导图社区 行测-数量关系（含技巧讲解和例题详解）
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行测-数量关系（含技巧讲解和例题详解）
公考行测数量关系思维导图，内容包括解题技巧及对应例题详解。
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- 相似推荐
- 大纲
行测-数量关系
数字推理
基础数列
等差数列
1，6，11，16，21，26
等比数列
3，6，12，24，48，96
质数数列
2，3，5，7，11，13，17，19
合数数列
4，6，8，9，10，12，14，15
1不是质数也不是合数 ∴出现1的时候不用考虑质数合数数列
周期数列
数字循环
1，5，1，5，1，5
符号循环
1，-2，3，-4，5，-6
简单递推数列
递推和
1，2，3，5，8，13，21
递推差
21，13，8，5，3，2，1
递推积
1，2，2，4，8，32
递推商
32，8，4，2，2，1
特征数列
多重数列
特征
项数多，一般在6项以上（包括未知项），偶尔会有2个括号
思路
1、先交叉（考得多）：奇数项和偶数项分别成规律
2、再分组：两两分组；三三分组（总项一般再9项或12项）；四四分组（12项）
列题
【例1】（2016 广东县级）8，14，16，21，24，28，（ ） A.35 B.34 C.33 D.32
【解析】例1.不是基础数列，先找特征，数列有7 项，考虑多重数列，先交叉看，奇数项和偶数项分别找规律。奇数项：8、16、24、（ ），相差8，可以猜测（ ）-24=8，（ ）=32，对应D 项。验证偶数项也有规律，都相差7。【选D】 【注意】多重数列，先交叉看，从所求项入手找规律，例如此题在考场上，得出答案D 项后，无需验证偶数项。
【例2】（2020 上海）2，8，4，16，6，32，8，（ ） A.16 B.64 C.128 D.256
【解析】例2.一共有8 项，考虑多重数列，先交叉看，从所求项入手，看偶数项：8、16、32、（ ），都是2 倍关系，则（ ）=32*2=64，对应B 项，在考场上得出答案之后无需再验证奇数项。奇数项：2、4、6、8，都相差2。偶数项是等比规律，奇数项是等差规律，只要奇数项和偶数项有规律即可，不一定要求规律一样。【选B】
【例3】（2018 广州）1，1/3，2，2/3，3，1，4，（ ） A.2 B.4/3 C.5 D.5/2
【解析】例3.一共有8 项数列，考虑多重数列。 方法一：先交叉找规律，从所求项入手，看偶数项：1/3、2/3、1、（ ），两两之间作差相差1/3，则（ ）-1=1/3，（ ）=1+1/3=4/3，对应B 项。 方法二：多重数列可以交叉看，也可以分组看。一共8 项，无法三三分组，考虑两两分组：（1，1/3），（2，2/3），（3，1），发现每组的两个数之间都是3倍关系，那么（ ）和4 也存在3 倍关系，则（ ）=4/3，对应B 项。【选B】
【例4】（2020 上海）3，2；5，1；6，4；10，2；12，8；（ ） A.14，1 B.16，2 C.18，3 D.20，4
【解析】例4.多重数列，且题目出现分号，分组观察。 方法一：优先找组内的规律，相加或相减。相加：3+2=5，5+1=6、6+4=10，未发现规律；作差：也没有明显规律；作商：3/2=1.5，5/1=5，6/4=1.5，10/2=5，发现周期循环规律，验证规律，12/8=1.5 倍，看选项，只有D 项的两个数符合5倍关系，当选。 方法二：还可以看组间的规律（找前一组和下一组数字之间的联系），3+2=5（前一组两个数字相加等于后一组的第一个数），3-2=1（前一组两个数字相减等于后一组的第二个数）。验证规律，5+1=6，5-1=4；6+4=10，6-4=2，符合规律，那么12+8=20，选项满足第一个数是20 的只有D 项，12-8=4，对应D 项。【选D】
【例5】（2020 广东选调）100，7，14，（ ），100，5，20，0，100，3，33，1 A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】例5.一共有12 项，考虑多重数列，先交叉再分组看，从所求项入 手，偶数项：7、（ ）、5、0、3、1，找不到规律。再分组看：如果两两分组， 未找到规律；如果三三分组，仍然找不到规律；考虑四四分组，所求项靠着前面， 优先从后往前看，100、3、33、1，发现3*33+1=100，验证规律，5*20+0=100， 那么7*14+（ ）=100，则（ ）=2，对应B 项。【选B】
分数数列
特征
全部或大部分是分数
思路
找规律前，可以尝试先约分成最简分数。观察分子、分母是否单调递增或递减。 （1）是： ①先分开看：上下看，分子、分母分别成规律 ②再一起看：左右看，两分数之间四则运算。前一项的分子分母整体观察，如何得到后一项的分子分母。 （2）否： 反约分转化为单调递增或递减，从破坏变化规律趋势的项入手，使分子、分母分别成规律。 2/4—>1/2，叫做约分，1/2—>2/4 3/6，反约分。 1/3，2/4，3/5，4/6比较简单，出题人会变为1/3，1/2，3/5，2/3，需要反约分再找规律。
例题
【例1】（2019 广东县级）1/2，2/6，2/8，3/15，（ ） A.3/18 B.3/16 C.5/25 D.7/25
【解析】例1.分数数列，从2/6 开始发现分数都能约分，数列约分之后为： 1/2、1/3、1/4、1/5，则（ ）=1/6=3/18，对应A 项。【选A】
【例2】（2019 河南司法所）1/2，1/3，1/5，1/7，1/11，1/13，（ ） A.1/17 B.1/18 C.1/26 D.1/22
【解析】例2.分数数列，观察发现分母越来越大（单调递增），分子都是1，则（ ）的分子是1。数列分母：2、3、5、7、11、13，质数数列，下一个质数为17，则（ ）=1/17，对应A 项。【选A】
【例3】（2015 广东）2/5，3/10，7/30，23/210，（ ） A.31/967 B.35/1208 C.159/2282 D.187/4830
【解析】例3.分数数列，观察数列分子和分母都是单调递增。分子、分母先分开找规律，分子项：2、3、7、23，两两作差得到1、4、16，两两之间是4倍关系，猜测后一项为64，23+64=87，（ ）的分子为87，无与之对应的选项；分母：5、10、30、210，倍数关系是2、3、7，无明显规律。分子分母一起看，5-2=3，5*2=10；10-3=7，10*3=30；30-7=23，3*70=210，发现规律，前一项分子和分母相减得到下一项的分子，前一项分子和分母相乘得到下一项的分母，那么（ ）=（210-23）/（210*23）=187/4830，对应D 项。【选D】
【注意】（ ）=（210-23）/（210*23）=187/（210*23），187（质数）不能 约分得到31、35、159，排除A、B、C 项，对应D 项。
【例4】（2018 吉林）3/2，8/5，21/13，（ ），144/89 A.16/28 B.56/39 C.21/35 D.55/34
【解析】例4.分数数列，观察分子、分母都是单调变化，分子、分母先分开找规律，未发现规律；分子分母一起看（观察前一项分子、分母和后一项分子、分母是否存在联系）。分母规律：2+3=5，5+8=13，那么（ ）的分母=13+21=34，看通过分母是否能选出答案，A、B、C 项的分母不可能通过34 约分得到，排除，D 项当选。分子规律：前一项的分子+后一项的分母=后一项的分子，3+5=8，8+13=21，那么（ ）的分子=21+34=55，则（ ）=55/34，对应D 项。【选D】
【例5】（2020 广东选调）1/3，1/2，3/5，2/3，（ ） A.5/6 B.7/8 C.5/7 D.6/7
【解析】例5.分数数列，观察分子、分母不是单调变化（有增有减），需要反约分。1/2、2/3 破坏了递增趋势，先从1/2 入手，1/2 前面一项的分母是3，后面一项的分母是5，只能把1/2 反约分为2/4，则2/3=4/6，此时分子为1、2、3、4，得出（ ）的分子为5；分母为3、4、5、6，则（ ）的分母为7，那么（ ）=5/7，对应C 项。【选C】
【例6】（2018 浙江）1/16，1/7，1/4，2/5，5/8，（ ） A.6/7 B.1 C.3/2 D.2
【解析】例6.分母不是单调变化（有增有减），反约分变成单调变化再找规律。分母有增加有减少，不好判断，从分子入手，分子整体应该是递增趋势，中间数字的分子破坏了递增趋势，从中间分数入手。观察首尾分数的分子1 和5，推测中间分数的分子依次为2、3、4，反约分：1/7=2/14，1/4=3/12，2/5=4/10。看反约分后的分母：16、14、12、10、8，是公差为2 的等差数列，则（ ）的分母为6，（ ）=6/6=1，对应B 项。【选B】
【例7】（2020 江苏）32/7，4，128/25，128/17，512/43，（ ） A.6 B.256/13 C.512/19 D.512/53
【解析】例7.数列虽然有整数4，但是其他都是分数，考虑为分数数列，观察分子、分母不是单调变化，先进行反约分。128/17 的分母17 破坏了分母递增趋势，从此分数入手，反约分（分子、分母扩大），128 扩大之后要在128 和512之间，则128/17=128*2/（17*2）=256/34。反约分之后数列的后三个分数的分母分别为25、34、43，是公差为9 的等差数列；分子之间是2 倍关系。验证规律，4=64/（25-9）=64/16，32/7=32/（16-9），那么（ ）的分母=43+9=52，19和53 不能由52 约分得到，排除C、D 项。（ ）=512*2/52=1024/52=512/26=256/13，对应B 项。【选B】
作商数列
特征
相邻两项之间倍数关系明显，相邻两项之间都能除尽
注：做商时注意方向；商有正有负，有整数有分数
思路
两两做商
例题
【例1】（2019 新疆）2，2，4，12，48，（ ） A.120 B.96 C.100 D.240
【解析】例1.2/2=1，4/2=2，12/4=3，48/12=4，那么（ ）=48*5=240，对应D 项。【选D】
【例2】（2019 广东县级）120，60，20，5，（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】例2.120/60=2，60/20=3，20/5=4，注意作商的方向（都用前/后），5/（ ）=5，则（ ）=1，对应A 项。【选A】
【例3】（2018 江苏）1，-5，10，10，40，（ ） A.-35 B.50 C.135 D.280
【解析】例3.-5/1=-5，10/（-5）=-2，10/10=1，40/10=4，作商数列特征：所有相邻两项之间都能除尽。-5、-2、1、4，相邻两项之间都相差3，那么（ ）/40=4+3=7，（ ）=40*7=280，对应D 项。【选D】
【例4】（2019 河南司法所）2，6，24，168，（ ） A.740 B.1848 C.1478 D.924
【解析】例4.6/2=3、24/6=4、168/24=7，大胆猜测3+4=7（和递推），4+7=11，推测（ ）=168*11，利用错位相加，（ ）=168*10+168=1848，对应B 项。【选B】
【例5】（2015 广州）9.6，48，12，36，18，（ ） A.4.5 B.9 C.18 D.24
【解析】例5.48 是12 的整数倍，12 和36、36 和18 都能除尽，后/前，48/9.6=5、12/48=1/4、36/12=3、18/36=1/2，得到5、1/4、3、1/2，一个整数一个分数，下一项为1，则（ ）为18 的1 倍，（ ）=18，对应C 项。【选C】
幂次数列
特征
数字本身是幂次数或在幂次数附近
算上所求项一共有5项，数列较短，考虑幂次数列
思路
普通幂次
直接转化成幂次数a^n找规律
修正幂次
数列中的数在幂次数附近。如数列中有63、62、61
先转化为普通幂次±修正项，再找规律。考试热门：64、16
原理：4、9、16、25、36、49、64属于普通幂次，太简单，要增加难度，加上修正项，每个数-1，变成3、8、15、24、35、48、63、（），看到63在64附近，考虑幂次修正。
靠近64附近的数，考虑修正幂次
注意点
（1）1/n=n^(-1) （n≠0）
（2）1=1^n=m^0（m为非0数）,0=0^n（n>0）
（3）优先转化唯一幂次数（先避开1、64、81）
重点
平方（1^2~20^2都需要记住）
11²=121；12²=144；13²=169；14²=196；15²=225；16²=256；17²=289；18²=324；19²=361
3次方
2³=8；3³=27；4³=8²=64；5³=125；6³=216；7³=343
4次方
2^4=4^2=16；3^4=9^2=81；4^4=16^2=256；5^4=25^625
5次方
2^5=32；3^5=243
2^1~2^10
2、4、8、16、32、63、128、256、512、1024
1
1=n^0（n≠0）=1^n，7^0=1，1^8=1
2²=(-2)²=4
注
变化较多的数
16=4²=2^4
64=8²=4³=2^6
81=9²=3^4
出现1/n，考虑负幂次
例题
【例1】（2020 浙江）1，4，27，256，（ ） A.1024 B.1620 C.3125 D.3456
【解析】例1.都是幂次数，4=2²、27=3²、256=16²=44，前面是2、3，则256=44，1=11，底数为1、2、3、4，下一项为5；指数为1、2、3、4，下一项为5，则（ ）=55，结果尾数为5，对应C 项。【选C】
【例2】（2020 江苏）1，1，4，9，25，（ ） A.64 B.49 C.81 D.121
【解析】例2.4=2²、9=3²、25=5²，都是平方数，则第二个“1”为1²，第一个“1”先保留，第一个“1”可能是1²，也可能是（-1）²。先观察后面数字的规律，指数均为2；底数为1、2、3、5，1+2=3、2+3=5，递推和数列，下一项为3+5=8，考虑第一个“1”的底数为-1 还是1，代入验证，看代入哪个数字满足递推和的规律。代入1，底数为1、1、2、3、5，符合递推和数列，则第一个1 为1²，规律成立，则（ ）=8²=64，对应A 项。【选A】
【注意】如果考虑第一个“1”的底数为-1，底数为-1、1、2、3、5，作两次差之后才有规律，可能会得到（ ）=9²，选择了C 项，但是答案就是不正确的，因为数字推理的规律是出题人说了算。对比-1、1、2、3、5 和1、1、2、3、5，递推和的规律更明显。
【例3】（2017 深圳）1，9，5，1，1/9，（ ） A.1/49 B.1/64 C.1/81 D.1/121
【解析】例3.第一眼看到题目，发现只有9 是幂次数，看到有一个分数（1/9），只有一个分数，不是分数数列，出现少量1/n 类型的分数，考虑负幂次。1/9=9-1=3-2，9=3²，5=51，猜测为3、5、7、9，则1=70，1=1³，底数为1、3、5、7、9，奇数列，下一项为11；指数为3、2、1、0、-1，下一项为-2，则（ ）=11-2=1/11²=1/121，对应D 项。【选D】
【注意】出现少量1/n 类型的分数，往往考查负幂次n-1=1/n，n≠0。
【拓展】（2016 深圳）1，5，18，67，（ ） A.258 B.259 C.260 D.261
【解析】拓展.项数比较少，只有5 项，看到67，是64 附近的数，由此入手。 方法一：67=64+3、18=16+2、5=4+1、1=1+0，修正项为+0、+1、+2、+3，下一项为+4；1=1²+0、5=2²+1、18=4²+2、67=8²+3，底数为1、2、4、8，等比数列，下一项为16，则（ ）=16²+4=256+4，尾数为0，对应C 项。 方法二：67=64+3=4³+3、18=4²+2、5=41+1、1=40+0，修正项为+0、+1、+2、+3，下一项为+4；底数均为4，指数为0、1、2、3，下一项为4，则（ ）=44+4，对应C 项。【选C】
【例4】（2015 浙江）5，63，37，511，101，（ ） A.1727 B.1833 C.1905 D.1929
【解析】例4.看到63，是64 附近的数，70%～80%的修正幂次数列中都会出现64 附近的数。63=64-1、37=36+1、5=4+1、511=512-1、101=100+1，修正项为+1、-1、+1、-1、+1，下一项为-1；将4、64、36、512、100 写成幂次数的形式，并且找规律，64=8²=4³，如果64 写成8²，4=2²、36=6²、100=10²，但是512 写不成平方数，说明这个规律行不通。把64 写成4³，4=2²、36=6²、10²，猜测底数为2、4、6、8、10，下一项为12，则512=8³，指数为2、3、2、3、2，下一项为3，则（ ）=12³-1，尾数8-尾数1=尾数7，对应A 项。【选A】
【例5】（2018 广州）3，11，13，29，（ ） A.31 B.34 C.38 D.41
【解析】例5.本题题目特征不明显，看不出是幂次数列。数列没有明显特征，很多同学会当成非特征数列来做，验证多级数列、递推数列，但是都没有规律。数列特别短，只有5 项，根据经验积累，幂次数列一般比较短。看到13，13 附近的幂次数有16，13=16-3、11=9+2、29=25+4、3=4-1，修正项为-1、+2、-3、+4，下一项为-5；找幂次数的规律，4、9、16、25 都是平方数，分别是2²、3²、4²、5²，下一项为6²，则（ ）=6²-5=31，对于A 项。【选A】
机械划分数列
特征
数列中都是小数，复杂小数
较大数字，由三位数或四位数构成
思路
先交叉、再分组。与多重数列的阶梯思路比较像，如果把小数点去掉，数列就变得很长，就像一个多重数列。
如果都是三位数（较大数字），组内求和，组内运算；如果都是四位数，考虑先交叉，再分组
例题
【例1】（2018 江苏）3.2，8.6，15.12，24.20，35.30，（ ） A.42.42 B.48.42 C.42.56 D.48.56
【解析】例1.都是小数，机械划分，先交叉再分组。交叉看，整数部分：3、8、15、24、35，作差，后-前，8-3=5、15-8=7、24-15=9、35-24=11，得到5、7、9、11，奇数列，下一项为13，则（ ）的整数部分为35+13=48，排除A、C项；小数部分：2、6、12、20、30，作差，后-前，6-2=4、12-6=6、20-12=8、30-20=10，得到4、6、8、10，偶数列，下一项为12，则（ ）的小数部分为30+12=42，（ ）=48.42，对应B 项。【选B】
【例2】（2018 深圳）1716，2523，3330，4642，5853，（ ） A.6862 B.6765 C.6662 D.6460
【解析】例2.都是四位数，机械划分，将四位数从中间分开，先交叉再分组。数列变为17|16，25|23，33|30，46|42，58|53。交叉看，前两位：17、25、33、46、58，作差之后为8、8、13、12，没有规律。交叉没有规律，分组看，考虑组内的关系，17-16=1，25-23=2，33-30=3，46-42=4，58-53=5，则下一组的差值为6。验证选项，A 项：68-62=6，满足；B 项：67-65=2≠6；C 项：66-62=4≠6；D 项：64-60=4≠6，答案选择A 项。【选A】
【例3】（2017 广东）325，118，721，604，（ ） A.911 B.541 C.431 D.242
【解析】例3.都是三位数，大部分题目是组内找规律。组内求和。3+2+5=10、1+1+8=10、7+2+1=10、6+0+4=10。A 项：9+1+1≠10；B 项：5+4+1=10；C 项：4+3+1≠10；D 项：2+4+2≠10，答案选择B 项。【选B】
【例4】（2019 广东选调）0.02，3.13，8.24，5.35，4.46，（ ） A.5.57 B.5.68 C.6.57 D.6.68
【解析】例4.都是小数，考虑机械划分，第一反应是以小数点为界，整数、小数分开看，整数部分：0、3、8、5、4，有增有减，没有规律；交叉没有规律，考虑分组，看组内（整数部分和小数部分）有没有规律，“8.24”中8 和24 有3倍关系，“5.35”中5 和35 有7 倍关系，但是其它的没有倍数关系。所以，以小数点为界交叉、分组都没有规律。如果把小数点去掉，可以当成三位数，把每个数拆开看，分别看每一位，第一位（0、3、8、5、4）没有规律。看第二位，第二位：0、1、2、3、4，自然数列，下一项为5；第三位：2、3、4、5、6，自然数列，下一项为7，则（ ）的小数部分为57，排除B、D 项；推整数部分，考试中出现过用后两位的乘积推整数，0*2=0，整数为0；1*3=3，整数为3；2*4=8，整数为8；3*5=15，整数为5，取的是乘积的尾数；4*6=24，整数为4，取的是乘积的尾数；则5*7=35，乘积的尾数为5，则（ ）的整数部分为5，（ ）=5.57，对应A 项。【选A】
【拓展】（2020 广东）9.19，4.27，5.35，2.43，（ ） A.3.51 B.5.51 C.5.60 D.6.68
【解析】拓展.全是小数，第一反应是以小数点为界分开，先交叉再分组。整数部分：9、4、5、2 有增有减，没有规律；小数部分：19、27、35、43，公差为8，下一项为43+8=51，则（ ）的小数部分为51，排除C、D 项；推整数部分，整数部分本身没有规律，但是可以由小数部分决定，看乘积。1*9=9，整数为9；2*7=14，尾数为4，整数为4，乘积的尾数决定整数部分；3*5=15，整数为5；4*3=12，整数为2；则5*1=5，（ ）的整数部分为5，（ ）=5.51，对应B 项。【选B】
图形数列
特征
三角形、圆形（有中心，无中心），方阵
思路
按所求项找大数或小数位置，无外乎凑大数或者凑相等
有中心凑中心
1 中心为大数：加和、乘积、平方、倍数、最小公倍数 2 中心为小数：减法、除法、开方、最大公约数
无中心凑大数，优先考虑对角线，按行按列凑大数
例题
【例1】（2019 上海）  A.144 B.169 C.196 D.289
【解析】例1.三角形，有中心凑中心。中心的数字比较大，144 是平方数，144=12²，用周围的数字凑中间的数字，3+4+5=12，即（3+4+5）²=144；验证，第二个图：（12+2+3）²=17²=289；第三个图：？=（7+4+2）²=13²=169，对应B项。【选B】
【注意】 1.中心为大数：加和、乘积、平方、倍数、最小公倍数。 2.中心为小数：减法、除法、开方、最大公约数。
【例2】（2020 浙江）  A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】例2.方法一：无中心凑相等，优先考虑对角线。第一个图：先看加法，8+4=12，18 和14 凑不出12。再看减法，8-4=18-14，找到相等的关系；验证，第二个图：7-9=3-5；第三个图：6-2=8-4；第四个图：5-？=10-5，即5-？=5，？=0，对应A 项。 方法二：竖着看，第一个图：8+14=18+4；第二个图：7+5=3+9；第三个图：6+4=8+2；第四个图：5+5=10+？，？=0，对应A 项。【选A】
【注意】 1.之前考方阵比较多，但也有可能之后考圆形和三角形。 2.无中心凑相等，可以从对角线方向，也可以横向或纵向，结合真题考查的规律分配情况，对角线考查的最多，所以优先考虑对角线。 3.本题竖着看也有规律，但是从考频角度，建议优先看对角线。但是如果能一眼看出竖着有规律，也可以用。
【例3】（2017 广州）观察表中数字的变化规律，依次填入空格X、Y 中的数 字是：  A.5，81 B.5，121 C.7，81 D.7，121
【解析】例3.方阵，大数都在最后一行，按列看。 方法一：看后两行，6²=36，15²=225，则Y=11²=121，X²=49，X=7，对应D项。 方法二：第一列：（4+2）*6=36；第二列：（3+4）*X=49，X=7；第三列：（6+5）*11=Y，Y=121；第四列：（8+7）*15=225，对应D 项。【选D】
【例4】（2020 广东）  A.16 B.27C.38 D.49
【解析】例4.方法一：方阵，按行按列找规律。按行看，最后一列是大数；按列看，最后一行是大数，大数位置不明显，先按行看，再按列看。按行看，先凑大数，第一行：4+5＞7；第二行：8+8=16；第三行：12+9＜27，凑大数凑不出来，则凑相等，第一行：4+5+7=16；第二行：8+8+16=32；第三行：12+9+27=48，16、32、48 是公差为16 的等差数列，则第四行加和为48+16=64，？=64-16-10=38，对应C 项。 方法二：第一行：5+7=4*3，第二行：8+16=8*3，第三行：9+27=12*3，后两项的和是第一项的3 倍，则？+10=16*3，？=38，对应C 项。【选C】
非特征数列
没有特征，不是多重、分数、做商、幂次、机械拆分、图形，就考虑非特征数列，先验证多级数列，多级没规律，再验证递推数列。说白了就是没规律先无脑做差，还是没规律，再做一次差试试，作差无效就再试试作和（一次）。
多级数列
特征
无明显特征，数列变化平缓（一般看数列最后两项，如果是2倍左右关系，一般不超过2倍，变化比较平缓，通常是多级数列；如果超过2倍，变化比较块，可以考虑递推。
思路
无脑做差，两两作差一至两次
做差没规律，考虑作和，作和只作一次，作和一次没有考虑就不是多级数列，考虑递推数列。
注
方向性：要么后减前，要么前减后
有根号：先统一形式，即均化为根号内
例题
【例1】（2019 河南司法所）11，14，23，50，131，（ ） A.292 B.326 C.356 D.374
【解析】例1.不是多重数列、分数数列、幂次数列、图形数列，数列没有特征，考虑多级数列，作差，后-前，14-11=3、23-14=9、50-23=27、131-50=81，得到3、9、27、81，公比为3 的等比数列，下一项为81*3=243，则（ ）=131+243，结果尾数为4，对应D 项。【选D】
【例2】（2018 广州）5，7，17，19，29，（ ） A.31 B.39 C.41 D.47
【解析】例2.数列没有特征，考虑多级数列，作差，后-前，7-5=2、17-7=10、19-17=2、29-19=10，得到2、10、2、10，周期数列，下一项为2，则（ ）-29=2，（ ）=31，对应A 项。【选A】
【例3】（2020 浙江）42，40，37，32，25，（ ），1 A.2 B.6 C.10 D.14
【解析】例3.算上所求项一共7 项，有同学认为是多重数列，但是交叉、分组都没有规律，试错可能需要20 秒。数列除了项数多之外没有其它特征，非特征数列，考虑多级数列。作差，前-后，42-40=2、40-37=3、37-32=5、32-25=7， 得到2、3、5、7，质数数列，下一项为11，则25-（ ）=11，（ ）=14，验证，14-1=13，符合规律，答案选择D 项。【选D】
【例4】（2020 广东选调）87，86，84，79，69，52，（ ） A.24 B.25 C.26 D.27
【解析】例4.不是分数数列、幂次数列、图形数列、机械划分，数列有7项，验证多重数列，但是没有规律。数列没有特征，考虑多级数列，作差，前-后，87-86=1、86-84=2、84-79=5、79-69=10、69-52=17，得到1、2、5、10、 17，没有规律，再作差，后-前，2-1=1、5-2=3、10-5=5、17-10=7，得到1、3、5、7，下一项为9，则17+9=26，52-（ ）=26，（ ）=26，对应C 项。【选C】
【注意】对于多级数列，大部分数列都呈递增趋势，可以统一都用“后-前”。
【例5】（2019 浙江）7，12，25，50，91，152，（ ） A.237 B.241 C.243 D.255
【解析】例5.数列有7 项，可能会认为是多重数列，验证之后发现没有规律。数列没有其它明显特征，考虑多级数列，作差，后-前，12-7=5、25-12=13、50-25=25、91-50=41、152-91=61，得到5、13、25、41、61，没有明显规律，再作差，后-前，13-5=8、25-13=12、41-25=16、61-41=20，得到8、12、16、20，公差为4 的等差数列，下一项为24，则61+24=85，（ ）-152=85，（ ）=152+85，结果尾数为7，对应A 项。【选A】
【例6】（2019 江苏）√6，√22，√14，3√2，4，（ ） A.√15 B.√17 C.√29 D.√21
【解析】例6.都有根号，考试并不考开根号，将根号看成一种形式，统一形式，将数字都放在根号内，找根号内数字之间的规律。3√2=√18，4=√16，根号内的数字为6、22、14、18、16，没有特征，考虑多级数列，作差，后-前， 22-6=16、14-22=-8、18-14=4、16-18=-2，得到16、-8、4、-2，符号正负循环，下一项符号为“+”，数字是等比数列，则下一项为1，16+1=17，还原根号为√17，对应B 项。【选B】
【注意】有根号，先统一形式，即均化为根号内。
【拓展】（2016 吉林）√2，√6，（ ），2√5，√30 A.√7 B.3√2 C.√10 D.2√3
【解析】拓展.都有根号，统一形式，2√5=√20。根号内的数字为2、6、（ ）、20、30，本题所求项在中间，从两头入手，没有明显特征，考虑多级，作差，得到4、？、？、10，猜测为4、6、8、10，验证6+6=12、12+8=20，规律成立， 则（ ）=√12=2√3，对应D 项。【选D】
【知识点】多级数列解题思路： 1.两两作差（一般最多作两次差）。 2.作差没有规律，考虑作和。
【例7】（2019 深圳）1，1，5，13，41，（ ） A.53 B.79 C.95 D.121
【解析】例7.数列没有特征，考虑多级数列，先作差，作两次差没有规律， 考虑作和，1+1=2、1+5=6、5+13=18、13+41=54，得到2、6、18、54，公比为3 的等比数列，下一项为54*3=162，则41+（ ）=162，（ ）=162-41=121，对应 D 项。【选D】
递推数列
特征
无明显特征，非多级数列
思路
看趋势
递增：和，方，积，差
递减：差，商
找规律
圈不大不小的三个数/两个数，尝试找规律凑大数
知识点：递推数列 1、题型特征：没有明显特征，排在多级之后 2、解题方法：圈中间的三个数（不大不小）——凑大数——做验证。 3、例：2，3，5，14，69，（） A.968 B3967 C.966 D.965 答：数列无特征，验证多级数列没有规律，或者看数字的变化复读，看数列最后两项，所秋项是900多，所秋项前的数字为几十，超过10倍，变化复读很大，考虑递推数列，圈 不大不小的三个数（3、5、14），3×5-1=14。验证，2×3-1=5，5×14-1=69，则（）=14*69-1，看尾数，尾数6-尾数1=尾数5，对应D
做验证
例题
【例1】（2019 河南司法所）1，3，4，8，15，（ ） A.47 B.34 C.23 D.27
【解析】例1.考法比较特殊，此考法浙江比较爱考，用前三项凑后项，前三项加和=第四项，1+3+4=8，3+4+8=15，（ ）=4+8+15=27，对应D 项。【选D】
【例2】（2017 广东）1，2，6，16，44，120，（ ） A.164 B.176 C.240 D.328
【解析】例2.数列没有特征，验证多级之后没有规律，验证递推。圈不大不小的三个数（6、16、44），（6+16）*2=44。验证，（2+6）*2=16，（1+2）*2=6，（16+44）*2=120，则（ ）=（44+120）*2=164*2，结果尾数为8，对应D 项。【选D】
【例3】（2020 江苏A）3，7，16，36，80，（ ） A.176 B.148 C.166 D.188
【解析】例3.方法一：数列没有特征，验证多级之后没有规律，验证递推。圈不大不小的三个数（7、16、36），（16-7）*4=36。验证，（7-3）*4=16，（36-16）*4=80，规律为（第二项-第一项）*4=第三项，则（ ）=（80-36）*4=44*4=176，对应A 项。 方法二：相邻两项之间看倍数，3*2+1=7，7*2+2=16，16*2+4=36，36*2+8=80，修正项为+1、+2、+4、+8，等比数列，下一项为+16，则（ ）=80*2+16=176， 对应A 项。【选A】
【例4】（2019 江苏）2，4，8，33，266，（ ） A.8781 B.9364 C.7528 D.6742
【解析】例4.数列没有特征，数列后两项（266→几千）为10+倍，变化幅度非常大，优先验证递推。圈不大不小的三个数（4、8、33），4*8+1=33。验证，2*4+0=8，8*33+2=266，修正项为+0、+1、+2，下一项为+3。规律为第一项*第二项+修正项=第三项，则（ ）=33*266+3，看尾数，尾数8+尾数3=尾数1，对应A 项。【选A】
【例5】（2019 新疆）3，7，2，47，（ ），2252 A.21 B.-37 C.-43 D.31
【解析】例5.数列没有特征，所求项为几十，最后一项为几千，变化幅度非常大，优先验证递推。圈不大不小的三个数（7、2、47），考虑和方积倍，7、2 到47 比较远，变化幅度较大，倍数没有规律，考虑乘方，7²-47=2，第一项²-第二项=第三项。验证，3²-2=7，2²-47=（ ）=-43，验证最后一组，47²-（-43）=2252，规律成立，答案选择C 项。【选C】
【例6】（2016 广东）1，2，3，10，39，（ ） A.157 B.257 C.390 D.490
【解析】例6.数列没有特征，看数列后两项，所求项最小也是157，39 到157 约为4 倍，变化幅度较大，优先验证递推。 方法一：圈不大不小的三个数（3、10、39），（3+10）*3=39。验证，（2+3）*2=10，（1+2）*1=3，修正项为*1、*2、*3，下一项为*4，则（ ）=（10+39）*4=196，但是选项中并没有答案，说明不是这个规律。修正项的规律有两类：一类是本身数字呈现的规律，另一类是找与原数列的联系。本题根据“本身数字呈现的规律”不成立，考虑与原数列的联系。“*1”为原数列的第一项，“*2”为原数列的第二项，“*3”为原数列的第三项，则下一项应与第四项对应，为“*10”，即（ ）=（10+39）*10=490，对应D 项。 方法二：3*10+9=39，验证，2*3+4=10，1*2+1=3，修正项为+1、+4、+9，1=1²、4=2²、9=3²为平方数，考虑下一项为4²=16，（ ）=10*39+4²，但是没有答案，考虑修正项与原数列对应，修正项的下一项为10²，即（ ）=10*39+10²=490， 对应D 项。【选D】
【注意】 1.修正项的规律有两类：一类是本身数字呈现的规律，另一类是找与原数列的联系。 2.根据方法二也可以猜题，（ ）=10*39+修正项，（ ）＞390，猜D 项。
数学运算
代入排除法
什么时候用
特定题型
年龄
涉及到年龄的问题
余数
出现“剩”“余”“缺”等关键字
例：一个数，除以7余3，除以8余2，除以9余1，则这个是可能是几
不定方程
未知数个数多于方程个数
例：3x+2y=10，求x、y的值
多位数
出现位数的变化
例：一个三位数，十位数和个位数对调，比原来大9，则这个三位数可能是几
选项信息充分
选项为一组数、可转化为一组数
其他情况
只剩两项时，代入一项即得答案
怎么用
优先排除
尾数、奇偶、倍数
直接代入
最值、好算
例子
【例1】（2020 江苏A）在统计某高校运动会参赛人数时，第一次汇总的结果是1742 人，复核的结果是1796 人，检查发现是第一次计算有误，将某学院参赛人数的个位数字与十位数字颠倒了。已知该学院参赛人数的个位数字与十位数字之和是10，则该学院的参赛人数可能是： A.64 人 B.73 人 C.82 人 D.91 人
1796-1742=54，所以找选项中个位数和十位数交换再与之前的数相差54的就行了
【例2】（2018 浙江）已知今年小明父母的年龄之和为76 岁，小明和他弟弟的年龄之和为18 岁。三年后，母亲的年龄是小明的三倍，父亲的年龄是小明弟弟的四倍。问小明今年几岁？ A.11 B.12 C.13 D.14
优先看所求项，挨个代入就行
【例3】（2020 广东县级）中秋节前夕，某商场采购了一批月饼礼盒，此后第一周售出了总数的一半多10 份，第二周售出了剩下的一半多5 份，若此时还剩下20 份月饼礼盒，则商场最初采购了多少份月饼礼盒？ A.60 B.80 C.100 D.120
【例4】（2020 江苏）某食品厂速冻饺子的包装有大盒和小盒两种规格，现生产了11000 只饺子，恰好装满100 个大盒和200 个小盒。若3 个大盒与5 个小盒装的饺子数量相等，则每个小盒与每个大盒装入的饺子数量分别是： A.24 只、40 只 B.30 只、50 只 C.36 只、60 只 D.27 只、45 只
问题中有两个量，要按清楚哪个在前哪个在后
数字特性法
奇偶特性
加减法
奇数±奇数=偶数 奇数±偶数=奇数
偶数±偶数=偶数 偶数±奇数=奇数
同奇同偶为偶，一奇一偶为奇（和差同性）
例：50题，答对得3分，答错扣1分，共得82分，请问答对答错的题相差几道？ A.16 B.17 C.31 D.33
答：奇偶同性，50道题，对+错=50题（偶数），∴对-错 必然为偶数，所以根据奇偶加减特性，相减必为偶，选A
乘法
奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数
奇数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数
一偶则偶，全奇为奇
例：已知5x+6y=76（x、y是质数），求x、y
答：76是偶数，6y必定是偶数，∴5x必定是偶数，5是奇数，x必定是偶数，而x是质数，因此x为2，可推出y为11 注：2是唯一的偶质数
范围
解不定方程
知和求差，知差求和
a是b的2/4/6……倍，将a平分成2份、偶数倍 a为偶数
怎么用
加减：和差同性——a+b与a-b奇偶性相同
乘：4x、6y必为偶数；3x、5y奇偶性不确定
上述a b x y均为整数
例题
【例1】（2015 广东）甲、乙两个仓库共有货物102 吨。如果从甲仓库调出3 吨到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2 倍。则甲仓库原有货物多少吨？ A.31 B.37 C.70 D.71
出现了2倍，考虑奇偶性 甲-3=2*（乙+3），∴甲-3为偶数，甲为奇数，C可以排除，直接选D，因为甲仓库的东西差不多是102的三分之二，估算一下在70左右
【例2】（2020 广东选调）某学校对500 名学生进行了一次调查，结果显示，会游泳的学生比不会游泳的学生多34 人，而在会游泳的学生中，会自由泳的学生只占1/3。则在500 名学生中，不会自由泳的学生比会自由泳的学生多多少人？ A.322 B.237 C.231 D.79
和差同性。搞明白一个概念，最后一句问题，就是把500人分为会和不会自由泳的，不要被中间的给绕进去了，所以不会自由泳+会自由泳=500（偶数），可以得出不会自由泳-会自由泳的结果也是偶数，直接选A
倍数特性
特性
基础知识（整除型）
当：A=B×C（B、C均为整数） 则：A能被B整除，A也能被C整除
常见形式
1.刚好平均分配 2.存在三量关系
例：一堆苹果分给一些人，平均每人分3个……，请问这堆苹果有多少个？ A.119 B.120 C.121 D.122
总量=3×人数，三量，找因子倍数
怎么判断
口诀法
3、9：看各位数之和
2、5：看末1位
4、25：看末2位
8、125：看末3位
因式分解法
分解为两两互质的数，如12=3×4
互质即除1外没有公约数
拆分法（通用）
普遍适用，多用于7、11、13等
判定y是不是x的整数倍，把y拆分成y=ax±b，只需判定b是不是x的整数倍（a、b、x均为整数）
605是不是7的倍数-思路：630-605=25，25不是7的倍数，所以605也不是
余数型
常见形式：平均分配有剩余/缺少
核心：多退少补
若y=ax±b，则y±b能被a整除
前提：a、x均为整数
比例型
若A/B=m/n，则
A是m的倍数，B是n的倍数
A±B是m±n的倍数
例：已知某班男/女=3/5，则
可得
男生人数是3的倍数
女生人数是5的倍数
全班人数是8的倍数
男女人数差是2的倍数
常见形式
男生人数是女生人数的3/5（分数）
男生人数是女生人数的60%（百分数）
男生人数与女生人数的比例是3：5（比例）
男生人数是女生人数的0.6倍（倍数）
总结：出现分数、百分数、比例、倍数，所求量与比例对应，优先考虑倍数特性
前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比
例题
【例1】（2017 江西）某公司研发出了一款新产品，当每件新产品的售价为3000 元时，恰好能售出15 万件。若新产品的售价每增加200 元，就要少售出1万件。如果该公司仅售出12 万件新产品，那么该公司新产品的销售总额为： A.4.72 亿元 B.4.46 亿元 C.4.64 亿元 D.4.32 亿元
总额=单价×12，从选项里找可以整除12的
【例2】（2019 江苏）某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能部门。如果按每个部门9 包分发，则多6 包；如果按每个部门11 包分发，则有1 个部门只能分到1 包。这批打印纸的数量是： A.87 包 B.78 包 C.69 包 D.67 包
余数型，减掉6，可以给9整除，排除D；加上10，可以给11整除，直接选B
【例3】（2019 湖北选调）吕某回乡开办土鸡养殖基地，某天他收获一筐土鸡蛋。每4 个一组取出则多2 个；每5 个一组取出则少1 个；每6 个一组取出则刚好；每7 个一组取出多1 个。已知一筐最多能装500 个土鸡蛋，如果每6 个一组取出，需要多少次刚好取完？ A.67 B.69 C.70 D.72
余数型，不能排除，用代入，用5来验证只看尾数（比较好算）是不是5-1=4or0-1=9，以及能被6整除，是偶数，所以尾数只能是4，挨个选项乘6看看位数哪个是4，选B
【例4】（2020 江苏）某企业预计今年营业收入增长15%，营业支出增长10%，营业利润增加600 万元。已知该企业去年的营业利润为1000 万元，则其今年的预计营业支出是： A.9000 万元 B.9900 万元 C.10800 万元 D.11500 万元
问题问支出，去找提到支出的话，今年支出=去年支出×（1+10%），∴今年支出/去年支出=1.1=11/10，找11的倍数，选B
【例5】（2019 黑龙江）学校买来四种教材，语文教材是其余三种的1/4，数学教材是其余三种的3/7，英语教材是其余三种的7/13，科学教材比数学教材少30 本，则数学教材有： A.30 本 B.60 本 C.100 本 D.200 本
数学/其他=3/7，数学是3的倍数，CD排除，科学比数学少30，数学比科学多30，排除A，选B
【例6】（2016 广东）某单位2014 年年终评比中，良好等级的人数占总人数3/5。2015 年年终评比又多了60 人被评为良好等级，此时该等级的人数占总人数9/11。如果在这两年间该单位的人员没有变化，则该单位共有（ ）人。 A.120 B.275 C.330 D.800
2014年 良好/总数=3/5，2015年 （良好+60）/总数=9/11，总数是11的倍数，砍掉AD，剩2个选项，选个简单的代入试试，选B
【例7】（2020 国考）某单位从理工大学、政法大学和财经大学总计招聘应届毕业生三百多人。其中从理工大学招聘人数是政法大学和财经大学之和的80%，从政法大学招聘的人数比财经大学多60%。问该单位至少再多招聘多少人，就能将从这三所大学招聘的应届生平均分配到7 个部门？ A.6 B.5 C.4 D.3
理/（政+财）=4/5=52/65，政/财=8/5=40/25，政法加财经是13的倍数，也是5的倍数，理52 政40 财25 总117 总人数是三百多，117*3=（77+40）*3，40+2是7的倍数，2*3=6，选A
方程法
普通方程
找等量关系、设未知数、列方程、解方程
设未知数技巧
求谁设谁（避免陷阱）
设小不设大（减少分数计算）
已知甲是乙的1/3，如果设乙=x，则甲=（1/3）*x，此时出现分数，反之，如果设小的甲=x，则乙=3x
设中间量（方便列式）
甲是丙的1/4、甲是乙的1/3，甲相当于是丙、乙之间的纽带，是中间量，设甲=x，则丙=4x，乙=3x
设份数（出现比例）
已知甲是乙的2/3，出现比例设份数，设甲=2x，乙=3x
例题
【例1】（2020 北京）甲、乙两个学校的在校生人数之比为5：3，甲学校如果转入30 名学生，再将85 名学生转到乙学校，则两个学校在校生人数相同。则此时乙学校学生人数在以下哪个范围内？ A.不到200 人 B.在200～240 人之间 C.在241～280 人之间 D.超过280 人
【解析】例1.根据“人数相同”，可知有等量关系，考虑方程法，如果“根据甲、乙两个学校的在校生人数之比为5：3”，问的是乙，考虑倍数特性，代入排除，但本题不能用代入排除，因为选项是范围，不是具体的数值。人数给了比例，出现比例设份数，设原来甲=5x，乙=3x；根据“甲学校如果转入30 名学生，再将85 名学生转到乙学校，则两个学校在校生人数相同”，则实际甲=5x+30-85，乙=3x+85 ， 列式： 5x+30-85=3x+85 ， 2x=140 ， 解得x=70 ， 此时乙的人数 =3*70+85=210+85=295，对应D 项。【选D】
不定方程
未知数的个数＞方程的个数，比如2x+3y=40，一个 方程两个未知数，满足的解不唯一。
1.找等量关系、设未知数、列方程、解方程（重点）。
2.解不定方程方法：本质代入排除，先排再代。
（1）奇偶。ax+by=M，当a、b 恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。
【补例】3x+4y=25，x=?（x、y 均为正整数）。 A.2 B.3 C.4 D.5
答：x 和y 的系数分别是3 和4，属于一奇一偶时，考虑奇偶特性，25 是奇 数，4y 是偶数，可以推出3x 是奇数，3 是奇数，则x 是奇数，排除A、C 项；剩 二代一，代入B 项：9+4y=25，则4y=16，y=4，满足正整数，当选。
（2）倍数。ax+by=M，当系数a 或b 与常数M 有公因子（公约数）时，考虑倍数特性。
【补例】7x+3y=60，y 最大为多少?（x、y 均为正整数）。 A.12 B.13 C.16 D.18
答：系数都是奇数，不能用奇偶特性，发现3y 和60 都有公因子3，3y 和60 都是3 的倍数，则7x 是3 的倍数，7 不是3 的倍数，可以推出x 是3 的倍数，本题求的是y 最大，则让x 最小，当x=3，y=13，符合所有条件，结果对应B 项。
（3）尾数。ax+by=M，当系数a 或b 尾数是0 或5 时，考虑尾数。比如x+10y，只有y 前面的系数是0，说明10y 的尾数是0；如果是5y，尾数要么是5，要么是0。
【补例】37x+20y=271，x=?（x、y 均为正整数）。 A.1 B.3 C.2 D.4
答：20y 的尾数一定是0，271 的尾数是1，则37x 的尾数是1，只有3*7 的尾数是1，因此x 的尾数是3，对应B 项。
（4）代入。直接代入选项
例题
【例2】（2019 黑龙江）小肖在某外卖公司做派送员，按公司规定，每派送1 单外卖，可获得5 元派送费。但如果外卖没有准时送达，则派送费会扣除3 元。一天，小肖的派送费结算为188 元，则他当日最多准时送达了： A.38 单 B.37 单 C.36 单 D.35 单
【解析】例2.送外卖有两种情况：准时和不准时，如果准时可以得到5 元，如果不准时，只能得到2 元。出现“小肖的派送费结算为188 元”,给了等量关系，设今天有x 单准时，y 单不准时，列式：5x+2y=188，两个未知数一个方程，是不定方程，x、y 的系数一奇一偶，考虑奇偶性，2y 和188 是偶数，可以推出5x 是偶数，则x 是偶数，求的是准时的，即求x，排除B、D 项；剩二代一，问的是最多，优先代入最多的A 项：x=38，5*38=190，190+2y=188，说明y 是负的，不符合，结果对应C 项。【选C】
【注意】奇偶、倍数、尾数，优先用倍数特性，然后用奇偶，最后用尾数， 都不行再考虑代入。
【例3】（2020 浙江）某会务组租了20 多辆车将2220 名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送50 人，小车每次能送36 人，所有车辆送2 趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车（ ）。 A.多5 辆 B.多2 辆 C.少2 辆 D.少5 辆
【解析】例3.所有的车送两趟，列式：2*（大车+小车）=2220，整理得大车+小车=1110，大车每次能送50 人，小车每次能送36 人，设大车有x 辆，小车有y 辆，则50x+36y=1110，一个方程两个未知数，是不定方程。 方法一：原式约分得25x+18y=555，25 和18 一奇一偶，可以考虑奇偶特性，而25x 和555 都有公因子5，考虑倍数特性，25x 和555 是5 的倍数，可知18y是5 的倍数，18 不是5 的倍数，则y 是5 的倍数，如果y=5，则18y=90，25x+90=555，解得25x=465，发现465 除不开25，说明x 不是整数，不满足；y=10，25x+180=555，25x=375，解得x=15，此时x、y 都是正整数，y=10、x=15，则大车比小车多5辆，对应A 项。如果更严谨，还需验证“20 多辆车”这个条件，发现验证也满足。 方法二：50x 和1110 的尾数都是0，则36y 的尾数也是0，说明y 是5 的倍数，此时再赋值y，结果也是一样。【选A】
不定方程组
1.第一类：未知数一定是整数（主流），比如人数、实物的个数。a1X＋b1Y＋c1Z＝M；a2X＋b2Y＋c2Z＝N。方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
2.第二类：未知数不一定是整数，比如时间和钱数。方法：
（1）特值法（一般赋0）：对于未知数不一定是整数的不定方程组，可以赋其中1 个未知数为零，进而快速计算出其他未知数。
（2）配系数
例题
【例4】（2018 重庆）某企业的员工参加了一项需缴纳170 元培训费的培训。同时，该企业允许非内部员工参加培训，但其不能享受员工优惠价。参训的非内部员工，如果是男生需交350 元；如果是女生需交300 元。结果，共有50 人参加培训，整个培训收到的费用总额为10000 元。由此可知，有多少个不是内部员工的女生参加了培训？ A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】例4.本题看起来有点绕，对于参训人员可以分为三类：内部员工、非内部员工的男生、非内部员工的女生，一共是50 人，把三类的人数分别设为x、y、z，根据题意，可知x+y+z=50①；170x+350y+300z=10000②，三个未知数 两个方程，是不定方程组，本题未知数是人数（一定是整数），用消元，本题求的是非内部员工的女生，即求z，不能消z，可以消x 或者y，②式可以先约掉个0，变为17x+35y+30z=1000③，此时③-①*17 得18y+13z=150，18 和150 都是3 的倍数，考虑倍数特性，可知13z 是3 的倍数，13 不是3 的倍数，则z 是3的倍数，只有C 项符合。【选C】
【拓展】（2017 江苏）小王打靶共用了10 发子弹，全部命中，都在10 环、8 环和5 环上，总成绩为75 环，则命中10 环的子弹数是： A.1 发 B.2 发 C.3 发 D.4 发
【解析】拓展.给了等量关系，设命中10 环、8 环和5 环的子弹个数分别为x、y、z，根据题意，列式：x+y+z=10①；10x+8y+5z=75②，两个方程三个未知数，是不定方程组，子弹的个数一定是整数，用消元，求的是x，保留x，②-①*5 得5x+3y=25，得到一个不定方程，5x 和25 都是5 的倍数，则3y 也是5 的倍数，y 必然是5 的倍数，y=5，解得x=2，对应B 项。【选B】
【例5】（2019 福建事业单位）甲、乙、丙三种货物，若购甲3 件、乙7 件、丙1 件，共需325 元；若购甲4 件、乙10 件、丙1 件，共需410 元。那么购甲、乙、丙各1 件，共需多少元？（ ） A.100 B.125 C.135 D.155
【解析】例5.给了等量关系，可以列方程，设甲、乙、丙的价格分别为x、y、z，根据题意，列式：3x+7y+z=325；4x+10y+z=410，三个未知数两个方程，是不定方程组，求的是x+y+z，本题未知数是钱数，不一定是整数，用赋零法，本题赋谁为0 都可以，看谁的系数复杂就赋谁为0，赋y=0，变为3x+z=325①、4x+z=410②，②-①得到x=85，代回②得z=70，则x+y+z=85+0+70=155，对应D项。【选D】
【注意】原理：未知数不一定是整数，意味着满足不定方程组的解有无限个，但是行测是个单选题，即不管哪个解，结果都一样，因此可以用特值法，赋零的方法最简单。至于未知数是整数，意味着有多个解，但解是有限个，不一定有赋零的那组解，所以不能赋零，只能用消元。
溶液问题
浓度=溶质/溶液；溶液=溶质+溶剂
基础题型
浓度=溶质质量÷溶液质量
溶质质量=溶液质量×浓度
溶液质量=溶质质量÷浓度
稀释问题
倒出补满，剩余浓度连乘
例题
【例 1】（2020 广东乡镇）现有浓度为 4% 的食盐水 250 克，若向该食盐水添加 10克食盐，再蒸发掉 160 克水，则新获得的食盐水的浓度为： A. 10% B. 15%C. 20% D. 25%
浓度=溶质/溶液=（250*4%+10）/（250+10-160）
【例 2】（2020 浙江选调）实验室内有浓度分别为 10% 和 25% 的盐酸各 500 毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配成浓度为 15% 的盐酸 600 毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为： A. 16.5% B. 18.6% C. 20% D. 21.25%
浓度=溶质/溶液=（500*10%+500*25%-600*15%)/(500+500-600)
【例 3】（2018 江西法检）从一瓶浓度为 52% 的酒精溶液中倒出1/3，加满纯净水，再倒出1/3，又加满纯净水，此时酒精溶液的浓度是多少？ A. 5.8% B. 23.1% C. 17.3% D. 31.5%
浓度=溶质/溶液=溶质*（1-1/3）*（1-1/3)
经济利润问题
基础经济
公式
利润=售价-进价
利润率=利润÷进价
已知利润率，建议优先设成本为未知数
售价=成本×（1+利润率）
折扣=折后价÷折前价=售价÷原价
总价=单价×个数
总利润=单个利润×数量=总售价-总成本
进价=成本
方法
方程法
给具体价值，求具体价格（利润、成本、售价）
核心方法：结合基本共识，找等量关系列方程
赋值法
给比例，求比例（利润率、折扣）
核心方法：先赋值，在根据公式列方程
分段计费
水电费、出租车费、税费等
分段计算、汇总求和
先按标准分段算，计算之后再加和
例题
【例 1】（2020 山东）某集团旗下有量贩式超市和便民小超市两种门店，集团统一采购的 A 商品在量贩式超市和便民小超市的单件售价分别为 12 元和 13.5 元。4 月份A 商品在两种门店分别售出了 600 件和 400 件，共获利 5000 元，问该商品进价为多少元？ A. 7.2 B. 7.6 C. 8.0 D. 8.4
5000=12*600+13.5*400-x*1000
【例 2】（2020 浙江选调）王先生花 30000 元买入 A、B 两只股票若干，两个交易日后，A 股票上涨 8%，B 股票下跌 3%。王先生将股票卖出，共盈利 1300 元，那么王先生在买入 A、B 两只股票时的投资比例为： A. 5:4 B. 4:3 C. 3:2 D. 2:1
总利润=A的利润+B的利润 1300=x*8%-（3000-x)*0.3
【例 3】（2020 广东选调）商场销售某种型号的冰箱，上半年的利润率为 20%，由于下半年的进货价格下降 10%，商场决定适当下调销售价格，但调整后下半年的利润率仍然达到了 24%。则同上半年相比，下半年的销售价格降低了： A. 5% B. 6% C. 7% D. 8%
假设上半年进货价为100， 上半年利润率为20%，售价为120，下半年进货价下降10%，下半年进货价90，利润为90*24%，（120-90*24%）/
【例 4】（2018 吉林）某市出租车采用分段计价办法：2.5 公里及以内收费 5 元，超过 2.5 公里按每公里 1.5 元计价，每次加收 1 元燃油附加费。某位乘客有 22.5 元零钱，最多能走的距离是： A. 14 公里 B. 13.5 公里 C. 12 公里 D. 15.5 公里
【例 5】（2020 浙江选调）某停车场的收费标准如下：7：00—21：00，每小时 6元，不足一小时按一小时计算；21：00—次日 7：00，每两小时 1 元，不足两小时按两小时计算；每日零时为新的计费周期，重新开始计时。小刘某天上午 10 时将车驶入停车场，待其驶出时缴费 70 元，则小刘停车时长 t 的范围是： A. 14 小时＜ t ≤ 16 小时 B. 15 小时＜ t ≤ 17 小时 C. 16 小时＜ t ≤ 18 小时 D. 17 小时＜ t ≤ 19 小时
最值问题
函数最值
特征
单价和销量此消彼长
求最大利润或售价
方法（两点式）
设提价次数为x
1.令y总价/总利润为0，解得x1、x2
2.当时，取得最值
【引例】单价3000元，可卖出16万件，若单价没提300元，销量会降低1万件，请问当单价设定为多少元时，销量总额最高。
总额=单价×销量 y=（3000+300x）×（16-x) →设y=0，x1=-10，x2=16 x=（-10+16）/2=3次
构造数列 （和定最值）
特征
最……最……、排名第几……最……
求某个主体最多/少
方法
排位定序-求谁设谁-反推其他-加和求解
注意
答案非整数时：问最少向上取整、问最多向下取整
条件中是否给出主体个数互不相同
【引例】5个人分20斤肉，分到的重量均为正整数且互不相等，分得最多的人，最多分（ ）斤？10
最不利构造
特征
至少……保证……
方法
最不利情况数+1
要保证同种情况至少n个，应每种情况各取n-1个（如果有不够n-1的有多少取多少），最后再加1
【引例】袋子里有5个红球，8个白球，10个黄球，问： 至少取出？个才能保证有红球？8+10+1 至少取出？个，才能保证至少有3个同色的球?2+2+2+1 至少取出？个，才能保证至少有8个同色的球?5+7+7+1
例题
【例 1】（2019 深圳）某类商品按质量分为 8 个档次，最低档次商品每件可获利 8元，每提高一个档次，则每件商品的利润增加 2 元。最低档次商品每天可产出 60 件，每提高一个档次，则日产量减少 5 件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是多少元？ A. 620 B. 630 C. 640 D. 650
求利润，设利润，总利润=单个利润×产量，设提高x个档次，y=（8+2x）×（60-5x) ，设y=0，x1=-4，x2=12，x=(-4+12)/2=4，求最大利润，x代回原式y=640
【例 2】（2018 广州）某单位计划在户外举办讲座，计划使用 72 米的隔离带围成 一个长方形作为活动场所，其中一边不封闭（即成└┘形），缺口面向讲坛。能围成 的场所面积最大是多少平方米？ A. 324 B. 648 C. 972 D. 1296
设长为x，宽为72-2x，长方形面积=长×宽=x(72-2x)，假设y为0，x1=36，x2=0，长x=(36+0)/2=18,宽=72-2*18=36，y=18*36，看尾数B
【例 3】（2015 广东）在一次抽奖活动中，要把 18 个奖品分成数量不等的 4 份各 自放进不同的抽奖箱。则一个抽奖箱最多可以放多少个奖品？ A. 6 B. 8 C. 12 D. 15
1 2 3 X =18
【例 4】（2020 联考）从某物流园区开出 6 辆货车，这 6 辆货车的平均装货量为 62 吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了 71 吨，最轻的装载了 54 吨。问这 6 辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？ A. 59 B. 60 C. 61 D. 62
总=6*62=372 71 ？X ？ ？ 54 求X最少，就要把其他往大了填，71后面跟70，又由于各不相同，X后面跟X-1、X-2 71+70+X+(X-1)+(X-2)+54=372
【例 5】（2019 江西法检）某高校计划招聘 81 名博士，拟分配到 13 个不同的院系，假定院系 A 分得的博士人数比其他院系都多，那么院系 A 分得的博士人数至少有多少名？ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
思路1：81/13=6余3，1个分配给第二，2个分配给A院系，6+2=8
思路2：设A院系x人，其余院系x-1，…… x+12(x-1)=81,x=7+,比7要大一点，8
【例 6】（2018 四川）企业今年从全国 6 所知名大学招聘了 500 名应届生，从其中任意 2 所大学招聘的应届生数量均不相同。其中从 A 大学招聘的应届生数量最少且正好为 B 大学的一半。从 B 大学招聘的应届生数量为 6 所大学中最多的。则该企业今年从 A 大学至少招聘了多少名应届生？ A. 48 B. 47 C. 46 D. 45
B ? ? ? ? A 求谁设谁，设A为x，B为2x，求最少，尽量前面多去堆 2x 2x-1 2x-2 2x-3 2x-4 x 前面相加=500，x=46+ 取47
【例 7】（2018 天津事业单位）一个箱子中有 30 个大小形状完全相同的小球，其中红球 9 个，蓝球 8 个，白球 10 个，黑球 3 个，则一次性至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有 7 个颜色相同的球？ A. 18 B. 21 C. 22 D. 24
3+6+6+6+1=22
【例 8】（2019 重庆法检）某地区招聘卫生人才，共接到 600 份不同求职者的简历，其中临床、口腔、公共卫生和护理专业分别有 200 人、160 人、140 人和 100 人。问至少有多少人被录用，才能保证一定有 140 名被录用的人专业相同？ A. 141 B. 240 C. 379 D. 518
100+139+139+139+1 尾数法
容斥原理
本质：去重补漏
不重不漏加一次
两集合
A+B-A∩B=总数-都不

三集合
标准
A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不

各加、去重、补漏
非标准
A+B+C-满足两项-满足三项×2=总数-都不
满足两项：只满足两项，I+II+III

三集合标准型与非标准型的区别
标准型判定：既……又……
往往分别给出两两集合的交集（既A又B，既B又C，既A又C 针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个经典中任何一个的有多少人
非标准型判定：无既……又……
往往统一给出或求解满足两种（只满足两种） 某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加屋里竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加上课竞赛的有多少人？
看文氏图里 覆盖了几层
常识
满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不
方法
公式法
题中所给所求都是公式中的一部分
画图法
体重所给所求公式中没有，此时公式法不好用（往往出现只能满足某一个条件）
三步走
画圆
标数（由内向外，注意去重）
列式（加和求解，尾数）
从里到外，注意去重
例题
【例 1】（2019 广东选调）某单位组织员工进行爱心募捐，鼓励员工捐款捐物。所 有员工都参加了，其中捐物的有 45 人，捐款的有 75 人，既捐款又捐物的有 31 人， 则该单位共有员工多少人？ A. 89 B. 90 C. 95 D. 99
所有员工都参加了，都不捐的为0 45+75-31=总-0
【例 2】（2020 联考）学校有 300 个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或 者两个小组同时参加，如果 80% 学生参加地理兴趣小组，50% 学生参加生物兴趣小 组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少？ A. 240 B. 150 C. 90 D. 60
地理300*80%=240 生物300*50%=150 都不参加为0 240+150-都参加=300-0
【例 3】（2019 广东事业单位）某社区对 100 户居民的生活情况作了调查，结果显 示，安装了电热水器的占 30 户，拥有电视的占 66 户，安装了空调的占 88 户，其中， 同时拥有电热水器和电视的占 17 户，同时拥有电视和空调的占 56 户，同时拥有电热 水器和空调的占 22 户，三样都没有的占 5 户。则三样都有的占多少户？ A. 0 B. 3 C. 6 D. 9
30+66+88-17-56-22+都有=100-5
【例 4】（2019 新疆兵团）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三 场讲座。该机关共有 139 人，有 42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场讲 座，88 人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有 12 人，只报名参加两场讲座的 有 30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？ A. 12 B. 14 C. 24 D. 28
42+51+88-30-12*2=139-x，一般可以用尾数法
【例 5】（2019 青海法检）一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：  求这个班最多有多少人？ A. 45 B. 51 C. 53 D. 55
23+21+20-8-6-10+都上=总数-5，都上的最多6人，总数51
排列组合与概率
基础概念
排列组合AC
分类用加法（要么……要么……） 分步用乘法（既……又……）
有序用排列（不可互换） 无序用组合（可以互换）
排序A：与顺序有关
组合C：与顺序无关
概率P
给情况求概率
给概率求概率
分类用加法；分步用乘法
分类用相加
P=P1+P2+...+Pn
例：不下雨的概率=晴天概率+阴天概率
分步用乘法
P=P1×P2×..×Pn
例：连续两次闯红灯的概率=闯第一个的概率×闯第二个的概率
经典题型
必须相邻
捆绑法：先捆再排
先捆：把要相邻的元素捆绑，注意内部顺序
再排：将捆绑后的堪称一个元素，进行后续排列
不能相邻
插空法：先排再插
先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位
再插：将不相邻的元素插入到空位中
错位排列
识别：重新排序后，每个主体都不在原来的位置上
如人员交流或相互借调、相互审核或检验、停车问题等
记住：0、1、2、9、44
推：（0+1）*2=2，（1+2）*3=9，（2+9）*4=44，（9+44）*5=265
只要记住这列数就好
凑数字/情况少
选项数据不大（往往是凑数题），用枚举法
枚举法：不重不漏、按序枚举（如从大到小）
环形排列

例题
【例 1】（2019 广东乡镇）乡镇干部小李今天有 3 项不同的工作要完成，则他今天 完成工作的顺序共有多少种？ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3*2*1
【例 2】（2020 北京）某家电维修公司的职工每人每天最多完成 5 次修理任务。维 修工小张上个月工作了 20 天，总计完成修理任务 98 次。则他上个月每天完成的修理 任务次数有多少种不同的可能？ A. 190 B. 210 C. 380 D. 400
某1天少两次 某2天各少一次 20+190=210
【例 3】（2019 深圳）某自驾游车队由 6 辆车组成，车队的行车顺序有如下要求： 甲车不能排在第一位，乙车必须排在最后一位，丙车必须排在前两位，且任一车辆均 不得超车或并行。该车队的行车顺序共有多少种可能？ A. 36 B. 42 C. 48 D. 54
乙固定，__ __ __ __ __ 乙
丙
第一
甲：四选一，剩下仨排列，也可以想成剩下四个排列，
第二
甲：三选一，剩下仨排列，
相加42
【例 4】（2017 吉林）罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子。从中任取 3 颗棋子。则至少有一颗黑子的情况有： A. 98 种 B. 164 种 C. 132 种 D. 102 种
反向思路：一颗黑子都没有。
正向：分情况
有1颗黑子
有2颗黑子
有3颗黑子
【例 5】（2019 河南司法所）某书法兴趣班有学员 12 人，其中男生 5 人，女生 7 人。从中随机选取 2 名学生参加书法比赛，则选到 1 名男生和 1 名女生的概率为： A. 35/144 B. 35/72 C. 35/132 D. 35/66
【例 6】（2020 浙江）某公司对 10 个创新项目进行评选，选出最优秀的 3 个项目 投入运行。小张随机预测 3 个项目将会入选。问他至少猜对 1 个入选项目的概率在以 下哪个范围内？ A. 不到 50% B. 50% ～ 60% C. 60% ～ 70% D. 超过 70%
总共10个，3个优秀，7个普通
思路1
思路2
【例 7】（2018 辽宁）一张纸上画了 5 排共 30 个格子，每排格子数相同。小王将 1 个红色和 1 个绿色棋子随机放入任意一个格子（2 个棋子不在同一格子），则 2 个棋 子在同一排的概率： A. 不高于 15% B. 高于 15% 但低于 20% C. 正好为 20% D. 高于 20%
思路1：先选排，再从6各里选2个
思路2（跟屁虫）：取决于后一个放下的位置，第一个棋子放下概率是100%，为1，第二个棋子是从29个格子里挑一个，要跟第一个棋子同一排，要从第一个子落下的那一排里的5个位置里挑1个，就是
【例 8】（2019 联考）某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周， 其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为： A. 2/97 B. 2/98 C. 2/99 D. 2/100
跟屁虫思路：小张先坐，100%，小李从剩下99个位置里有2个选择可以跟小李坐一起，2/99
俩人捆绑算，
【例 9】（2020 上海）天气预报预测未来 2 天的天气情况如下：第一天晴天 50%、下雨 20%、下雪 30%；第二天晴天 80%、下雨 10%、下雪 10%，则未来两天天气状况不同的概率为： A. 45% B. 50% C. 55% D. 60%
=1-两天天气相同的概率=1-P晴1P晴2-P雨1P雨2-P雪1P雪2
【例 10】（2019 四川）某场科技论坛有 5G、人工智能、区块链、大数据和云计算 5 个主题，每个主题有 2 位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻， 问共有多少种不同的发言次序？ A. 120 B. 240 C. 1200 D. 3840
捆：A22*A22*A22*A22*A22
排：A55
上面俩相乘
【例 11】（2017 广东）单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由 3 名男职工和 3 名女职工组成。假设比赛时要求 3 名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有 多少种不同的站位方式？ A. 432 B. 504 C. 576 D. 720
总-都挨在一起：A66-A33A44，尾数法C
【例 12】（2018 浙江事业单位）某地组织 9 名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。调研结束合影前有 3 名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排 3 名小学生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有多少种不同的方式？ A. 7200 B. 29600 C. 43200 D. 362880
两边都要坐委员，所以空是5个，A66×A53
【例 13】（2020 国考）扶贫干部某日需要走访村内 6 个贫困户甲、乙、丙、丁、 戊和己。已知甲和乙的走访次序要相邻，丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己 只能在第一个或最后一个走访。问走访顺序有多少种不同的安排方式？ A. 24 B. 16 C. 48 D. 32
_戊_丙_丁_；甲乙、乙甲相连2种绑定
己第一个
2×C41
己是最后一个
2×C41
相加16种
【例 14】（2015 山东）某单位从下属的 5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到 其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？ A. 120 B. 78 C. 44 D. 24
直接44
【例 15】（2017 国考）某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。问 5 个参加培训的人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率： A. 低于 20% B. 在 20% ～ 30% 之间 C. 在 30% ～ 35% 之间 D. 大于 35%
错位：记住0 1 2 9 44
第四位是9
总：A55
120
满足要求：5*9=45
45/120=37.5% D
【例 16】（2019 青海法检）小明计划到商店为自己购买衣服和鞋子，预算不超过800 元，已知衣服每套的售价是 99 元，每双鞋子的售价是 67 元，如果小明至少要买4 套衣服和 3 双鞋。那么他有多少种不同的购买方式？ A. 5 B. 7 C. 8 D. 4
4*99+3*67=597
剩：800-597=203
枚举7种：鞋子3双；鞋子2双；鞋子1双；衣服2套；衣服1套；衣服1套、鞋子2双；衣服1套、鞋子1双
植树问题
基础植树
两端植树：棵树=段数+1=总数/间隔长度+1
单端植树（环形植树）：棵树=段数=总长/间隔长度
楼间植树（两端都不植）：棵树=段数-1=总长/间隔长度=1
注意：
愤青两端/单端（环形）/楼间
注意是单侧种树还是两侧种树
不移动植树
最小公倍数法
最大公约数法
两个数的乘积=最大公约数×最小公倍数


例题
【例 1】（2019 广东）某机构计划在一块边长为 18 米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每隔 2 米插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要多少面彩旗？ A. 32 B. 36 C. 44 D. 48
正方形为封闭图形，环形种树，周长18*4=72,单端=72/2=36
【例 2】（2016 北京）某单位两座办公楼之间有一条长 204 米的道路，在道路起点的两侧和终点的两侧已各栽种了一棵树。现在要在这条路的两侧栽种更多的树，使每一侧每两棵树之间的间隔不多于 12 米，如栽种每棵树需要 50 元人工费，则为完成栽种工作，在人工费这一项至少需要做多少预算？ A. 800 元 B. 1600 元 C. 1700 元 D. 1800 元
两侧种树，敏感下1600
一侧：204/12-1=16 两侧：16*2=32 预算：32*50
【例 3】（2020 广东）为加强治安防控，现计划在一段 L 形的围墙（如下图）上安装治安摄像头，其中 A 点到 B 点长度为 750 米，B 点到 C 点长度为 1350 米。按要求A、B、C 三个位置必须安装一个摄像头，且相邻两个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围墙至少需要安装多少个摄像头？  A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
ABC必须有摄像头，间距是总长的约数，找750 1350的最大公约数，150 （750+1350）/150+1

【例 4】（2018 广州）某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔 35 米的路灯一共有21 盏，现要将路灯的间隔缩短为 25 米，那么有几盏路灯无需移动？ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
思路1：35 25最小公倍数，175 总长度35*（21-1）=700 不动：700/175+1=5

思路2：1：求不移动的段数：直接求两次段数的最大公约数 2.求不移动的棵树：两端植树：不动棵树=不动段数+1=最大公约数+1 35米的段数是20段 25米的段数是35米×20段=700米，700÷25=28段 求20和28这两个段数的最大公约数4 两头都种4+1
【例 5】（2017 广东）施工队给一个周长为 40 米的圆形花坛安装护栏。刚开始，每隔 1 米挖一个洞用于埋栏杆。后来发现洞的间隔太远，决定改为每隔 0.8 米挖一个洞。那么，至少需要再挖多少个洞？ A. 39 B. 40 C. 41 D. 42
思路1：1 0.8的最小公约数0.2，每隔4米不需要移动，40/4=10，不需要移动的是10个洞
思路2：圆形，属于封闭单端，不加不减 一开始的段数 40÷1=40 要40个洞 后来的段数40÷0.8=50 要50个洞 40和50的最大公约数为10 就是说有10个洞不重复 50-10=40
行程问题
普通行程
路程=速度×时间（s=v×t）
平均速度=总路程÷总时间
等距离平均速度公式
适用于：等距离两端、直线往返、上下坡往返
火车过桥
S路程=S车长+S桥长
相对行程
相遇、追及 （考得多）
相遇：s和=v和×t遇
直线
同时相向而行
环形
同时反向出发
数圈：相遇1次，S和=1圈；相遇N次，S和=N圈
追及：s差=v差×t追
直线
同时同向而行
s差：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离）
环形
同点同向出发
数圈：追上1次，S差=1圈；追上N次，S差=N圈
多次运动
多次迎面相遇
两端出发相遇
第一次相遇共走1s
第二次相遇共走3s
第三次相遇共走5s
第N次相遇共走（2n-1）s
(2n-1)s=v和×t
s：两人出发点的距离，就是全程
环形第n次相遇 n圈=v和×t
环形第n次追及 n圈=v差×t
流水行船
顺水 s=（v船+v水）×t顺水
逆水 s=（v船-v水）×t逆水
v顺=v船+v水；v逆=v船-v水
v船=(v顺+v逆）/2；v水=（v顺-v逆）/2
静水速度=船速、漂流速度=水速
比例行程
s一定，v、t成反比
v一定，s、t成正比
t一定，s、v成正比
例题
【例 1】（2019 浙江事业单位）一列火车要通过两座大桥，已知完全通过第一座大桥用时 30 秒，桥长 650 米，之后为了尽快到达目的地，火车将速度提升了 25%，随后完全通过第二座大桥用时 40 秒，桥长 1250 米。问火车的长度为多少米？ A. 150 B. 175 C. 200 D. 250
设火车刚开始速度为4v ； 30=(650+s车长）/4v 40=（1250+s车长）/5v v= ；l=
【例 2】（2019 新疆兵团）甲、乙两车分别以 30 公里/小时和40公里 / 小时的速度同时匀速从A地开往 B 地，丙车以 50 公里/小时的速度匀速从 B 地开往A地。A、B两地距离120公里。问丙车遇到乙车后多久会遇到甲车？ A. 8 分钟 B. 10 分钟 C. 12 分钟 D. 15 分钟
先算乙丙相遇时间 甲丙相遇时间 两个时间相减
【例 3】（2018 深圳）清晨，爷爷、爸爸和小磊在同一条笔直跑道上朝同一方向匀速晨跑，某一时刻，爷爷在前，爸爸在中，小磊在后，且三人之间的间距正好相等。跑了 12 分钟后小磊追上了爸爸，又跑了 6 分钟后小磊追上了爷爷，则再过多少分钟，爸爸可追上爷爷？ A. 12 B. 15 C. 18 D. 36
假设仨人间距分别为s，磊追爸：s=（v磊-v爸）*12；磊追爷：2s=（v磊-v爷）*18；此时可以用赋值法，赋值s为36，可得v爸-v爷=1；爸追爷=36=（v爸-v爷）*t→t=36 注意问题的问法 36-12-6=18 选C
【例 4】（2020 江苏 C）两人在环形跑道上匀速跑步，同向跑每 3 分钟相遇一次，相向跑每 1 分钟相遇一次。若速度较快者每圈用时 1.5 分钟，则速度较慢者每圈用时是： A. 3 分钟 B. 4 分钟 C. 5 分钟 D. 2 分钟
s=(v快-v慢）*3=（v快+v慢）*1，s/v快=1.5，求v慢
【拓展】（2017广东）老林和小陈绕着周长为720米的小花园匀速散步，小陈比老林速度快。若两人同时从某一起点同向出发，则每隔18分钟相遇一次；若两人同时从某一起点相反方向出发，则每个6分钟相遇一次。由此可知，小陈绕小花园一圈需要多少分钟？ A.6 B.9 C.15 D.18
思路1：720=（s快-s慢）*18，720=（s快+s慢）*6，求720/s快
思路2：环形上，已知两个人的相遇时间，求单个人的一圈时间 快的人单独走全程<相遇时间×2，，慢的人单独走全程＞相遇时间×2 已知两人相遇6分钟，因此走得快的人一圈时间肯定比12分钟少一点，慢的人一圈比12分钟多一些，直接可以判断B
【例 5】（2019 江西法检）甲、乙两公司相距 2000 米，某日上午 8：30 小明从甲公司出发到乙公司，小华同时从乙公司出发到甲公司。两人到达对方公司后分别用8 分钟时间办事，然后原路返回。假设小明的速度为 4km/h，小华的速度为 5km/h，则两人第二次相遇的时间是几点？ A. 9：18 B. 9：22 C. 9：24 D. 9：28
（2*2-1）*2=（4+5）t，t=2/3h=40min，8:30+40min+8min=A 8分钟只耽误了一次，时间是重叠
【例 6】（2020 广东）A、B 两座港口相距 300 公里且仅有 1 条固定航道，在某一时刻甲船从 A 港顺流而下前往 B 港，同时乙船从 B 港逆流而上前往 A 港，甲船在5 小时之后抵达了 B 港，停留 1 小时后开始返回 A 港，又过了 6 小时追上了乙船。则乙船在静水中的时速为多少公里？ A. 20 B. 25 C. 30 D. 40
v甲顺=v甲+v水=300/6 追及：S差=v差*6=[（v甲-v水）-（v乙-v水）]*6=（v甲-v乙）*6=v乙逆水*6=(v乙-v水）*6 v乙=30
【例 7】（2020 山东）甲、乙两人在一条 400 米的环形跑道上从相距 200 米的位置出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了 2000 米。问甲的速度是乙的多少倍？ A. 1.2 B. 1.5 C. 1.6 D. 2.0
画过程，(200+400+400+2000)/v甲=2000/v乙，v甲/v乙=3：2 B
工程问题
三量关系：总量=效率×时间
题型
给完工时间型
给多个完成完成工作总量的时间
步骤
①赋总量（完工时间的公倍数）
②算效率：效率=总量÷时间
③根据工作过程列式求解
引例：搬一车砖头，甲要2h，乙要3h，求俩人合作需要多久？
三步走：①设总量为2和3的公倍数6，②甲的效率=6/2=3，乙的效率=6/3=2，③所以合作时间为6/(3+2)=1.2h
找公倍数训练
25vs30 11vs13 8vs10vs15 10vs12vs15，多个数字找公倍数的时候，先找互质的两个数，然后再扩大范围
给效率比例型
给出多个效率
步骤
①赋效率（满足比例即可）
②算总量=效率×时间
③根据工作过程列列式求解
引例：搬砖，甲乙效率比为2:3，合作10小时完成，若交给甲单独作，问甲需要做多少小时？
三步走，①赋值效率，甲2 乙3；②算总量=(2+3)×10=50；③求50/2=25h
常见形式
直接给：甲：乙=3：4；甲的效率是乙的1.5倍（3/2）
间接给：甲4天的工作量等于乙3天的工作量，∴甲：乙=3：4
给具体人数或机器数（特殊情况）：50个工人修路，某农场有36台收割机，（默认前提每个工人的效率一致），直接赋最小单位效率为1
效率比不易发现时，可以设一人效率为1，再求另一人效率
给具体单位型
设未知数
找等量关系列方程
牛吃草类型
识别
有增长有消耗
排比句
核心公式：Y=(N-X)T
Y：原草量；N：牛的头数×牛吃草速度（一般设1）；X：草生长速度；T：时间
引例
牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草供给10头牛，可以吃20天；供给15头牛吃，可以吃10天。问供给25头牛吃，可以吃多少天？
y=（10-x）20=（15-x）10→x=5 y=100 ∴100/（25-5）=5
例题
【例1】（2019江西法检）现有一条柏油马路需要铺设，甲、乙两施工队合作铺设3天可以完成，而乙施工队单独铺设需要5天完成。如果甲、乙合作铺设1天，乙施工队另有任务，剩余任务由甲单独完成需要多少天？ A.4 B.5 C.5.5 D.6
一看是工程类问题，给了两个完工时间，三步走：①设总量为3和5的公倍数15；②算效率，甲一天效率+乙一天效率=15/3=5，乙一天效率=15/5=3，可得甲一天效率效=2；③列式，（2+3）+2t=15，t=5，选B
注：一定要看清楚是剩余天数，还是总天数
【例 2】（2019 黑龙江边境）小李的耳机充满电可通话 6 小时，或者待机 210 小时。某天小李乘坐火车，上车时耳机满电，而当他下车时耳机电量刚好用光。如果小李在火车上有一半的时间在通话，其余时间耳机均为待机状态，则他乘坐火车的时长为： A. 9 小时 10 分钟 B. 9 小时 30 分钟 C. 10 小时 20 分钟 D. 11 小时 40 分钟
一看给了两个完成时间，本质上还是工程问题。三步走：①设总量210，因为210也是6的倍数；②算效率，通话=210/6=35，待机=210/210=1；③列式，35×t+1×t=210，t=35/6，2t=35/3=11小时40分钟，选D
【例 3】（2020 联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A 和 B 两条生产线，A 和 B 的工作效率之比为 2 ∶ 3，计划 8 天可完成订单生产任务，两天后公司又对这批订单投产了生产线 C，A 和 C 的工作效率之比为 2 ∶ 1，问该批口罩订单任务将提前几天完成？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三步走，①效率比A:B=2:3,A:C=2:1，∴A:B:C=2:3:1，②算总量，（2+3）*8=40，③列式求解：8-[2+30/（2+3+1）]=1
【例 4】（2019 黑龙江边境）某地计划修筑一条道路。如果该道路交由甲施工队先单独施工 6 天，乙施工队再单独施工 15 天即可完工；如果交由乙施工队先单独施工6 天，那么甲施工队还需要单独施工 24 天才能修筑完成。如果这条道路交由甲施工队单独施工，道路修筑完成需要： A. 30 天 B. 32 天 C. 36 天 D. 40 天
思路1：甲效率*6+乙效率*15=总；乙效率*6+甲效率*24=总，求甲单独施工需要多久，消掉乙，乙系数的公约数为30，可得甲效率*12+乙效率*30=2总，乙效率*30+甲效率*120=5总，可得甲效率*108=3总，总=甲效率*36，选C
思路2：甲效率*6+乙效率*15=乙效率*6+甲效率*24，甲效率/乙效率=1/2；总量：1*6+2*15=36；列式：36/1=36
思路3：直接设甲效率为1，乙效率为x，可得6+15t=6t+24，t=2，6+30=36 （一般两个的时候可以快速得到答案）
【例 5】（2018 国考）工程队接到一项工程，投入 80 台挖掘机。如连续施工 30 天，每天工作 10 小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有 10 天时间无法施工。工期还剩 8 天时，工程队增派 70 台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？ A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
假设每台机器每小时效率为1，总工程量为1*80*30*10，可算1*80*30*10=80*10*12+150*8*t，t=12，12-10=2，选B
【例 6】（2018 广州）办公室需要复印一批文件，使用甲复印机单独印需要 20 分钟，使用甲、乙两台复印机一起印需要 12 分钟，已知甲复印机每分钟比乙复印机多印 6 份文件，则这批文件一共有多少份？ A. 216 B. 240 C. 360 D. 600
甲效率：x+6 乙效率：x ；20(x+6)=12(x+6+x)
【例 7】（2020 浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放 3 个窗口，需耗时 90 分钟，若开放 5 个窗口，则需耗时 45 分钟。问如果开放 6 个窗口，需耗时多少分钟？ A. 36 B. 38 C.40 D. 42
y=(3-x)90=(5-x)45 →x=1 ∴y=（3-1）90=（6-1）t →t=
【例 8】（2018 深圳）某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水 20 立方米，若同时使用2 台抽水机 15 分钟能把水抽完，若同时使用 3 台抽水机 9 分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水多少立方米？ A. 360 B. 450 C. 540 D. 600
牛吃草的速度出现时，单位要考虑进去 y=（2*20-x）15=（3*20-x)9 →x= y=