数与代数 数的认识：因数倍数

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数与代数 数的认识：因数倍数

• 质数和合数与分解质因数
  • 质数
    • 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数），如2、3、5、7、11、13都是质数，最小的质数是2。
    • 质数中只有2是偶数，其余均是奇数。
  • 合数
    • 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。例如，4，6，9，10，15都是合数。最小的合数是4。
    • 1既不是质数，也不是合数。
  • 分解质因数
    • 把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数，其中这几个质数叫作这个合数的质因数。
    • 例如：120=2×2×2×3×5，其中2，3，5本身是质数，又是120的因数，所以2，3，5是120的质因数。
  • 分解质因数的方法
    • 塔式分解法（合数比较小）
    • 短除法（除数一定是质数）
• 因数与倍数的定义
  • 意义
    • 定义
      • 在整数除法中，如果商是整数而没用余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。（此处所说的数指的是自然数，一般不括0）。56÷7=8，56是7的倍数，或者说7是56的因数。
    • 两者的关系
      • 因数和倍数是一种互相依存的关系，任何一方都不能单独存在。
  • 找因数的方法
    • 把一个数表示为两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可以找到这个数的全部因数，当两个因数相等时，就作为一个因数看待。
    • 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
  • 找倍数的方法
    • 一个自然数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。在给定范围内找一个自然数的倍数，可以用这个自然数分别乘以1，2，3，....直到所得的积都在给定的范围内为止。
    • 倍与倍数的区别：倍数是严格限制在整除范围内，而倍只体现在乘法的概念中。
• 倍数的特征
  • 2的倍数的特征
    • 特征
      • 如果一个数的个位上的数是0、2、4、6或8，那么这个数就是2的倍数。
    • 偶数
      • 整数中，是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数）也叫双数。最小的偶数是2，没有最大的偶数。
    • 奇数
      • 在整数中，不是2的倍数的数叫奇数，也叫单数。最小的奇数是1，没有最大的奇数。
    • 奇数和偶数的性质
      • 偶数±偶数=偶数， 奇数 ±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数；偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
  • 5的倍数的特征
    • 如果一个数的个位上的数是0或5，那么这个数就是5的倍数。
  • 3的倍数的特征
    • 如果一个数的个各位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。如12，108，249等。
  • 2、5倍数的特征
    • 如果一个数的个位上的数字是0，那么这个数既是2的倍数，又是5的倍数。
  • 2、3倍数的特征
    • 如果一个数的个位上的数字是0，2，4，6或8，并且各位上的数的和是3的倍数，，那么这个数既是2的倍数，又是3的倍数。如，12，24，30，36等。
  • 2、3和5倍数的特征
    • 如果一个数的个位上的数字是0，并且各位上的数的和是3的倍数，，那么这个数既是2和5的倍数，又是3的倍数.如120 ，270，330等。
• 最大公因数和最小公倍数
  • 公因数和最大公因数
    • 公因数
      • 几个数公有的因数
    • 最大公因数
      • 几个数的公因数中，最大的一个公因数，叫作这几个数的最大公因数。
    • 最大公因数示意：
  • 互质数
    • 定义
      • 公因数只有1的两个数叫作互质数，也叫互素数。
    • 互质
      • 当两个或两个以上的数是互质数时，我们就说它们互质。如9和10的公因数只有1，所以它们是互质数。互质的两个数不一定都是质数，如24和25是合数，但它们又是互质数。
      • 相邻的两个自然数互质，两个不同的质数互质；1和任何自然数互质。
    • 质数、质因数和互质数的比较
      • 质数是除了1和它本身以外，不再含有别的因数的数。如：7，11，13，23等。
      • 质因数本身就是一个质量，而且是某一个合数的因数，例如：3和5是15的质因数。
      • 互质数是两个数的公因数只有1。例如，15和16的公因数只有1，它们是一对互质数。
  • 求最大公因数的常用方法
    • 分解质因数法
      • 将几个数各自分解成质因数形式，把公因数相乘得出最大公因数。
      • 例：求24和18的最大公因数。24=2×2×2×3，18=2×3×3；它们都含有质因数2和3，所以24和18的最大公因数是2×3=6。
    • 短除法
      • 例：求16、28、36的最大公因数。
  • 公倍数和最小公倍数
    • 定义
      • 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫作这几个数的最小公倍数。
    • 最小公倍数示意
  • 求最小公倍数的常用方法
    • 分解质因数法
      • 就是将这几个数各自分解成质因数的形式，所有质因数的乘积就是最小公倍数。
      • 例：12和32的最小公倍数是96。
      • 当两个数成倍数关系时，较大的那个数是它们的最小公倍数。
    • 短除法
      • 举例：18、36和30的最小公倍数是180。
      • 示意
    • 枚举法
      • 分别把几个数的倍数按从小到大的顺序列举出来，然后从中找到相同且最小的数。
  • 最大公因数和最小公倍数的关系
    • 表达式
      • 最大公因数：
        • 整数a,b的最大公因数记为（a,b) 。
      • 最小公倍数：
        • 整数a,b的最小公倍数记为[a,b] ,a,b,c的最小公倍数记为[a,b,c]。
    • 定理
      • （a,b)[a,b]=ab （a,b均为整数）
      • 应用：已知两个数的积是150（ab=150），最小公倍数为30 即[a,b]=30，求这两个数的最大公因数(a,b)。(a,b)=150÷[a,b], (a,b)=150÷30=5
    • 短除法在求两个数的最大公因数和最小公倍数的区别
      • 求两个数的最大公因数时，是把短除式中的除数连乘。
      • 求两个数的最小公倍数时，是把短除式中的除数和最后的商连乘。
      • 示例：
        • 乐享其中
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