《信号与系统》：九、拉普拉斯变换

参考教材为奥本海默的《信号与系统》第二版。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。

九、拉普拉斯变换

• 0.引言
  • 必要性：傅氏变换是拉氏变换的特例，拉氏变换比傅氏变换有更大的收敛区间；工程
  • 可行性：系统函数
• 1.拉普拉斯变换
  • x(t) 的双边拉式变换，其中s=σ+jω
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  • 连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在σ=0或是在 jω 轴上的特例
  • 如何理解：拉氏变换是对傅里叶变换的推广，拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性
  • 双边拉氏变换举例
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• 2.拉普拉斯变换收敛域
  • 收敛域ROC
    • 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系
    • 拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分
    • ROC总是以平行于 jω轴的直线作为边界， ROC的边界总是与X(s)的分母的根相对应的
  • 拉氏变换的零极点图
    • 零点、极点、零极点图
  • 拉氏变换收敛域的性质
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      • 判断时需要留心时限信号
    • 4.右边——右，左边——左，双边——带
      • 证明
  • 举例
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      • 零极点表示
      • 零极点抵消
  • ROC由X(s)的极点分割
    • 举例说明
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• 3.拉普拉斯逆变换
  • 公式
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    • 推导——借助傅里叶变换
  • 求解——掌握一个即可
    • 部分分式展开法
    • 留数法
• 4.由零极点图对傅里叶变换几何求值
  • 零极点图与拉普拉斯变换
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    • 单零点情况
      • 零点矢量
    • 单极点情况
      • 极点矢量
    • 一般情况
      • 结合上面的两种情况，需要注意：常系数不要遗漏
  • 当s在jω上时，即为傅里叶变换的几何求值
    • 一阶系统
      • 一个极点
    • 二阶系统
      • 二个极点
        • 实部--衰减，虚部--震荡
          • 过阻尼
          • 临界阻尼
          • 欠阻尼
          • 无阻尼
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      • 由零极点图分析
        • 主极点
        • ζ>1，ζ=1，ζ 进一步减小0<ζ <1（H(jω)出现峰值的情况、系统带宽的分析），ζ=0
    • 由零极点图表示全通系统
      • 全通系统的零极点分布呈四角对称特征（注意理解）
      • 被广泛用于对系统进行相位均衡
    • 由零极点图表示最小相位系统
      • 两个系统---幅频特性---相位
      • 零极点均位于左半平面的系统称为最小相位系统
    • 从本质上讲系统的特性是由系统的零、极点分布决定的。对系统进行优化设计，实质上就是优化其零、极点的位置
    • 当工程应用中要求实现一个非最小相位系统时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通系统级联来实现，零点和极点可以相互抵消
• 5.双边拉普拉斯变换的性质
  • 线性
  • 平移
    • 时移
      • ROC不变
    • S域平移
      • ROC平移
  • 时域尺度变换
    • ROC相应的变换
  • 共轭对称性质
    • 注意与前面的相联系、统一起来
    • 实信号的拉氏变换，零、极点必定共轭成对出现
    • ROC不变
  • 卷积性质
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  • 微分
    • 时域微分
      • ROC包括R，有可能扩大
    • S域微分
      • ROC：R
  • 时域积分
    • 推导
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  • 初值与终值定理
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• 5.系统函数
  • 系统函数的概念
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    • H(s)连同相应的ROC也能完全描述一个LTI系统。系统的许多重要特性在H(s)及其ROC中一定有具体的体现。
  • 用系统函数表征LTI系统
    • 因果性
      • 因果、反因果——右边、左边信号
      • 反过来不一定成立，只有当H(s)是有理函数时，逆命题才成立（思考why）
    • 稳定性
      •  ----> 
      • 因果稳定系统的H(s)，其全部极点都在s平面的左半边
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      • 反过来推？
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  • 系统互联时的系统函数
    • 级联--相乘，ROC可能扩大
    • 并联--相加，ROC可能扩大
    • 反馈连接--借助中间变量写，ROC可能扩大
    • LTI系统的级联型结构
      • 一个N阶的LTI系统可以分解为若干个二阶系统和一阶系统的级联。在N为偶数时，可以全部组合成二阶系统的级联形式。如果N为奇数，则有一个一阶系统出现。
    • LTI系统的并联型结构
      • 部分分式、两两合并
• 6.单边拉普拉斯变换
  • 定义
    • 双边的特例——因果信号的双边拉氏变换
      • 一般不再强调ROC(思考why)
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    • 反变换与双边的情况相同
  • 性质
    • 时域微分
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    • 时域积分
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  • 利用单边拉普拉斯变换分析增量线性系统
    • 零输入响应、零状态响应