
1.已知ξ₁,ξ₂为齐次的解,问下列哪个为齐次的解向量
1.首先判断ξ₁,ξ₂是否为基础解系
2.是,用ξ₁,ξ₂表示下列,看哪个满足,(ξ₁,ξ₂ α₁,α₂)放在一起,一网打尽
2.若非齐有通解k₁ξ₁+k₂ξ₂+η,判断哪个为解
用(ξ₁,ξ₂ α₁-η,α₂-η)来判断
3.解的结构与性质
0.首先观察方程中是否两行不成比例
r(A)≥2
0.1 非齐有不同的解
r(A)=r(A b)<n
1.由非齐的解制造非齐的解→系数之和为1,制造齐次的解→系数之和为0
2.由AX=0的通解 →A*X=0的基础解系
由通解个数判断r(A)的值 →r(A*)的值 →基础解系的个数 (已知A的构成,由A*A=0 →A是A*的解,选A中无关的向量作为A*的基础解系)
3.已知非齐的3个具体解,最多能写两个无关的齐次的解(第三个必然可由前两个线性表示)
3.1 已知非齐的3个无关抽象解 →齐次至少有两个无关解
两两相减构造两个齐次的解,用定义法证明k₁=k₂=0无关
4.看到Aij≠0
r(A*)≥1, 若r(A)<n →r(A*)=0或1 →r(A*)=1 →r(A)=n-1 →基础解系含一个无关的解向量
4.解与系数的关系
1.系数矩阵行向量与解向量正交,转置后,角色互换(转置时内部子块也要转置)
注意书写格式
5.用方程组的解讨论秩
1.AX=b有解 →r(A)=r(A b)
第四章 向量组
1.具体型向量关系
1.β与α₁,α₂ (AX=B)
1.建方程组
2.化行阶梯
3.讨论解的情况
2.α₁,α₂ (AX=0)
1.向量个数 > 维数 →必相关
方程的约束条件不够
2.向量个数 = 维数 →看行列式是否为0
3.向量个数 < 维数 →看r(A)与n的关系
3.求极大线性无关组
化最简形后,无关的向量
2.抽象型向量关系(相关性)
1.定义法(已知某些,研究另一些)
1.写定义式: k₁α₁+k₂α₂+...=0
2.证明k₁=k₂=...=0
3.常用证明方法
1.根据已知,两边同乘某些量,重新组合
2.无已知,转化为证某齐次方程只有0解
3.常与特征值,基础解系,正定综合
1.与特征值
用f(A)α=f(λ)α,同样可以化为关于λ的矩阵,当||≠0时无关
2.与正定
利用正定的定义: αTAα>0,同左乘αTA后,可得到k=0
2.用秩: 向量关系 →等式关系
矩阵可逆,秩相同,无关
3.反证法(T+五型三3)
1.方法: 证无关性,不好证明时,可假设线性相关,推出矛盾
2.典型标志: α不是A的特征向量
3.向量组等价
r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ Ⅱ) = r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且可以单方表示
第五章 特征值/特征向量
1.特征值和特征向量
1.用λ命题
1.k是λ →|kE-A|=0(建方程组求参数/证|kE-A|=0)
1.看到|aA+bE|=0 →λ=-b/a
2.证k是A的特征值
证|kE-A|=0,一般|kE-A|=-|kE-A|
2.k不是λ →|kE-A|≠0(kE-A可逆,满秩)
3.|A|=λ₁λ₂...λn tr(A)=λ₁+λ₂+...+λn
4.重要结论
1.重要表格结论:λ,α的关系
2.f(A)=0 →f(λ)=0
5.λ求法
1.公式法: |λE-A|=0
不好化简时
1.先假设两行成比例,求出λ看是否成立,不成立再换其他两行,直到找到成比例的两行
2.用这两行相加减,使其中一行出现0,这一行其他数必定一样,提出后变为常数行
3.再用常数行将行列式化为上三角,展开
2.定义法: AX=λX(X≠0)
常用条件
1.看到f(A)
解出λ的具体值,再根据tr(A)确定每个值具体有几个
2.AB=C →n个λ
3.关联法: 背公式
2.用α命题
1.α是特征向量 →α是(λ₁E-A)X=0的非零解
2.重要结论
1.k重λ至多有k个无关α
2.α₁→λ₁,α₂→λ₂,λ₁≠λ₂ →α₁,α₂无关
3.α₁→λ,α₂→λ → k₁α₁+k₂α₂→λ
4.α₁→λ₁,α₂→λ₂,λ₁≠λ₂ →k₁α₁+k₂α₂≠λ
1.P﹣¹AP=∧,判断P的可能构成
P中α的顺序必须与对应的λ保持一致 λ多重根时对应的不同α可线性组合
3.用矩阵方程命题
1.AB=0
βi都是A的λ=0的α
2.AB=C
βi是A的λi的α
3.AP=PB,P可逆
A～B
4.A的每行元素之和为k
λ=k, α=(1,1,1...)
4.用秩命题
1.若r(A)=1,tr(A)=a≠0
A²=aA →λ=0或a →λ₁=...=λn-1=0,λn=tr(A) r(0E-A)=1 →n-1重λ=0有n-1个无关α →A～∧
2.A～∧: A的相似对角化
1.充要条件
1.A有n个无关α
2.ni=n-r(λiE-A)
λi是ni重根
n重根有n个线性无关的特征向量
2.充分条件
1.A为实对称矩阵
2.A有n个不同λ
3.A²=A
4.A²=E
5.r(A)=1,tr(A)=a≠0
经常用来出题
3.必要条件
1.A～∧ →r(A)=非零特征值的个数(重根按重数计算)
4.否定条件
1.A的λ全为k,但A≠kE
2.A≠0,Aⁿ=0
λⁿ=0 →λ全为0 →A=0
5.判断流程
1.A是否为实对称矩阵: AT=A?
2.不为实对称矩阵,判断λ
1.λ都是单值 →可对角化
2.任一特征值重数与其无关特征向量个数一致 →可对角化
3.存在n个无关的α →可对角化
6.证明未知矩阵A可对角化
1.先找到n个无关向量作为底=P
2.根据已知A的方程,利用P化为AP=PB形式(B为向量线性组合的系数)
3.转化为证B可对角化
3.A～B
1.四大性质
1.λA=λB (|λE-A|=|λE-B|)
2.|A|=|B|
3.tr(A)=tr(B)
4.r(A)=r(B),反之不对
1.只能用来否定,不能用来肯定 2.用来求参数
补:αB = P﹣¹αA
2.重要结论
1.转置,逆阵,伴随均相似(只有转置的P不同,P相同时,可以相互结合)
2.Aⁿ～Bⁿ,f(A)～f(B)
若B=∧ → Aⁿ=P∧ⁿP﹣¹ , f(A)=Pf(∧)P﹣¹
3.A～B,B～∧ →A～∧
Q﹣¹P﹣¹APQ=∧ →令PQ=C →C﹣¹AC=∧
求可逆C,使C﹣¹AC=∧
4.A～∧,B～∧ →A～B
QP﹣¹APQ﹣¹=B →令PQ﹣¹=C →C﹣¹AC=B
求可逆C,使C﹣¹AC=B
先根据A的等式找到B
5.λ₁=...=λr≠0,λr+1=...=λn=0且A可对角化
r(A)=r
3.判断流程
1.首先判断|λE-A|=|λE-B| →A,B有相同的λ
2.再判断A,B是否可对角化
1.A,B可对角化 →A相似于B
2.A可对角化,B不可对角化 →A不相似于B
3.A,B都不可对角化,若r(λE-A)=r(λE-B) →A相似于B
4.实对称矩阵与正交阵
1.A为实对称矩阵
1.λ均为实数,α均为实向量
2.λ₁≠λ₂ →α₁与α₂正交(建方程,求未知α)
看到实对称,必用
3.必可用正交阵P相似对角化,使P﹣¹AP=∧
2.A为正交阵
→A﹣¹=AT →A由规范正交基组成 →AT,A﹣¹,A*,-A都是正交阵 →|A|=±1,λ=±1 →X=AY,则|X|=|Y|(正交变换相当于旋转)
2.若P,Q为同阶正交阵
PQ为正交阵(上述可以乘积组合),P+Q不一定
第六章 二次型
1.配方法
1.含平方项
配成完全平方项
2.不含平方项
创造平方项:x1=y1+y2,x2=y1-y2
3.常用场合
1.仅求正,负惯性指数p,q及反问题
2.判断A的正定性
3.小题多
4.矩阵语言
1.对实对称矩阵A,必存在可逆C,使CTAC=∧
1.∧不唯一,视C而定,p,q唯一,r(A)=p+q
5.典型例题: 化为标准型/规范性
1.化标准型注意3项在一起的平方,共6项,对比系数/形式
2.反解x,得到x=c₁y的可逆线性变换
3.再用y=c₂z的可逆线性变换化为规范性(缩小系数)
4.最终在x=c₁c₂z的线性变换下化为规范性(一定从x开始)
其中C横着写,因为X,Y为列向量
2.正交变换法
1.基本步骤(在相似基础上多加几步)
1.自己写出X,令f=XTAX
2.求λ,α,对α正交规范化
只需处理同一λ的α,不同λ的α天然正交
3.令Q=(r₁,r₂,...),QTQ=E,QTAQ=∧
4.f=XTAX(在X=QY下)=YT(QTAQ)Y=...
2.反求参数
利用λ的值得出行列式关系
3.反求A/f
4.最值问题: 若λ₁≤λ₂≤...≤λn
1.
证明: 用正交变换x=Qy后对λ放缩,其中XTX=YTY(正交变换不改变图形形状)
2.若XTX=1,f(min)=λ₁ ,f(max)=λn
证明: 在标准型上对y取特殊值(0,0,...,1),(1,0,0...0)
3.实对称矩阵合同
1.A,B合同 = 存在可逆C,CTAC=B = Pa=Pb,qa=qb(特征值正负个数相同)→判定方法
2.已知A,B,求C,使CTAC=B
利用配方法,将A化为标准型,再将A的系数向B转化,反解x得到x=cy(其中c横着写)
3.A合同与B,B合同于C,则A合同于C
PTAP=B,QTBQ=C →DTAD=C (D=PQ)
可考大题
4.正定二次型
1.前提: A=AT
2.正定的充要条件
1.定义法: 任意X≠0,XTAX>0
适用于由A证B
2.特征值法: A正定 →λ₁>0,...,λn>0
适用于由A证A
抽象型
3.顺序主子式法: A正定,所有顺序主子式>0
适用于矩阵
具体型
3.正定的必要条件
1.aii>0
2.|A|>0
4.重要结论(背)
1.A正定 →KA,A﹣¹,A*,Aⁿ,CTAC正定
2.A,B正定 →A+B,(A 0)正定 0 B
3.A,B正定且AB=BA →AB正定
相互之间可以组合
对比: 若P,Q为正交阵,P+Q不一定为正交阵 若A,B正定 →A+B正定
4.A正定且正交阵 →A=E
惯用思维
1.行列式
1.化简行列式
一定找到差别最小的两行
2.|A+B| |A﹣¹+B﹣¹|
不能再展开,只能将B转化为A,化为乘积形式(E=A·A﹣¹)
3.每行含x的系数相同
用列变换更简单
4.已知B的方程,求|B|
不用将B单独分离出来,可以直接算行列式,用拉普拉斯法则,避免判断是否可逆
5.利用递推法求n阶行列式
递推时,一定找到各项之间的下标关系
6.|A|与0有关,且A为抽象矩阵
用秩的方法来证明,不为零则满秩
看到|AB|
r(AB)≤min{r(A),r(B)}
7.看到A*=AT,且A为非零矩阵
Aij=aij,设a₁₁≠0,|A|=a₁₁²+a₂₂²+...>0 ≠0
2.矩阵
1.★ 求(A-B)﹣¹A
不用分开算,(A-B:A)→E:(A-B)﹣¹A (行变换作用在左边)
2.矩阵的秩
1.看到AT·A
r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)
2.看到AB=0 ★
r(A)+r(B)≤s (内标)
2.1 看到A²=0
r(A)+r(A)≤n
3.看到A+B,A-B,r(A)+r(B)
r(A±B)≤r(A)+r(B)
4.看到r(A),r(A*)
r(A*)=n ,r(A)=n 1 ,r(A)=n-1 0 ,r(A)<n-1
5.看到r(A),r(B),r(AB),AB
r(AB)≤min{r(A),r(B)}
6.看到r(AB)< r(A)★
r(B)<n
7.看到P,Q可逆
r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) (初等变换不改变矩阵的秩)
7.1 看到P列满秩,Q行满秩
r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) (左乘列满秩,右乘行满秩)
PA=PB →A=B, AQ=BQ →A=B (列满秩左消去,行满秩右消去)
8.看到r(A)≥2
A至少两行不成比例
9.看到A=B
A-B=0,r(A-B)=0
9.1 看到AB≠0
r(AB)≥1
10.看到A²=A
r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)=n
证:A(A-E)=O,r(A)+r(A-E)≤n,r(A)+r(E-A)≥r(E)=n
r(0E-A)+r(1E-A)=n →s₁+s₂=n →A～∧
11.看到A²=E
r(A+E)+r(A-E)=r(E+A)+r(E-A)=n
1.用的时候证明:Z五二3,4/T+五型一2 2.A的方程可因式分解都可用此法A²-A-2E=0
12.看到AX=0
s=n-r(A)
基础解系中向量个数=未知数个数-系数矩阵的秩
12.1 A～∧
ni=n-r(λiE-A)
λi是ni重根
n重根有n个线性无关的特征向量
13.A～∧
r(A)=非零特征值的个数
14.看到(A AB)
令C=AB →C的列向量可由A的列向量表示(前者) →r(A AB)=r(A) 但r(A BA)≠r(A)
15.看到Am*n,m≠n
r(A)≤min{m,n}
16.看到向量α,β≠0
r(α)=r(β)=1
17.看到Aij≠0
r(A*)≥1, 若r(A)<n →r(A*)=0或1 →r(A*)=1 →r(A)=n-1 →基础解系含一个无关的解向量
18.看到具体方程组,有两行不成比例
r(A)≥2
19.具体操作
1.β₁,β₂,β₃互不相同,记为B,都不是AX=0的解
AB≠0,r(AB)≥1
3.E+A可逆,B=(E+A)﹣¹(E-A),求E+B的逆★
重要思维: 类比思想,1+a可逆,b=(1-a)/1+a,直接算(1+b)﹣¹,求出结果后类比从后往前推
4.看到f(A)
1.在矩阵中: 因式分解
2.在特征值中: f(A)→f(λ)
5.A为3*3的秩一矩阵,已知第一行元素
可直接得到AX=0的两个无关的基础解系(第一个元素化为1,直接写出)
6.看到A*=AT,且A为非零矩阵
Aij=aij,设a₁₁≠0,|A|=a₁₁²+a₂₂²+...>0 ≠0
3.线性方程组
1.A可经过初等列变换化为B,求其中参数
1.列变换与行变换相同,没有区别,初等变换不改变秩
2.不要想着将A向B转化(错误思想),应该都将AB化为最简形,秩相同
2.AX=B存在两个不同的解
r(A)=r(A B)<n
3.已知ξ₁,ξ₂为齐次的解,问下列哪个为齐次的解向量
1.首先判断ξ₁,ξ₂是否为基础解系
2.是,用ξ₁,ξ₂表示下列,看哪个满足,(ξ₁,ξ₂ α₁,α₂)放在一起,一网打尽
4.若非齐有通解k₁ξ₁+k₂ξ₂+η,判断哪个为解
用(ξ₁,ξ₂ α₁-η,α₂-η)来判断
0.首先观察方程中是否两行不成比例
r(A)≥2
0.1 非齐有不同的解
r(A)=r(A b)<n
1.由非齐的解制造非齐的解→系数之和为1,制造齐次的解→系数之和为0
2.由AX=0的通解 →A*X=0的基础解系
由通解个数判断r(A)的值 →r(A*)的值 →基础解系的个数 (已知A的构成,由A*A=0 →A是A*的解,选A中无关的向量作为A*的基础解系)
3.已知非齐的3个具体解,最多能写两个无关的齐次的解(第三个必然可由前两个线性表示)
3.1 已知非齐的3个无关抽象解 →齐次至少有两个无关解
两两相减构造两个齐次的解,用定义法证明k₁=k₂=0无关
4.看到Aij≠0
r(A*)≥1, 若r(A)<n →r(A*)=0或1 →r(A*)=1 →r(A)=n-1 →基础解系含一个无关的解向量
4.向量
1.一个向量是其他向量的组合→乘积形式
1.A的每一列减去其余各列
行和相等的矩阵,对角线为1,其余都是-1
2.A=
利用A²=(α,β)A (内积) →得到f(A) →特征值定义法 AX=λX →解出λ的取值 →tr(A)=(α,β)确定λ取值
3.已知α₂=2α₁+α₃ ,求AX=0的解
2α₁-α₂+α₃=0 →前面的系数即为解
5.特征值/特征向量
0.必用技巧
1.看到实对称矩阵★
必用不同λ的α正交,求出未知α
1.A的每行元素之和为k
λ=k, α=(1,1,1...)
2.看到|aA+bE|=0 →λ=-b/a
3.证k是A的特征值
证|kE-A|=0,一般|kE-A|=-|kE-A|
4.看到f(A)=0 →f(λ)=0
5.看到3个向量线性无关
可以把这三个向量当做底,把其他向量用这3个表示,写为方程形式
6.P﹣¹AP=∧,判断P的可能构成
P中α的顺序必须与对应的λ保持一致,λ多重根时对应的不同α可线性组合
7.若r(A)=1,tr(A)=a≠0
A²=aA →λ=0或a →λ₁=...=λn-1=0,λn=tr(A) r(0E-A)=1 →n-1重λ=0有n-1个无关α →A～∧
8.看到λ=k为二重特征值
2=n-r(kE-A) →r(kE-A)=n-2,可求出矩阵中的未知数
9.看到A～B,求参数
首先用tr(A)=tr(B),再用|λE-A|=|λE-B|=0
10.看到实对称矩阵★
必用不同λ的α正交,求出未知α
11.
1.AT=A,A为实对称矩阵,可相似对角化
2.求出Aα=β,Aβ=α →相加,相减,可得到两个λ,α
3.r(A)≤r(α)+r(β)=2<n (|A|=0,λ=0)→AX=0必有非零解r →Ar=0r →λ=0,α=r
结论记住
4.A为实对称矩阵,α两两正交,可构造r=α₁×α₂
12.λ=0或2,A为3阶,r(A)=2,AT=A
A为实对称矩阵,可对角化 →r(A)=非零特征值个数 →λ₁=0,λ₂=λ₃=2
13.证明未知矩阵A可对角化
1.先找到n个无关向量作为底=P
2.根据已知A的方程,利用P化为AP=PB形式(B为向量线性组合的系数)
3.转化为证B可对角化
14.已知A,P,B=P﹣¹A*P,求B的λ,α
先求A的λ,α,再求A*的λ,α与A相同,最后求B的λ与A*相同,αB=P﹣¹αA*
6.二次型
1.判断是否合同
都化为标准型,看p,q是否相同
2.A正定,证存在B,使A=B²
反求B的问题,根据A实对称 →Q﹣¹AQ=∧ →反解A后对∧开根号,中间乘Q﹣¹Q
3.已知A,B,求C,使CTAC=B
利用配方法,将A化为标准型,再将A的系数向B转化,反解x得到x=cy(其中c横着写)
易错点
1.行列式
1.对kE取行列式
|kE|=kⁿ,不是k
2.系数矩阵化为最简形后不是标准形式,求特解
首先确定自由变量,对应位置为0,一定确保系数矩阵的每行*特解=b(注意b中不为0的项)
2.矩阵
1.(A AB)=A(E B) (A BA)≠(E B)A
若A,B都是3*3 (A AB),(A BA)都是3*6 (E B)3*6 前者可乘,后者不可乘
3.线性方程组
0.典型题目
1.写出通解和特解的形式
0.首先都化为规范性,不是最简形
1.对未约束的变量(假设2个),对应位置通解写(1,0),(0,1),其他位置从上面开始取相反数抄下来
2.对于特解,对应位置赋值(0,0),其他的直接抄下来
1.求可逆X,使AX=B
求出X后,必须排除掉|X|=0的情况
4.向量
5.特征值/特征向量
6.二次型
1.用配方法化为标准型/规范性时
其中C横着写,因为X,Y为列向量
2.正交阵与正定二次型
对比: 若P,Q为正交阵,P+Q不一定为正交阵 若A,B正定 →A+B正定
7.几个定义
1.实对称矩阵:
2.正交矩阵:
3.α的模/长度||α||:
规范答题
1.行列式
1.利用数归法证n阶行列式
记Dn=|A|
2.利用克拉默法则时
说明|A|的第几列换成b,并写出替换后的行列式
3.讨论解的情况时
写出Ax=b的具体矩阵形式,写出增广矩阵,写出对应的齐次方程组
2.矩阵
3.线性方程组
4.向量
5.特征值/特征向量
6.二次型
常用结论
1.
1.x₁+x₂+...+xn=-a₁ (n-1次方的系数的相反数)
2.x₁·x₂·...·xn=(-1)ⁿan (常数项的(-1)ⁿ)
2.1-xⁿ =(1-x)(1+x+x²+x³+...+xⁿ﹣¹)