离散时间傅里叶变换思维导图

参考资料为奥本海默的《信号与系统》，以及XJTU 王磊老师的PPT。此部分为第五章：离散时间的傅里叶变换

五、离散时间傅里叶变换

• 1.非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换
  • 非周期信号傅里叶变换的导出
    • 导出
    • 公式
      • 频谱具有周期性
    • 与周期信号频谱的关系
      • 周期信号的频谱是对应的非周期离散时间信号频谱的采样；而非周期离散时间信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络
        • 频域等距离散化导致时域周期化
    • 物理意义
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      • 傅里叶变换就是通过内积运算提取原始信号中所包含的相应频谱分量的过程
  • 常用的傅里叶变换
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      • 和连续时间的情况一样，单位脉冲的傅里叶变换在所有频率上都是相等的
    • 易错：注意区别连续时间和离散时间的低通
  • 傅里叶变换的收敛
    • 反变换积分区间是有限的，不存在收敛问题
    • 正变换的两个充分条件
      • 能量有限/平方可和条件
      • 绝对可和条件
• 2.周期信号的傅里叶变换
  • 对连续时间信号，有 ，由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由于离散时间傅里叶变换一定是以 为周期的，因此，频域的冲激应该是周期性的冲激串
  • 
    • 不好理解。思考：从左到右，从右到左
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  • 小结：其实这里有两种思路
    • 1.对已求的频谱进行周期性延拓
    • 2.套用上面化简好的公式
  • 例题
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      • 与连续时间情况对应的一致（多对比多思考）
• 3.离散时间傅里叶变换性质
  • 线性
  • 时移与频移性质
    • 推导
  • 共轭对称性
    • 当信号为实信号时的几条推论
    • 实信号的奇偶分解
  • 时域反转
    • 推导
  • 频域微分
    • 推导
  • 帕斯瓦尔定理
    • 推导
  • 与连续时间不同的性质
    • 周期性
    • 时域的差分与累加
      • 差分
      • 累加
        • 
    • 时域扩展
      • 
  • 卷积性质
    • 推导
      • 借助系统函数
      • 直接从公式出发
  • 相乘性质
    • 周期卷积
    • 和一个冲激函数卷积，就相当于对其作频移
• 4.由线性常系数差分方程表征的系统
  • 求频率响应
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    • 对方程两边进行离散时间傅里叶变换
    • 对有理函数求傅里叶反变换通常采用部分分式展开和利用常用变换对进行
  • 离散时间LTI系统的频域分析方法
• 主题
• 样本与包络