导图社区 高中数学-直线、平面垂直的判定及其性质
高中数学-直线、平面垂直的判定及其性质
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直线、平面垂直的判定及其性质
知识梳理
直线与平面垂直
定义
一条直线和一个平面内任何一条直线垂直,就说直线和平面垂直
判定定理
性质定理
平面与平面垂直
定义
如果所成的二面角是直角,就说这两个平面互相垂直
判定定理
性质定理
空间的角
半平面
平面内的一条直线把平面分成两个部分,这两个部分叫做半平面
二面角
二面角定义
二面角的平面角
空间距离
平行平面的距离
两个平行平面的公垂线段的长度
点到平面的距离
直线和平面平行,直线上任一点到平面的距离
直线和平面的距离
过直线上一点作平面的垂线段的长度
异面直线的距离
两条异面直线公垂线段的长度
学法指导
理解线面垂直的定义要注意
定义中的"任何一条直线"与"所有直线"是同义语
线面垂直是线面相交的一种特殊情况
定义给出了另一层含义∶若直线与平面垂直,则它垂直于这个平面内的任意一条直线
两个重要结论
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
判定线面垂直的常用方法
定义
要证明一条直线垂直于平面,转化为证明直线垂直于平面内的任何一条直线
判定定理
若一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线就和这个平面重直。即"线线重直,线面重直"
线面垂直的性质
两平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面
两个平面重直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线重直于另一个平面
面面平行的性质定理
一条直线垂直于两平行平面中的一个,则必垂直于另一个平面
面面垂直的性质
若两相交平面同时垂直于第三个平面,则两平面的交线垂直于第三个平面
向量法
证明直线的方向向量与平面的法向量平行
空间中的夹角
异面直线所成的角
取值范围(0,π/2]
常采用"平移线段法",求法∶平移的方法一般有下面三种类型
a.利用图中己有的平行线平移
b.利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移
c.补形平移,计算异面直线所成的、角,通常放在三角形中进行
直线和平面所成的角
定义包括三种情况
a.斜线和平面所成的角
b.垂线和平面所成的角
c.与平面平行或在平面内的直线与平面所成的角
取值范围(0,π/2]
求法
作出斜线在平面内的射影,找到线面所成角,转化为解三角形的问题
关于线线角、线面角的两个结论
平面与平面所成的角
二面角的平面角的性质
二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面
从二面角的平面角的一边上任一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上
二面角的平而角所在的平面与二面角的两个面都重直
二面角的求法
用定义"一作(找)、二证、三计算"
利用面积投影定理cos α=S'/S求
其中S为二面角一个平面内图形的面积,S'是这个平面图形在另一个面内投影图形的面积,α为二面角的大小
利用异面直线上两点间的距离公式求
范围:[0,π]
空间距离的常用求法
点面距离
直接利用定义求(先找或作,再抓住线段所在的三角形解之)
利用两平面互相垂直的性质∶若已知点在已知平面的垂面上,则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离
体积法
转化法;将点而距离转化为(平行)直线与平面的距离来求
直线与平面的距离
直接利用定义求证(或连,或作)某线段长为距离,然后运用解三角形计算
将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解
作辅助垂直平面,将线面距离转化为点线距离求解
平行平面的距离
定义法
转化法
转化为线面距离、线线距离或点面、点线距离等
异面直线的距离
定义法
转化法
转化为线面距离、面面距离等
等体积法
最值法
建立起两端点分别在两异面直线上的线段长的函数,然后求出函数的最小值
射影法
如果两条异面直线在同一个面内的射影是一个点及一条直线,那么这点到这条直线的距离就是两异面直线的距离
公式法
总结升华
学习误区
学习直线和平面垂直的判定定理要注意两点
判定定理条件中的“平面内两条相交直线”是关键词,不能改为“平面内两条平行直线”或“平面内的两条直线”
要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交的直线与已知直线垂直
总结升华
立体几何中计算问题的一般步骤
1.作图;2.证明;3.计算
立体几何中除了用定理判定垂直,还可以通过“算”,定量地证得“直角”来达到目的
必要时注意添加辅助平面,从而构成判定定理的条件
解决与概念有关问题时,必须牢记概念或定理的条件,同时用具体的空间模型来判断,并结合反例进行推证