导图社区 数量关系-超格理论实战笔记
这是一篇关于数量关系-超格理论实战笔记思维导图,2027年超格理论实战知识点、例题,根据超格高照老师授课内容整理,已完结。把数量关系划分为倍数特性、方程问题、星期日期周期问题、工程问题、几何问题、经济问题、容斥原理、最值问题八大板块。倍数特性包含整除型、余数型、比例型、增长率型、给定公式型,配套对应的读题思路;方程问题分为普通一元方程、多元方程、不定方程、不定方程组;星期日期周期问题涵盖周期余数、周期相遇、星期日期计算;工程问题分出具体单位、完工时间、效率比例、统筹工程、牛吃草五类题型。几何问题包含基础知识点、三角形、最短路径、几何最值、同比例放缩、几何最优构造;经济问题有基础经济、分段计费、经济函数最值、经济函数图形;容斥原理包含两集合、三集合、画图法、容斥结合不定方程求最值、容斥搭配周期;最值问题包含最不利构造、构造数列、多集合反向构造、最值临界思维,同时标注容斥原理优先用公式,复杂情况画图辅助解题。整套体系完整,清晰划分题型,方便考生分类刷题、总结解题套路。
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数量关系
1. 倍数特性
①看问题确定主体 ②找题干中与主体有关信息 ③找不到再整体看
(一)整除型
题型识别:题目中存在平均分配、整数倍
解题方法:若A=B×C(BC均为整数),那么,A能被B整除,且A能被C整除
口诀法(常用于3459)
3/9 → 看各位数字之和能否被3/9整除
弃三法弃九法(加到3、9就省略)
eg:12345 1+2=3,删除 3→跳过(直接不看) 4+5=9,删除
2/5 → 看数字末一位能否被2/5整除
4/25 → 看数字末两位能否被4/25整除
8/125 →看数字末三位能否被8/125整除
拆分法(没口诀,常用于7、11、13)
一个数=接近且明显能被整除的数±零头,只看零头
例:623÷7=7×90-7。零头为7
因式分解 (复杂倍数,常用于6、12、18、24等)
因式分解成两个互质(互质指两数没有公约数)的数,同时满足能被这两个数整除。
解释说明:12=3×4✅️=2×6❌️(26之间还有2为公约数)
eg:12=3×4 →352÷12=352÷3÷4 →÷3使用口诀法
举个栗子
(二)余数型(均分思想,多退少补)
题型识别:每人均分多几个,少几个
解题方法:若总数= ax + b,则(总数 -b )能被a整除。(a、x均为整数)
举个栗子
余数定理:余同加余,和同加和,差同减差;公倍数做周期
(1)余同加余,例如“一个数除以7余1,除以6余1,除以5余1” ,可见,所得余数恒为1,则取1,被除数的表达式为210n+1;
(2)和同加和,例如“一个数除以7余1,除以6余2,除以5余3” ,可见,除数与余数的和相同,取此和8,被除数的表达式为210n+8;
(3)差同减差,例如“一个数除以7余3,除以6余2,除以5余1” ,可见,除数与余数的差相同,取此差4,被除数的表达式为210n-4;
注意:前面的210是5、6、7的最小公倍数,此即为公倍数做周期
举个栗子
(三)比例型
题型识别:分数、比例、百分数、倍数
对象特征:描述对象为不可分割的整体,整数才有意义。人、车、年龄等
当m、n互为质数,即最简分数时
a:b=m:n:a是m的倍数,b是n的倍数,a±b是m±n的倍数
eg: 男:女=7:3(最简分数)。男生是7的倍数,女生是3的倍数,全班人数是10的倍数,男女生人数差是4的倍数
扩展知识:最简分数 3与4之间没有公约数,因此互为质数(最简分数) 12与18之间有公约数6,因此不是最简分数
(四)增长率型
题型识别:基期、现期、增长率、增长量(资料分析的表述特征)
解题方法:转化为比例型作答
举个栗子:普通增长率
举个栗子:混合增长率
举个栗子
(五)给定公式型
题型识别:题目中给出公式,需要运用所给公式进行解答
举个栗子
2. 方程问题
1. 普通方程:一个未知数X
设未知数技巧
(1)求谁设谁(2)设中间量(3)设比例数(4)设小不设大
列方程
技巧:约分→让大数变小数
解方程
(1) 好解就解,快速解方程
(2) 不好解,别瞎解,代入
举个栗子
举个栗子
2. 普通方程:多个未知数
普通方程式:设多个未知数,求未知数比例
举个栗子
方程组:抓住问题消元求解,不好解就代入
举个栗子
3. 不定方程
普通不定方程(两个未知数,一个方程式)
方法一:奇偶特性
eg:3x+4y=25 25为奇数,4y一定为偶数,则3x一定为奇数,排除后没有答案就代入
举个栗子
方法二:倍数特性
ax+by=M,当a或b与M有公因子时
eg:7x+3y=60 3与60有公因子3,7x=60-3y。60-3y一定是3的倍数,则x一定是3的倍数,排除后没有答案就代入
方法三:尾数法
ax+by=M,当a或b尾数是0时
eg:37x+20y=271 20y尾数一定为0,则37x尾数需为1,x的尾数一定为3。
方法四:代入法
举个栗子
快速技巧:此消彼长。eg:当问y最大时,y最大,x尽量的小
多个未知数的不定方程(三个未知数,一个方程式)
解题方法:倍数特性+代入
举个栗子
4. 不定方程组(三个未知数,两个方程式)
考法1:整数型:未知数一定是整数
先消元转化为不定方程,再按不定方程求解
举个栗子
非限定整数型:未知数可以是小数(单价/时间)
凑系数(不好想)
赋零法:其中一个未知数为0(谁不好算谁为零)
举个栗子
3. 星期日期周期问题
1. 周期余数
题型特征:出现循环或周期,问多少个(往往数据很多或者数字很大,找规律即可
解题思路
(1) 找周期:确定周期的起点和长度
(2) 算余数:总数÷周期长度=几个周期……余数(n)
(3) 做等价:第几个:余几除几(无余数,周期最后一个)
eg:123123123………… 周期是3,第100个数为100÷3=33……1(第100个数为1)
2. 周期相遇
题型特征:出现多个小周期,求再次相遇
解题思路
最小公倍数相遇
eg:A每3天锻炼一次,B每4天锻炼一次……12天相遇
【补充】最小公倍数: 最外侧所有数相乘
注意:每隔 N 天 = 每 N+1 天
工作4天休息1天→周期为5
eg:A每隔3天锻炼一次,B每隔4天锻炼一次……20天相遇
星期问题,遇到周期为7,则每次相遇的星期数相同
举个栗子
举个栗子
3. 星期日期问题
基础知识
大月31天(一三五七八十腊),小月30天,2月28/29天
平闰年判定
平年365天(2月28天),闰年366天(2月29天)
年份能被4整除的为闰年(2024、2028),否则为平年,整百的年份需要被400整除(2000)
整年推断:过一个平年星期数加1,过一个闰年星期数加2(可以简记为52周01天,闰年02天)
12生肖:子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴酉鸡、戌狗、亥猪(本命年以12为周期)
题型特征:给出一段时间内有若干个周几,推算某一天为周几
补充:“一个自然月内最多有……”,这个自然月按照31天计算
解题思路
结论:平年星期数+1,闰年星期数+2,大月星期数+3,小月星期数+2
同一个星期数,日期差为7的倍数
eg:2号是星期二,则9号是星期二(9-2=7),16号是星期二(16-2=14=2×7)
间隔月转化为同月做差
【补充】天数问题:只顾一头
6月29日至7月6日为7天:1(6月30日)+6(至7月6日)=7(不加6月29日)
3月31日至10月1日共184天:30+31+30+31+31+30+1=184(不加3月31日)
举个栗子
大月+3,小月+2
原理:间隔的日期除以7得到的余数,余数是几就加几 大月:31÷7=4…3,小月:30÷7=4…2
eg:若5月31日是星期日 6月30是星期二(星期日+2),7月31是星期五(星期二+3),8月31是星期一(星期五+3)
eg:若5月20日是星期日 6月20是星期二(间隔30天+2),7月31是星期五(间隔31天+3),8月31是星期一(间隔30天+3)
每连续7天必有周一到周日各1天 每连续28天必有四周,必有周一到周日各4天
日期与星期有对应
除7看余数
日期与星期没有对应
天数÷7后的余数n,可以放在月首也可以放在月尾
月前=月后:月首n天=月尾n天
eg:一个月有31天,剩余周二周三周四,n=3,可以推出: 1日是周二,2日是周三,3日是周四 29日是周二,30日是周三,31日是周四
eg:一个月有30天,剩余周二周三,n=2,可以推出: 1日是周二,2日是周三 29日是周二,30日是周三
举个栗子
举个栗子
4. 工程问题
题型一:具体单位型
题型识别:有具体的效率或者总量(总量=效率×时间,W=P×T)
解题方法:列方程,根据问题求
举个栗子
题型二:完工时间型
(一)普通完工型
题型特征:多个主体的完工时间(eg:多个主体完工需要多长时间)
解题方法:
第一步:赋值总量(公倍数)
第二步:求效率
第三步:列表或列方程求解(推荐列表)
举 个 栗 子
(二)工程费用
题型特征:有工期时间的限制(eg:要求在X天完工,至少需要多少费用)
解题方法:费用最小,让便宜的工作最久
什么是便宜:每份工作量最便宜(将费用除以速度,得到1速度的单价) eg: 照照一天搬3块砖1200元(400元/砖),上岸一天搬2块砖1000元(500元/砖),照照更便宜(400<500)
举个栗子
(三)周期循环工程
题型特征:循环工作
解题方法:确定周期
举个栗子
题型三:效率比例型
题型特征:题目中存在效率比例信息
方式一:直接给
eg:甲:乙=3:4
eg:甲的效率是乙的2.5倍→甲:乙=5:2
eg:甲的效率比乙的效率高25%→甲:乙=4:3
举个栗子
方式二:间接给:通过工作量
eg:甲4天的工作量等于乙3天的工作量→甲:乙=3:4
eg:甲乙两个工程队合作完成某工程需36天,若甲工程队先做10天,剩下工程两队合作30天完成 36甲+36乙=10甲+30甲+30乙→甲:乙=3:2
举个栗子
方式三:给具体人数或机器数
解题方法:赋值效率or 赋值比值
题型四:统筹工程问题
题型特征:两人完成不同的工作,要求时间最少or工作量最大
解题方法:
第一步:列表梳理每人的工作效率
第二步:计算每件事的效率比,尽量把每件事交给效率较快的人
情况一:各自擅长
情况二:相对擅长
第三步:结合题干数据解题
无脑方法:抓住问题,找一个相对效率高的做
举个栗子
题型五:牛吃草
常考话题:牛吃草、资源消耗、窗口服务、排队问题
公式:y=(N-x)×T
考法
题目:一片草地每天都以平均速度生长,已知这片草地可以供25头牛吃12天,或者供40头牛吃6天
考法①:草的生长速度:y=(25-x)12=(40-x)6→x=?(求x)
考法②:这片草地的草量:y=(25-10)12=?(求y)
考法③:这片草地可以供30头牛吃多少天:180=(30-10)T→求T
考法④:草地上有28头牛,需要多少天,原有草地剩40%:180×50%=(28-10)T→求T
考法⑤:要想可持续发展(草永远吃不完),每天最多放多少头牛?→当N=T时
举个栗子:牛吃草
举个栗子:排队问题
举个栗子:资源消耗问题
5. 几何问题
一、 基础知识
多边形内角和=(n-2)×180°
拉窗帘原理:底固定高相同面积不变(适用于平行四边形、梯形、三角形)
二、 三角形
基础知识
考法一览
题型一:直角三角形
举个栗子
题型二:角度(正弦、余弦、正切、余切)
题型三:坐标构造
题型四:三角形同底或同高(蝴蝶定理)
蝴蝶定理
一个四边形ABCD,对角线AC和BD相较于O 结论: ①S头×S尾=S翅×S翅 ②S左=S右(当AD//BC时)
举个栗子
举个栗子
三、 最短路径
考察方式:求AB两点到直线距离之和最短
解题原理:两点之间线段最短
解题技巧:两点异侧,直接连线;两点同侧,镜面对称后连线
四、 几何最值理论
立体最值
立体图形中若表面积一定,越接近于球体积越大; 立体图形中若体积一定,越接近于球表面积越小。
平面最值
平面图形中周长一定越接近于圆,面积越大; 平面图形中面积一定越接近于圆,周长越小。
长方形最值
四边形周长一定时,正方形面积最大; 四边形面积一定时,正方形周长最小。
五、 同比例放缩
若将一个图形尺度变为原来的N倍
六、 几何最优构造
当a>b>c时,截面最大的情况(越接近正方形越大)→斜切长边不动,两条短边凑成尽量长的边。面积=
6. 经济问题
一、基础经济
题目特征:进价、利润、利润率、售价……
公式
(1) 进价(成本)+利润=售价【基期+增长率=现期】
(2) 利润率=利润÷成本
(3) 进价×(1+利润率)=售价【基期×(1+r)=现期】
(4) 总价=单价×数量
(5) 定价×折扣=售价
解题思路
(1) 若只有单价商品,优先切入点为进价; 若出现多价商品,优先切入点为商品数量
(2) 若出现折扣,一定要注意区分价格
解题方法
(1) 资料分析解决经济利润问题
利用:基期、现期、增长量、增长率关系
线段法混合思想:利润率=利润÷成本
连续涨价或跌价:r间=r1+r2+r1r2
A=B×C
(2) 方程法
题型特征:有具体钱数
方法
列表
设未知数
根据钱数或者等量列式子
(3) 赋值法
给比例求比例(好算的数)
三量关系只知其一
总价=单价×数量
总量=效率×时间
路程=速度×时间
操作方式
根据条件对成本或者售价进行赋值即可
商品数量由比例优先赋值数量的个数
二、分段计费
题型特征:计费规则达到分段点后变为不同费用
eg:……规定:1300元以内的部分……,超出1300元部分……
解题方法:先分段再汇总
注:先定位分段点,讨论费用涉及哪几个分段
注:设未知数时,不要设总长度为x,设最后一段为x更容易求解
三、经济函数最值
普通型
题型特征:单价和销量此消彼长,问何时总收入/总利润最高
计算方法(两点式)
y=(a-x)(b+x)
设次数,列方程,写成两括号相乘的形式
求出使方程等于0解的X1、X2
求出X=(X1+X2)/2时y的值
函数最值变形(数形结合)
四、经济函数图形
7. 容斥原理
题型一:两集合
两集合公式:A+B-A∩B=总-都不
举个栗子
题型二:三集合
题型识别:分别给出两两集合的交集 标准型:A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=总=都不
非标准型: 满足两项的为abc 满足三项的为d
题型识别:出现满足两个条件 注:只满足两个条件的才符合
A+B+C-满足两项-满足三项×2=总-都不
举个栗子
题型识别:至少满足两个条件 满足两个条件+满足三个条件
A+B+C-至少满足两项-满足三项=总-都不
举个栗子
【提速技巧】尾数法:左是左,右是右,要想快,先消负
举个栗子
题型三:画图法
能用公式用公式,不能用则画图
题型识别:只参加A但不参加B;或者缺少带公式必要的数据
解题方法:
第一步:画圆圈
第二步:标数字(从里到外,注意去重)
第三步:列算式
举个栗子
举个栗子
题型四:求最值(容斥原理结合不定方程)
方法:此消彼长
举个栗子
题型五:容斥原理和周期结合
注:求A、B、A∩B时,取整即可
举个栗子
8. 最值问题
一、 最不利构造
识别:至少……保证……
方法:答案=最不利情形+1,要保证同种情况至少n个,应每种情况各取(n-1)个,最后再+1
注:如果有不够n-1的情况,有多少取多少,最后再加1
题型一:普通最不利构造
题型二:最不利构造and排列组合结合(枚举或者简单排列组合)
二、 构造数列
题型识别:某个主体……最……(①最……最……②排名第几……最……)
方法
构造一个名次,求谁设谁,反向推其他,加和求解
注意:
主体个数是否相同
答案是非整数时,反向取整
第一步:构造名次
第二步:求谁设谁
第三步:反向推其他(多向多的看,少向少的看)
第四步:加和求解(不得尾数法)
题型一:普通构造数列
举个栗子:求第四重设第四重
举个栗子:求最少设最少
题型二:总量未知,构造数列
三、 多集合反向构造
题型识别:都满足的最少/至少
解题思路
思路一:反向(都不满足)→加和→作差
注:一般当题目为至少有……都……
思路二:(A1+A2+A3+……+An)-(n-1)×总量
四、 最值临界思维
9. 等差等比问题
等差数列
基础知识
无中项用
有中项优先用(可做可猜)
=平均数×n
n为奇数项时,为(n+1)/2
n为偶数项时,可看做中间两项,即
若a1、a2、a3既为等差数列有为等比数列→a1=a2=a3
常考题型
大数列公差
题型识别:季度数列、五年规划数列 、星期数列
解题方法:问大数列用大数列,问小数列用小数列
季度数列
五年规划数列
星期数列
综合应用
等比数列
基础知识
10. 行程问题
11. 排列组合
12. 概率问题
13. 年龄问题
14. 溶液问题
解题方法
公式法
溶液=溶质+溶剂
溶质=溶液×浓度
线段法
部分写两边,整体写中间
距离和量呈反比
注意:当存在多个字母、出现分数、蒸发时,不适用线段法
举个栗子
提速方法
(1)等量溶液混合,浓度居中(两浓度的平均值)
(2)等浓度的溶液混合,浓度不变
考法展示
等量变化类:蒸发稀释类
题型识别:溶质不变
稀释:溶液为……n%,加一定量的水,浓度为m%,再加入等量的水,浓度为?
蒸发:溶液为……n%,蒸发一定量的水,浓度变为m%,再蒸发等量的水,浓度为?
解题方法
(1)列表(溶质=溶液×浓度)
(2)赋值溶质(浓度的公倍数即可)
(3)求加入蒸发水的量
反复操作
15. 计数问题