数学归纳

这是一篇关于数学归纳的思维导图，数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。

数学归纳

• 总结
  • 学习误区
    • 对假设“设而不用”
    • 机械套用数学归纳法中的两个步骤致误
    • 没有搞清从 k 到 k +1的跨度
  • 知识提升
    • 当 n 从 k 变到 k +1时，左边增加了几项，跟归纳假设进行对比，先“凑”再用用数学归纳法证明不等式时，有时需 要进行合理放缩，实在放缩难以直接
    • 得出结论的，可以进一步采用比较法、分析法等用数学归纳法解决平面几何问题时，需要用到几何知识或借助于图形来分析几何元素从 k 个变到 k +1个所证几何量将增加多少
• 学法指导
  • 数学归纳法是一种用递推方法来证明与正整数有关的命题的重要方法
  • 常见题型
    • 题型一：证明恒等式、不等式 常见的题型
    • 题型二：证明整除性问题
    • 题型三：证明平面几何问题 证题过程分两
    • 题型四：归纳一猜想一证明的问题
  • 证题过程分两个步骤
    • 第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，必须真实可靠
    • 第二步称为递推步骤，是命题具有后续传递性的保证，必须使用归纳假设
    • 两个步骤缺一不可，合起来才叫做数学归纳法
• 知识梳理
  • 定义
    • 对于某些与自然数n有关的命题，常常采用下面的方法来证明它的正确性:
    • 先证明当n取第一个值n。时命题成立;
    • 然后假设当n=k (k∈N*,k≥no)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
    • 作结论:命题对所有k≥n。的自然数成立.
    • 这种证明方法就叫数学归纳法
  • 证题的基本思想
    • 先验证使结论有意义的最小的正整数no,如果当n=n。时，命题成立，再假设当n=k ( k∈N*,k≥no)命题成立(其实这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时命题也成立，那么可以递推出对所有不小于n的正整数no+1，no+2， ... 命题都成立
  • 证明问题的类型
    • 题型一：证明恒等式、不等式
      • .恒等式的证明是高考中常出现的问题
      • 用数学归纳法证明不等式是较困难的题型,除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标
    • 题型二：证明整除性问题
      • 证明整除性问题的关键是“凑项”即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证
    • 题型三：证明平面几何问题
      • 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k+1)个时，所证的几何量将增加多少，这需要用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下,将n=k和n=k+1分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这.也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧
    • 题型四：归纳-猜想-证明的问题
      • 归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程,既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性。它引导我们在数学领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力。同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明