必修一和必修四思维导图

集合

空集

任意集合子集

自身的真子集

常用数集

非负整数集（自然数集）

正整数集

整数集

有理数集

实数集

表示方法

列举法

描述法

韦恩图

概念

集合

所研究的对象叫做元素

元素

把一些元素组成的总体叫做集合

元素特性

确定性

互异性

无序性

关系

属于关系

包含关系

子集

真子集

运算

并集

交集

补集全集

函数及其性质

概念

定义

按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在B集合中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称fA B为集合A到集合B的一个函数

定义域

天然定义域

题目条件定义域

值域

注意定义域特殊条件（如x为整数等）

均为数集，写成{x|x}或区间形式

区间

开区间

闭区间

左小右大

正无穷 /负无穷

表示方法

解析法

f(x)=x+1/x

图像法

列表法

求解析式

待定系数法

已知函数类型，列方程组解出a,b,c的值

换元法

条件有双变量f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)

两变量相等

特殊值（x=0或y=0）

判断解析式参数a,b,c大小

利用函数图像与x,y轴交点坐标的正负判断

恒成立问题

恒成立

f(x)≤g(x)恒成立，即f(x)max≤g(x)min

能成立

f(x)≤g(x)能成立，即f(x)min≤g(x)max

奇偶性

概念

奇函数：f(-x)=-f(x)

偶函数：f(x)=f(-x)

对称性

奇函数：关于原点对称

偶函数：关于y轴对称

巧用f(0)（前提：定义域包括0）

判断奇偶性

直接带入±x

注意系数，如f(x)=ax+1/x,根据a是否等于0判断奇偶性分类讨论

应用

知奇偶求参数

整体代换，只与括号内的数正负有关

f(x)-g(x)=x+1,知f(x)与g(x)奇偶

将x与-x分别带入得到二元一次方程组，解出f(x)与g(x)

结合恒成立

求出不等式左侧已知函数f(x)值域,再求不等式右侧参数范围

注意系数是否为0！

单调性

类别

单调递增

a<b,f(a)>f(b)

单调递减

a>b,f(a)<f(b)

判定

作差法

差值因式分解

判断单调性

根据单调区间求参数范围

取值

作差

变形

定号

下结论

考虑定义域（分母有自变量）会将单调区间切开。如1/x+1,x<-1和x>-1分开考虑研究函数单调区间时先研究其定义域

分段讨论单调区间

特例：分段讨论乘积正负

单调区间对x1,x2都满足其单调性，不跨单调区间讨论

画图

相等分界法

表达

不能用U连接两区间，只能“和”或“，”连接

能否单调

在某区间上单调：该区间为单调区间的子集，在这个区间上单调性恒成立

是单调区间：这个区间就是单调区间，单调性恰好成立，不多不少

应用

函数最值

欲求最值，先求单调性

多项式高次分式函数最值

以x为主元，化为(y-1)x+1=0形式，此时y作为系数，讨论x最高次项系数

y-t=0

y为函数值域其中一个可能的值

y-t≠0

根据定义域x取值范围，转化为方程有几个根，用Δ算出y范围，即函数值域

函数不等式

利用单调性穿脱括号。例：f(x+1)<2=f(4)，f(x)单增即x+1<4

利用题目条件:f(y/x)=f(x)-f(y) f(2)=1 f(4/2)=f(4)-f(2) f(4)=f(2)+f(2)=2

带根号函数最值

分式求参数最值

看分子，转化为二次函数求最值

二次方程最值

最值在端点处取得，转化为两图像交点问题

1单调性 2图像法 3换元1q

分段函数满足单调性求参数

分段函数各段单调性

节点处符合单调性

复合函数单调性判断

同增异减

参数最值

二次函数考虑对称轴，确定对称轴范围，进而列出参数不等式

特殊：抽象函数条件单调性判断

和型判断符号

积型判断符号

注意系数是否为0！

定义域

例题：已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x+1)的定义域

1.定义域永指自变量x的范围2.投料口f( )括号范围永不变

答案：[-1,0]

复合函数

打包处理

内值=外定

迭代思想

f(x+1)=f(x-1) f(x)=f[(x-1)-1] f(x)=f(x-2)

耐克函数

f(x)=x+1/x

当x=1/x时，函数取最值

答案要写定义域

指数函数

n次方根

n为奇数

n为偶数

几个等式

n次方根个数

正数偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个

分数指数幂

正数的正分数指数幂

正数的负分数指数幂

运算

底数>0

技巧

函数基本概念

定义域:R

函数图像

a>1

0<a<1

恒过(1,0)

底数与图像关系

y轴右侧“底大图高”y轴左侧“底大图低”

比较大小

化为同底

商比法：不同底可化为同指数

引入中间值：1或0

图解法：画函数图像

估算法

技巧

求定义域/值域

定义域：有意义即可

值域：定义域/单调性

最值

换元

转化为二次函数

分离变量

对数函数

对数定义

恒等式

运算

技巧

等号两边同时取对数

化为同底数

换底公式

对数方程

基本概念

图像

a>1

0<a<1

恒过(1,0)

底数与图像关系

x>1底大图低

0<x<1底大图高

值域相关

方法

直接法

换元法

配方法

单调性法

真数恒大于0

反函数

概念：值域，定义域互换的两个函数

单调性：互为反函数的两个函数单调性相同。

求反函数的方法

确定函数值域，它是反函数定义域

写出反函数定义域

对于分段的反函数，可以分别求出各段的反函数，再合成。注意分段函数的反函数仍是分段函数

若开方，则根据定义域确定符号

浮动主题

幂函数

基本概念

图像

凹凸性证明

大小比较

直接法

幂指数相同，利用幂函数的单调性比较

转化法

转化为相同幂指数，运用单调性比较大小

构造指数函数比较大小

中间量法

中间数底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两个数之间，进而比较大小

奇偶性

图像位置

一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，二三象限看函数的奇偶性。幂函数图像最多同时出现在两个象限内，与坐标轴交点一定是原点

函数的应用

零点概念

意义

函数f(x)与x轴交点的横坐标

方程f(x)=0的实数根

F(x)=f(x)-g(x)

方程f(x)=g(x)的实数根

函数f(x)与g(x)交点的横坐标

求零点方法

代数法

解方程f(x)=0

几何法

画图

奇偶性，单调性分析

转化为两函数交点求解

根的存在定理

求给定区间是否存在零点

带端点值判断正负

零点个数

二次函数实根分布

对称轴

端点值正负

开口方向

二分法

三角函数

角的概念

任意角有正有负可为0

弧度制

计算公式

任意角的三角函数

含义

纵坐标扩大或缩小至原来的A倍

求函数解析式

带点计算

函数性质运用

单调区间

整体打包，带入不等式求解

比较大小

异名化同名，不同单调区间化为同一单调区间

中间值作为媒介

三角函数最值

表示成一次或二次复合函数，再用换元、配方或函数的单调性求解

“反客为主”

周期

三角函数线

解不等式时可用三角函数线

同角三角函数基本关系

运算时注意高次降为低次

三角恒等变形证明

直推法

代入法

带入条件解决

换元法

函数图像

诱导公式

“奇变偶不变，符号看象限”

负化正，大化小，化到锐角再查表

函数周期性

核心思想：迭代法

向量

概念

向量定义

既有大小又有方向的量叫做向量

模

向量的长度叫做向量的模

单位向量

长度等于1个单位向量的向量叫单位向量

零向量

模长为0,方向为任意方向，即与任意向量平行

特性

向量可以平移，向量与表示向量的有向线段的起点与终点无关

向量不能比较大小，模长能比较大小

注意向量字母上的箭头不能漏写

向量关系

平行向量

方向相同或相反的向量（非零向量）

相等向量

长度相等且方向相同的向量

相反向量

方向相反，模长相等的向量

向量运算

三角形法则

重心向量公式

证明：三角形中线向量公式+重心为三等分点

平行四边形法则

三角形中线的向量公式

角平分线构造

向量的数乘

向量不等式

向量共线

推论：三点共线向量

基本思想

路径向量

向量减法换起点

方程思想

向量基本定理

向量的坐标表示

运算

垂直

当x1y2-x2y1=0时，a向量与b向量垂直

重心坐标公式

向量角度计算

向量数量积

向量的四心