高数第一章思维导图

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第一章函数与极限

• 1.数列的极限
  • 1.唯一性：数列有极限必唯一
  • 2.有界性：数列有极限则一定有界，有界但不一定有极限
  • 3.保号性：极限<0，则数列<0
• 2.函数的极限
  • 左右极限想等，则极限存在x趋向于a，但x不等于a
  • 性质
  • 1.唯一性、2.局部有界性、3.保号性
• 3.无穷大与无穷小
  • Notes：
    • 1.0是无穷小，但无穷小不一定为0
    • 2.设α（x）≠0,α（x）是否为无穷小与自变量的趋向有关
  • 无穷小的常规性质
    • 1.α趋于0,β趋于0,则α＋－β趋于0
    • 2.α趋于0,则kα趋于0,（k为常数）
    • 3.f（x）在x趋于x0时的极限为A，则f（x）＝A＋α（α趋于0，也就是误差）
    • 4.α趋于0,β趋于0，则α×β趋于0
  • 无穷大与无穷小：倒数关系
• 4.极限运算法则
  • 四则运算法则
• 5.极限存在准则、两个重要极限
  • 1.极限存在准则
    • 准则一：夹逼准则（迫敛准则）
      • 数列型：若an≤bn≤cn，liman＝limcn＝A，则limbn＝A
      • 函数型：若f（x）≤g（x）≤h（x），limf（x）＝limh（x）＝A，则limg（x）＝A
  • 2.两个重要极限
    • 单调有界数列必有极限
      • 1.数列an有界⇔上下有界
      • 2.If{an}单调递增（一定有下界）若有上界则极限存在，没有则不存在
      • 3.If{an}单调递减（一定有上界）若有下界则极限存在，若没有则不存在
• 6.无穷小的比较
  • 常见的等价无穷小
    • x∽sinx、x~tanx、x~arcsinx、x~arctanx、x~ln（1+x）、x~e的x方-1
    • 1-cosx~1/2x的平方
    • （1+x）的a次方~ax
  • 等价无穷小的性质
• 7.函数的连续性与间断点
  • 函数连续
    • f（a-0）＝f（a+0）＝f（a）
  • 间断点分类
    • 第一类间断点：f（a-0）与f（a+0）都存在（左右极限都存在）
      • 跳跃间断点：f（a-0）≠f（a+0）
      • 可去间断点：f（a-0）＝f（a+0）≠f（a）
    • 第二类间断点：f（a-0）、f（a+0）至少有一个不存在（无穷间断点、震荡间断点）
• 8.连续函数的运算与初等函数的连续性
• 9.闭区间上连续函数的性质
  • 有界定理
  • 最值定理：连续有最值，有最值不一定连续
  • 介值定理：
  • 零点定理