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三角形
这是一个关于三角形的思维导图
编辑于2022-06-12 10:49:22- 初中三角形汇总
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三角形
概念及特征
由三条线段首尾顺次连接的封闭图形，三角形具有稳定性，内角和为180°
n边形内角和的公式为：（n-2）×180°，多边形外角和都为360°
两边之差＜第三遍＜两边之和
正多边形每个内角的度数为：（n-2）*180°/n；正多边形的中心角为：360°/n；
分类
等腰三角形
性质：等腰三角形的两个腰，两底角都相等
定理
等腰三角形两底角相等。简称等边对等角
推论：等要三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称：三线合一
分类
普通等腰三角形
无特征等腰三角形（自创）
特征性等腰三角形（自创）
114三角形（自创，含120度的度角的等腰三角形）
112三角形（自创，含45°的等腰直角三角形）
特殊等腰三角形
等边三角形
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是60°
等边三角形符合所有等腰三角形的特点
等边三角形的三个高线，三个角平分线，三个中线交于一点，交点将这条线分为两部分，长边比与短边比为2：1
等边三角形面积简便算法：根号3×a²（边长为2a）
判定
三个边都相等的三角形
一个角为60°的等腰三角形
求面积
1、规则三角形
底×高×½
2、不规则三角形
①围圈：矩形/正方形－四周
②铅直高，水平宽（多用于在平面直角坐标系中）：横差×竖差×½
割补法（极少）
多用于在网格中移多补少
在平面直角坐标系中，任意一三角形面积公式=½（X2Y1+X3Y2+X1Y3-X1Y2-X2Y3-X3Y1)
直角三角形
定理
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形的两个锐角互余
勾股定理
直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
常见的勾股数
3，4，5家族
5，12，13家族
7，24，25家族
11，60，61家族
a²+b²=c²，逆定理：b²=c²-a²，a²=c²-b²
全等三角形判定（HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
性质
角
有一个角为90°的三角形
边
两边平方等于第三边的平方
模型
112三角形（自创，含45度的等腰直角三角形）
123三角形（自创，含60度的直角三角形）
勾股树
即以直角三角形三边为底边向外做正方形，则正方形的面积即为三角形一边的平方
全等三角形
定义及性质
能够完全重合的两个三角形全等
全等三角形对应边相等，对应角相等
三角形的全等判定
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
⑤HL（只适用于直角三角形）
相似三角形
性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2.相似三角形的边长，中位线，角平分线，高线的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
判定
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。3、三边成比例的两个三角形相似。4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
摄影定理
摄影定理，又叫欧几里得定理直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 ：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）^2=BD·DC， （2）（AB）^2=BD·BC ， （3）（AC）^2=CD·BC 。 注：当这个三角形不是直角三角形但∠ABC=∠CDB时，该定理仍成立
三角形的四线五心
五心
重心
三条中线的交点是重心，
旁心
几乎不用
垂心
三角形三条高线的交点为垂心
外心（常见）
三边垂直平分线的交点是外心
内心（常见）
内切圆的圆心，三条内角平分线的交点为内心
四线
线段的垂直平分线
定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
垂直平分线
先以A为圆心，用大于½倍AB的长度画圆，再以B为圆心，用大于½倍AB长度画圆，两园交于点C、D，连接CD，即为线段AB的垂直平分线
性质
线段垂直平分线到线段两点的距离相等，且连接后的两个三角形全等
角平分线
定理
角平分线上的点到这个角的两边距离相等
在一个角的内部，到角的两边距离相等的店在这个角的平分线上（证明AAS）
分类
内角
指一个三角形外角的邻补角，与外角互补
即一个内角的平分线
外角
指一个三角形内角的邻补角，与内角互补
外角平分线
三角形的外角等于不相邻的两个内角和
中线
定理
三角形的底边中线平分底边线段
中位线
定理：中位线是三角形任意两边中点的连线，三角线的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
模型（常见不代表所有）
常考问题
①、等腰三角形底边延长线一点到两腰距离的差等于一个腰上的高
②、等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于一个腰上的高
③在任何一个三角形中，两个底角的内角平分线，相交于一点P，这个∠P于顶点∠A的关系为：∠P=90°+∠A
④在任何一个三角形中，两个底角的外角平分线，相交于一点P，这个∠P于顶点∠A的关系为：∠P=90°－∠A
正方形中的折叠三角形
设方程，用勾股定理
靠山模型
用全等破题
构成平行四边形
证明四边形是否为平行四边形并求面积
证全等
一线三垂直
多用AAS或ASA判定三角形全等可破题
八字形全等
多用AAS破题
手拉手模型
由两个等顶角的等腰三角形构成，并且顶角的顶点为公共顶点
可构造45°的等腰直角三角形，再次判断全等三角形
旋转图形
半角模型
先旋转，再证全等
截长补短
证明两条线段和等于第三条线段长
倍长中线
直接倍长
间接倍长
由两底点向中线作垂线
求边的长度
勾股定理
三角函数
求角度
两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
同位角相等
利用等边三角形或等腰三角形
等腰三角形和等边三角形的存在性问题
锐角三角函数
定义
在直角三角形中，设一个锐角为α，则它所对的边为对边，另一条直角边为邻边，斜边。在这个直角三角形中，∠α的正切（tan∠α）为对边与邻边的比值；∠α的正弦（sin∠α）为对边与斜边的比值；∠α的余弦（cos∠α）为邻边与斜边的比值。
常见的三角函数值
补充常用三角函数值：sin15°=四分之根号六减根号二；cos15°=四分之根号六加根号二；tan15°=二减根号三。sin75°=四分之根号六加根号二；cos75°=四分之根号六减根号二；tan75°=二加根号三。tan22.5°=根号二减一。由以上可得出一条推论：cosα=sin（90°-α）
梯子问题
1）sin角的值越大，梯子越陡，cos值越小，梯子越陡，tan值越大，梯子越陡
坡度：即坡比，坡面的铅直高与水平宽的比
关于三角函数最常用的公式
和角公式：tan（α+β）=（tanα+tanβ）/1-tanα·tanβ
差角公式：tan（α-β）=（tanα-tanβ）/1+tanα·tanβ
夹角公式（平直中）：tanα=|K₁-K₂|/1+K₁·K₂
tan2α=2tanα/1-tan²α
sin2α=2sinα·cosα