圆

总结了初中阶段圆的大部分知识点，希望对初中生有一定的帮助

圆

• 定义
  • 在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆
  • 在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
• 相关概念
  • 圆心
    • 在同一平面内到定点的距离等于定长，这个定点叫做圆的圆心。
  • 周长
    • 圆形一周的长度，就是圆的周长。
  • 同圆
    • 半径相同的圆叫做同圆。
  • 等圆
    • 能够重合的两个圆叫做等圆
  • 同心圆
    • 圆心相同的圆叫做同心圆。
  • 弦
    • 连接圆上任意两点的线段叫做弦
  • 弧
    • 定义
      • 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示
    • 优弧
      • 大于半圆的弧称为优弧
    • 劣弧
      • 小于半圆的弧称为劣弧
    • 等弧
      • 在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。（重点）
  • 圆心角，圆周角
    • 顶点在圆心上的角叫做圆心角（central angle），圆心角度数等于所对的弧的度数
    • 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半，等于所对的弧的度数的一半
  • 弓形
    • 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形
  • 扇形
    • 由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形叫做扇形
  • 切线
    • 垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
• 计算
  • 周长
    • 圆的周长：C=2πr=πd
  • 面积
    • 圆的面积：S=πr²
  • 弧长
    • 扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R为扇形半径）
  • 扇形面积
    • 扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
• 位置关系
  • 点与圆
    • ①P在圆O外，则 PO>r。 ②P在圆O上，则 PO=r。 ③P在圆O内，则 PO＜r
  • 直线与圆
    • ①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。 ②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d ③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。圆心与切点的连线垂直于切线。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）
• 性质
  • 对称性
    • 圆是轴对称图形，对称轴在过圆心的直线上，圆有无数条对称轴（常用）
  • 垂径定理
    • 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
  • 圆心角定理
    • 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。（逆定理）
    • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（定理）
  • 圆周角定理
    • 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）（定理）
    • 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径（推论1）
    • 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等
  • 切线长定理
    • 从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。
• “知一推三”