高数第一章

考研高数数二第一章概括及需要注意的地方。

函数 极限 连续

• 函数
  • 概念
    • 两个要素
      • 定义域
      • 对应法则
  • 分类
    • 基本初等函数
    • 初等函数
    • 复合函数
    • 取整函数
      • 记为［x］，基本不等式x-1＜［x］≤x
  • 性质
    • 单调性
    • 奇偶性
      • 奇函数
        • f(-x)=-f(x)
      • 偶函数
        • f(-x)=f(x)
    • 周期性
    • 有界性
• 极限
  • 分类
    • 数列
    • 函数
      • 趋于无穷
        • 极限存在的充要条件是正无穷和负无穷存在并相等
      • 趋于有限值
        • 定义域为去心领域，x≠x0
        • 需要分左右极限的情况
          • 分段函数
          • e∞型
          • arctan∞型
  • 函数性质
    • 有界性
      • 数列
        • 收敛一定有界，但有界不一定收敛
      • 函数
        • 极限存在，函数在某去心领域有界，反之函数局部有界，极限不一定存在
    • 保号性
      • 数列
        • 设limxn=A(趋于∞)
        • A＞0，则存在N＞0.，当n＞N时，xn＞0
        • 存在N＞0，当n＞N时，xn≥0，则A≥0
        • 注意符号！
      • 函数
        • 与数列类似，需要将范围改为在去心领域内
        • 设limf(x)=A(趋于x0)
    • 极限值与无穷小的关系
  • 存在准则
    • 夹逼准则
      • 多用于n项和
    • 单调有界准则
      • 多用于表递推关系的数列
  • 无穷大
    • 比较 ax最大，其次xβ，lnax最小
    • 性质
      • 无穷大之积为无穷大
      • 无穷大与有界变量之和为无穷大
    • 无穷大必为无界，无界不一定为无穷大
  • 无穷小的概念及性质
    • 高阶低阶同阶等价无穷小的阶
    • 有限个无穷小的和积都为无穷小
  • 极限的求法
    • 共有8个，需熟练掌握
• 连续
  • 概念
  • 间断点
    • 第一类间断点
    • 第二类间断点
  • 连续性的运算及性质
    • 基本初等函数在定义域是连续的
    • 初等函数在定义区间是连续的
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 最大值和最小值定理
    • 有界性定理
    • 介值定理
      • 常考证明题，注意需要在闭区间内
    • 零点定理