概统第二章 随机变量及其分布

概统第二章 随机变量及其分布（无答案），设随机变量是 随机试验E的样本空间为S={e},如果对于每一个样本点 ,都有确定的实数值X(e)与之对应，则取值为实数的函数X=X(e)称为随机变量，简记为X。

概统第二章 随机变量及其分布

• 2.1 随机变量
  • 定义
    • 设随机试验E的样本空间为S={e},如果对于每一个样本点 ,都有确定的实数值X(e)与之对应，则取值为实数的函数X=X(e)称为随机变量，简记为X。
      • （1）通常用 或希腊字母 等表示随机变量。
      • (2) 随机变量X是定义在样本空间S={e}上的一个单值实值函数。
      • (3) 随机变量X是一个确定性函数。（不确定性是针对一个样本点发生与否）
  • 对每一可能的结果e，都有一实数X(e)与之对应。
  • 引入随机变量后，随机事件就用随机变量的取值来表示。随机事件的概率转化为随机变量取值的概率。
• 2.2 随机变量的分布函数
  • 为了研究随机变量X在整个实数轴上的任意区间内取值的概率规律。我们引进随机变量的分布函数的概念。
  • 定义
    • 设X为随机变量，对于任意实数x，令 称F(x)为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数。记为
  • 分布函数 F(x)具有以下基本性质：
    • （1)取值范围: ，且
    • (2)单调不减: 即
    • (3)右连续,
    • (4)
    • (5)
• 2.3 离散型随机变量及其概率分布
  • 根据取值的不同特点，随机变量分为离散型和非离散型随机变量。非离散型随机变量中，主要研究连续性随机变量.
  • 离散随机变量的定义：若随机变量X只可能取有限个或可数个实数值： 则称X为离散型随机变量。X取各个可能值的概率 称为离散型随机变量X的概率分布(或分布律,或分布列)。
  • 离散型随机变量的分布律：
    • 描述离散型随机变量取值的概率规律.
    • 具有分布函数的相同作用,
    • 比分布函数更直接简便地描述随机变量取值的概率规律.
  • 离散型随机变量X的分布律的表示方法:
    • (1)公式法:
    • (2)列表法或矩阵法 :
  • 离散型随机变量X的分布律具有下列基本性质：
    • （1）
    • （2）
  • 定理：设离散型X分布律
    • (1) X的分布函数
    • (2)对于任意区间I，有
    • (3) 分布律可由分布函数确定
• 2.4 常用离散型随机变量的分布
  • 两点分布
    • 定义
      • 若随机变量X的分布律为 ，则称X为服从参数为p的两点分布,或称(0-1)分布.
      • 一般来说,凡是只有两个可能结果的随机试验,都可用服从两点分布的随机变量来描述.
  • 二项分布
    • 二项分布来源于n重贝努里(Bernoulli)试验。
      • (1) n次相互独立的试验:某种试验重复做n次.如果每次试验的结果出现的概率不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的.
      • （2）n重Bernoulli试验:设试验E只有两个可能结果: ， .将试验E独立地重复做n次,则这n次独立重复试验称为n重Bernoulli试验.
        • 贝努里试验是一种非常重要的数学模型，不但理论上有重要意义，而且在实际中也有广泛应用。
    • 分布律
      • n重Bernoulli试验中,设事件A发生的次数为随机变量X,则X的所有可能取值为0,1,2,…,n.
      • 随机变量X的分布律： P{X=k} (k=0,1,2,…,n).
    • 二项分布的定义
      • 如果随机变量X的分布律为 则称X服从参数为n,p的二项分布,记作X～B(n,p).
      • 两点分布是二项分布的特殊形式，即X～B(1,p) 。
    • 小概率原理具有两面性：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的；小概率事件在很多次实验中几乎是一定会发生的．
  • 泊松分布
    • 定义
      • 若随机变量X的分布律为 ，其中λ>0则称X服从参数为λ的泊松分布，记作 .
      • 适于描述：单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。
    • Poisson定理
      • Poisson定理说明：
        • 若X ~ B( n, p), 则当 n 较大，p 较小，而np=λ适中，则可以用近似公式
    • 当n很大而p很小时, 二项分布与泊松分布具近似关系，一般地，当n>=10, p<=0.1时，有近似公式：
    • 泊松分布查表:
  • 超几何分布
    • 设一批产品中有M件正品,N件次品.从中任意取n件,则取到的次品数X是一个离散型随机变量,它的概率分布为: 。这个分布称为超几何分布。
• 2.5 连续型随机变量及其概率密度函数
  • 定义
    • 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个定义在(－∞，+∞)上非负可积函数f(x)，使得对任何实数x，恒有 ，则称X为连续型随机变量,称函数f(x)为随机变量X的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.
  • 概率密度函数f(x)的性质
    • (1) 对一切x∈(－∞,+∞), f(x)≥0，
    • (2)
    • 反之,任何一个具有性质(1)和(2)的实数域上可积函数f(x)，可成为某个连续型随机变量的概率密度函数.
  • 分析性质
    • 设X为连续型随机变量, 分布函数为F(x),概率密度为f(x),则有
      • （1）
      • (2) 若f(x)在x0点连续，则F(x)在x0点可导,且 ，若f(x)是分段连续函数，只有有限个不连续点，则 。
      • （3） 连续型随机变量取任何特定值的概率都是0。
      • （4） 连续型随机变量在任一区间上取值的概率：此区间上概率密度函数曲线下方的曲边梯形的面积。
• 2.6 常用的连续型随机变量分布
  • 均匀分布
    • 如果连续型随机变量X，它的概率密度函数为： 则称X在区间[a，b]上服从均匀分布。记做X~U[a,b].
  • 指数分布
    • 若随机变量X的概率密度为 则X称服从参数为λ的指数分布,计为 X~e(λ)
      • 子主题
  • 韦布尔（Weibull）分布
  • 伽马分布
  • 正态分布
    • 定义
      • 若X为连续型随机变量，且其概率密度为 ，其中 均为常数,那么称X为服从参数为μ,σ的正态分布。记作:
    • 正态分布的概率密度曲线具有如下性质：
      • (1)曲线关于直线x=μ对称; (-∞,μ] 严增， [μ,+ ∞) 严减 当x=μ时,f(x)达到最大值
      • （2） 所以曲线以x轴为渐近线；
      • （3）曲线在x=μ+σ及x=μ－σ处有拐点.
  • 标准正态分布
    • 参数μ=0,σ=1的正态分布，即N(0,1)，称为标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用φ(x) 和Φ(x)表示，即有
    • 子主题
    • Φ(x) 可查表
    • 标准正态分布N(0,1)的下侧α分位点
    • 一般正态分布 与标准正态分布N(0,1)的关系
• 判断函数是否为某一随机变量的分布函数：若定义在 上的实函数F(x)满足性质(1)-(3)，则F(x)一定是某随机变量X的分布函数。