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随机过程
此篇导图是一篇关于医学上随机过程的思维导图，其内容主要包括随机信号通过线性时不变系统，随机信号的联合特征等内容
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随机过程
随机信号
定义
一次实验的随时间变化的信号：样本函数
重要的是分布函数和统计特征
例子
不同时刻不独立
白噪声
不同时刻独立
分布函数
一维分布
与随机变量不同，含有t
描述随机信号固定时刻的统计特征，是时间的函数
二维分布
描述随机信号不同时刻信号状态之间的关系，是二维时间变量t1t2的函数
概要
Y的范围是整个实数轴
数字特征(统计特征)
均值函数(数学期望)
任意时刻t，X(t)是个随机变量
取值*概率密度，但是随时间变化
所有样本函数求平均
本质相同
是时间的函数，对所有样本函数在时间t的平均值
是t时刻所有样本函数取值的中心，反应所有样本函数统计意义下的变化规律
方差和均方值函数
方差
反映样本偏离中心的程度
均方值 (也就是二阶原点矩)
也是信号的平均功率
自相关函数
表示随机信号两时刻之间的关联程度
自协方差函数
也就是减去均值影响的自相关函数
不同时刻的关系
相互独立
不相关
自协方差等于0
正交
自相关函数为0
例题
带随机变量函数的数学期望：乘随机变量的概率密度再积分
平稳过程
随机过程简化
定义
随机信号的概率特征不随时间变化而变化，称为平稳随机过程(信号)
分类
一阶平稳过程
均值与t无关
二阶平稳过程
均值与t无关
均方值与t无关
那么方差也与时间无关
常数
自相关函数只是时间间隔的函数，与时间原点的选择无关
广义平稳随机过程:只有一阶、二阶统计特征具有平稳性
可以求算其均值和均方值均为常数来证明
例题
自相关函数只与时间差τ有关
平稳
平稳各态遍历过程条件
均值
时间均值
如果一个平稳随机信号的时间均值可以代替其统计均值，则该平稳随机信号为均值具有各态遍历性
不仅总均值与时间无关，而且每个样本的时间均值都可以代表总均值
自相关函数
时间相关函数
如果一个平稳随机信号的时间相关函数可以代替其自相关函数，则该平稳随机信号为自相关函数具有各态遍历性
同时满足则为平稳各态遍历过程或具有各态遍历性
例题
样本在取值在-1与1之间均匀分布，但是每一个样本信号的值为常数，判断各态遍历性
是平稳的
平稳信号的自相关性质
与自协方差
相关系数
相关系数为零称为不相关，指不存在线性相关关系
性质
有界性
证明
对称性
证明
极值性
时间间隔趋向于无穷时，信号呈独立
信号x(t)为周期信号，则R也为周期函数
例题
平稳随机信号的功率谱
频域统计特征(我认为可理解为各频率的强度)
一般不能满足能量信号的要求，但是能够满足功率信号要求
功率信号s(t)的功率P定义为
功率的频域定义
单一样本xi(t)的功率谱密度
平稳随机信号X(t)的功率谱密度定义为
功率谱密度就是功率谱
幅频特征平方的总体均值与持续时间之比在持续时间趋于无穷时的极限值
维纳-辛钦定理
证明不需要掌握
性质
非负性，实函数
Sx(ω)是偶函数
例题
随机信号通过线性时不变系统
确定性信号
平稳随机信号的响应参数
一整套参数
通过线性时不变系统还是平稳随机信号
输出的均值函数
傅立叶变换
输出的自相关函数
输入输出的互相关函数
只与τ有关，输入输出是联合平稳的
功率谱
输入功率谱乘系统频率响应的平方
互功率谱
互相关函数的傅里叶变换
可以求系统频率响应
相干函数
定义
描述两过程在各频率分量上之间的线性相关程度
对于线性系统
如果
输入输出之间为非线性关系
输入输出的测量值中均含有噪声
信号离散
采样定理
对随机信号关注功率谱
有限带宽随机信号的典型功率谱
离散自相关函数还原的条件: 间隔小于两倍截止频率分之一 或者说采样频率大于两倍截止频率
公式不用记忆
满足条件可以从离散的自相关完全恢复到连续的自相关
确定性信号是能够恢复时域信号
量化及量化噪声
水平中点量化
量化误差的方差
利用方差来评价随机信号噪声大小
量化误差近似认为均匀分布
随机信号的联合特征
联合平稳
对于两个平稳随机过程X和Y联合平稳，互相关函数定义为
两个信号都平稳
互相关函数与时间起止点无关
联合平稳的互协方差
互相关函数和互协方差是衡量随机过程XY在不同时刻取值的相关性的联合特征
互功率谱
互功率谱
*共轭
满足傅里叶互换关系
XY各自平稳且联合平稳的条件下
联合平稳且遍历
互相关函数等于时间互相关
例题
典型随机过程
理想白噪声
定义
均值为0的平稳随机
功率谱密度均匀分布在正无穷到负无穷
N0为一正常数
并未提N与噪声的关系
自相关函数
性质
理想化，实际中不存在
均方值为无穷
数学上处理上具有简单、方便等优点
限带白噪声
功率谱
低通型限带白噪声
理想白噪声通过理想低通滤波器
自相关函数
方波的傅里叶变换
性质
协方差函数也为0
高斯随机过程
定义
任意时刻取值都服从高斯分布的随机分布，且不同时刻取值的联合分布也是多元高斯分布
性质
高斯-马尔可夫随机过程
即是高斯随机过程又是马尔可夫随机过程
马尔可夫
未来取值只与当前有关，与过去无关
概率论
概率密度函数
概率分布函数
整个频域积分就是功率
研究整个样本函数集合，关注概率分布和数字特征
复习课
对称冲击
周期
零点冲击/零点有直
直流分量
概要
解题
傅里叶表达式写出来
随机变量均值公式
统计特性估计
平稳随机信号的均值估计
时域特征
平稳信号用一个样本的不同时间即可，得到一个数
质量评价
偏差
相对于真实值的平均偏离程度
方差
估计值的分散程度
解释
k=n-m
n-m不=0：有2(N-k)个C是相同的
n-m=0：就是方差(有N个)
白噪声互相不相关
概要
N足够大，估计的性能就好
一致估计：样本量足够大时方差等于0
即是无偏，又是一致
非平稳随机信号的均值估计
多数样本代替所有样本求平均，得到一个信号
以诱发信号为例
诱发响应的均值估计
质量评价
数学期望
无偏估计
方差
一致估计
改进提取方法
诱发响应潜伏期的影响
潜伏期导致高频信息丢失
其中的p(τ)是延迟时间的概率密度
解决方法
设法求出各次响应的潜伏期
观测信号由si(t)+ei(t)组成
加权平均减少累加次数
依据
自发相应弱时，诱发响应相对较强，可靠性高，全重大
潜伏期在一定范围内变动，诱发响应持续时间短
提取诱发响应时，自发响应作为干扰，其大小是变化的，但是在短时间内变化不大，用诱发响应结束后的自发响应估计噪声方差σ_ni^2，据此赋予该次响应权重ki=1/σ_ni^2
加权平均结果
功率估计的现代方法(参数模型)
概述
从根本上摒弃对数据序列加窗的隐含假设
传统缺点
数据量小时，频率分辨率低，谱峰能量泄露，旁瓣大
基本思想
调整H'(ω)使输出为白噪声，称为白化滤波器
通过H'得到H
白噪声可以通过H(ω)产生统计特征与x相同的信号
Sw为白噪声功率谱，是一个常数
可用随机过程的模型参数表示该随机过程，进而用于模型识别，数据压缩等领域
模型建立
MA模型
随机信号x(n)由当前激励w(n)和若干次过去的激励w(n-i)线性组合产生
w为零均值，方差σ2的白噪声
AR模型
噪声-之前p个信号的加权平均
随机信号x(n)本身的若干次过去值和当前激励w(n)的线性组合产生
建立AR模型
已知条件
估计：参数模型
得到Yule-Walker规范方程组
设x(n)均值为0，两边同时乘x(n-m)
转换为相关函数之间的关系
m>0
不同时刻信号和噪声不相关
同一时刻才有相关关系
移到同一边
m=0
每一行是m从0到p
Yule-Walker方程
由x(n)估计出自相关函数的值，即可求出该模型的未知数
计算
直接计算
α0=1
例题
自相关之间存在递推关系
我求我自己？
L-D算法
思路
以AR(0)和AR(1)模型参数为初始条件，建立AR(k+1)与AR(k)模型参数之间的递推关系表达式求解AR(p)模型的参数
矩阵的Toplitz特性
对称矩阵
对角线元素相同
与对角线平行的线上的元素相同
I为倒置向量
两个向量倒过来式子也成立
对于k阶模型
多加一行一列
结论
达到应有阶数时：
计算步骤
σ、α在不断更新通过D检查进度
ARMA模型
过去值由MA模型表示的AR模型
功率谱估计
频域特征
功率谱概念回顾
估计方法
自相关法
估计自相关函数得到功率谱
一个样本
对于平稳随机信号
自相关函数是偶函数
区间长度为2N-1
补零，使公式形式看起来简单一一些，但实际还是一样的(补的是0，一乘就没了)
质量评价
均值
有偏估计
无偏估计
方差
有偏估计
直接给了结论
综合考虑用有偏估计
计算
周期图法
从数学表达式入手直接估计功率谱
FFT方法
N点和2N点信息量是一样的，补零并不改变频谱
补零是因为一般情况下是做2N点DFT，为了与自相关法一致性
质量评价
偏差
有偏估计,真实值卷积三角窗
渐进无偏，当N趋近于无穷时为无偏估计
方差
给出结论，高斯白噪声过程
方差不随N(数据量)的增加而减小
各估计值之间互不相关
不是一致估计
问题
偏：加窗卷积就是平均。窗的主瓣造成谱峰变矮，谷抬高
泄露：窗的旁瓣引起，造成谱峰能量泄露，使谱峰附近产生虚假的小峰
谱分辨力降低：两个谱峰距离fB小于窗的主瓣宽度时，会使真实谱峰丢失
改进方法
平滑周期图
问题
弱窄带成分被淹没
不利于信号分类
根本原因
估计时对信号的截断(矩形)
三角窗就是两个矩形窗的频谱乘积
目的
减少谱峰的能量泄露
方法
使用非矩形窗进行截断
步骤
数据乘窗函数(非矩形窗)，再补零
做2N点DFT
按估计式计算
除以样本窗的平均能量，消除窗的影响
评价
有偏估计，N尽量大，渐进无偏
旁瓣的下降以主瓣变宽为代价，造成真实谱峰被削平
平均周期
问题
一致性差
思路
长度为N的数据分成K段(每段M个点)，对每段分别估计其功率谱，然后求平均
分段可以数据重叠
分段会更多
评价
有偏，且偏差比用N个数据直接估计时大
随K(分段数)增加，方差减小，偏差增大
概要
N一定时，可通过改变K和M的值，调整频率分辨率和方差
M越大，分辨率越好
N趋近于无穷时，K和M都趋近于无穷，则估计是功率谱的一致估计
平均平滑周期图
先分段，再乘非矩形窗
步骤
评价
一致估计
渐进无偏
结果是完全一样的
滤波器
匹配滤波
概述
信号淹没在噪声中，想要知道信号是否出现，什么时候出现，至于是否畸变，关系不大
雷达反射波、超声回波的检测
设计
设计原则
设观测信号
s为已知的确定信号，n为白噪声，功率为N/2
x(t)通过单位冲激响应为h(t)的滤波器
设计一滤波器，使在某时刻输出瞬时信噪比最大，则为匹配滤波器
输出信号
输出噪声的平均功率
输出功率谱公式
输出信号的瞬时信噪比
选择H使得SNR(T0)最大
设计过程
Schwartz不等式
滤波器
冲激响应为
为了满足因果系统，即当t<0时，h(t)=0，所以T0取值为信号的长度
匹配滤波器实际是将已知信号反折再延时T0构成
输出
自相关延时T0
性质
匹配滤波器通频带=信号的频带
信号赋值越大的频率成分处，滤波器的幅频响应也越大，反之则越小，可以最大限度抑制噪声
信号输出的频率特性
t为T0时，各频率成分变为同相位且取最大值，因而此时s0最大
应用
离散时间形式的滤波器
T-->N
t-->k
维纳滤波
概述
匹配滤波器只能解决信号有无，输出不反映信号的原始波形
信号通带内的噪声无法消除
信号与噪声重叠时，如何使有用信号通过得多而抑制更多得噪声
基本思路
d(t)：希望得到得信息，具有多种可能形式
d^(t):估计值
优化判据：使d和d^的差在某个准则下最小
基本假设
线性最小均方估计(LMS)
维纳-霍夫方程
h(t)的选择满足正交原理
按此选择的滤波器均方差最小
t时刻估计误差与x的所有观察值都正交
维纳-霍夫积分方程
设计
非因果维纳解
非因果情况下，h(t)定义在-∞到∞
如果n与s统计独立，非因果维纳滤波器为
离散形式
矩阵形式
因果维纳解
矩阵表示
例题
自适应滤波
概述
在没有关于待提取信号的先验统计知识条件下，利用观测数据，根据某种判据，在观测过程中不断递归更新滤波器参数以达到逐步逼近某一最优信号估计的目的
优点
无须提取信号的先验统计知识
利于处理非平稳信号，可以通过递归更新来自动跟踪信号性质的变化
结构
单输入自适应滤波器
输入是一个时间序列，相当于串行输入，输入量由不同时刻的取样值构成，可以用信号序列的过去值预测信号的现在值或未来值
多输入自适应滤波器
滤波器输入是一个空间序列，相当于并行输入，输入向量由同一时刻的取样值组成
常用自适应算法
最小均方法LMS(Least Mean Square)
最小二乘法LS(Least Square)
基于LMS算法的自适应滤波器
基本定义
误差
向量形式
误差平方
不转置的话是列向量
均方误差
通过定义互相关行向量和自相关矩阵简化表达
均方误差是权系数向量W的二次函数，是一个中间向下凹的曲面，具有唯一最小值函数
W为一维和二维的情况
调节权系数使均方误差最小，相当于抛物曲面下降找最小值，即梯度为0时的值
求最小均方误差的权值
精确结果
对均方误差表达式求W的导
G(n)=0,均方误差最小，此时的权向量为
精确权向量系数的求解还是需要先验统计知识且需要进行矩阵逆运算
最速下降法估计最佳系数近似值
LMS在这
原理
下一时刻权系数向量等于现时刻权系数向量加一个负均方误差梯度的比例项
μ为收敛因子
关键
收敛因子的选择
梯度的计算
梯度G(n)的近似计算
直接取e(n)作为均方误差E{e2(n)}的估计值
LMS最终表达式为
μ的选择
自适应滤波器的应用
自适应干扰对消
结构
采样信号为参考，输入为相关噪声(收集的环境噪声)，输出是偏差
不是直接的自适应滤波器
希望e逼近s
合理性分析
信号与噪声不相关
证明了自适应判据与总体判据相同
例子
工频干扰消除
工频干扰与相关信号的联系
可以看作两个相关信号(n')的和
系统结构
从电源引入参考信号，根据相加关系构造干扰对消滤波器
胎儿心音检测
结构
信号来源于腹部和远离腹部的导联信号
自适应信号增强
背景
需要在宽带噪声背景下提取较弱的窄带信号，因为信号被淹没，直接做谱分析难以得出可辨识结果，需要将噪声压低以便突出信号
结构
是个正常滤波器结构
延时信号作为输入，采样信号作为模板，最终输出取滤波器输出
延迟目的是使得延迟后x的噪声nT-Δ与nT不相关，使得自适应处理时噪声不会被抵消
噪声与信号和延迟噪声皆不相关，因此s逼近s^就是系统判据
综合例子
胃电测量
背景
方案
自适应线性增强
去掉底噪
自适应噪声消除
去掉呼吸影响
大鼠中枢神经系统 与自主神经系统活动的相关性研究
背景
任务
确定中枢神经系统与自主神经系统之间的定量调控机制
研究24小时大鼠自主神经活动和中枢神经活动变化的规律
研究在各个睡眠时相中的大鼠自主神经活动的规律
研究大鼠自主神经活动和中枢神经活动变化的相关性
方案设计
信号采集
遥测技术
脑电处理技术
预处理
去除基线漂移
功率谱
ECG信号处理
QRS波检测方法
QRS综合波的检测相当困难，这不仅因为QRS综合波的生 理变化复杂，而且因为ECG信号中存在着各种各样的噪声
有关QRS综合波检测和分类的方法繁多，大致分为三大类
阈值法
模板法
语句描述法
QRS综合波检测包括三个部分
线性数字滤波
线性数字滤波包括带通滤波器、微分器等
带通滤波器
ECG信号波形的频带为0.5—200 Hz，为准确地检测 QRS综合波，必须抑制T波，突出QRS波群，消除低频率 的基线漂移和其它干扰。为了保证滤波后波形不发生改变， 可采用了一个由Kaiser窗实现的具有线性相位的FIR滤波器。
考虑到大鼠QRS波的能量大致集中在20Hz－80Hz，将滤波器的上下截止频率分别取为20Hz和80Hz。
微分器
微分器相当于一个高通滤波器，ECG信号经过微分以获得QRS波的斜率信息。可采用五点差分来实现。
非线性变换
信号幅度平方器 滤掉无关信息（如P波、T波等）、抑制噪声干扰 (如肌电干扰、基线漂移等)，从大量的数据输人中提取足以反映 QRS综合波特点的少数几个特征量
平方函数
微分后，信号幅度逐点平方，使得处理信号的所有数据点变正，而且非线性地使微分器输出增大。这增加了信号的高频部分，主要是ECG信号的QRS波部分
移动窗积分
移动窗积分提取除R波斜率以外的其它信息，如宽度信息等，以提高QRS综合波检测的准确率。
窗口宽度N应大致与可能最大的QRS综合波宽度相等。过宽，QRS波与T波浸没在一起；过窄，一个QRS波可能产生多个尖峰，为随后的检测带来困难。大鼠QRS波的宽度一般不超过25ms，对于1000Hz采样率，取N＝25
QRS波确定算法
根据前面提取的特征作出判断
检测阈值自学习
可采用双检测阈值，一项阈值针对通过带通滤波器后的信号，另一项阈值针对经移动窗口积分器后输出的信号
阈值能够依据信号和噪声的大小而上下浮动，而不是固定在一个电平上，这就是自学习算法（亦称自适应过程），能有效地消除基线漂移的影响
QRS波确定
决策算法
当带通滤波器后信号某点值大于带通滤波器后使用的阈值，就可认为此时在带通滤波器后找到了一个QRS波
同理，当在积分后波形中某点值大于阈值，就认为在积 分波形后找到了一个QRS综合波
当在带通滤波器后的波形中和积分器输出的波形中都确 认找到了QRS综合波，才算是检测到了一个QRS综合波
抗心率失常处理
大鼠在24h中可能会出现偶发性心律失常，而心律失常不能反映自主神经对窦房结的调制。因此从包含心率失常的RR间期序列计算得到的HRV亦不能准确反映自主神经的活动。故需建立了一个抗心律失常线性滤波器以去除心率失常的心搏
PR间期重采样
为了计算RR间期的功率谱（PSD），必须对不等间隔的RR间期信号重采样成等间隔的RR间期信号，可以10Hz的采样频率对RR间期序列按照三次样条插值进行重采样
去趋势化
功率谱密度（PSD）估计方法可以得到随着频率变化的功率变化，而此方法往往要求所计算的信号是平稳的。实际上HRV信号通常是非平稳的，因而将导致HRV时域和频域分析失真
通常有两种方法来解决非平稳问题
Weber等建议在分析前对信号进行平稳性的检测，只有平稳信号才 能被分析
另外一种方法是去除信号中低频的趋势项，如Mika等[1]提出的一 种适合于HRV分析去趋势算法，此算法具有时变FIR高通滤波器的 性质