矩阵的初等变换与线性方程组

线性代数矩阵的初等变换与线性方程组第三章的思维导图，主要内容有矩阵的初等变换、矩阵的秩、线性方程组的解。

矩阵的初等变换与线性方程组

• 矩阵的初等变换
  • 定义
    • 一般采用消元法来解线性方程组，而消元法实际上是反复对方程进行变换，而所做的变换也只是以下三种基本的变换所构成： （1）用一非零的数乘以某一方程 （2）把一个方程的倍数加到另一个方程 （3）互换两个方程的位置 于是，将变换（1）、（2）、（3）称为线性方程组的初等变换。
      • 初等列变换 同样地，定义初等列变换，即： 1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列 2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数 3）互换矩阵中两列的位置
      • 初等行变换 定义：所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列3种变换： 1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行 2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数 3）互换矩阵中两行的位置 一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作 可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。
  • 性质
    • 性质1：行列互换（即转置），行列式不变。 性质2：一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式 性质3：如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等 性质4：如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0 性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变 性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号
  • 行阶梯型矩阵
    • 满足如下特点： ①每个阶梯只有一行 ②阶梯左下方元素全为0 ③竖线后面第一个元素非0（称“首非零元”）
  • 行最简形矩阵
    • 定义：行阶梯矩阵，且满足各行首个非零元素都为1，且这些元素所在列的其他其余元素都为0，也就是说，非零元素所在列只有1个非零元且都为1
  • 标准型矩阵
    • 任何矩阵，都可以通过矩阵的初等行变换，转换成行阶梯型矩阵。而行阶梯矩阵都可以继续通过初等行变换，转换成最简行阶梯矩阵。最简行阶梯矩阵，可以通过初等列变换，转换成标准型。
• 矩阵的秩
  • 定义1：在mxn矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
  • 定义2.：A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。 显然rA≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。 由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。 由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。
  • 定理：
  • 推论：
  • 性质：(1)转置后秩不变 (2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵 (3)r(kA)=r(A),k不等于0 (4)r(A)=0 <=> A=0 (5)r(A+B)<=r(A)+r(B) (6)r(AB)<=min(r(A),r(B)) (7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
• 线性方程组的解
  • 消元法解线性方程组
  • 线性方程组有解的判定条件
  • 定理
    • 定理1： n元线性方程组Ax=b (1).无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b); (2).有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 3.有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b）<n.
    • 定理2：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n
    • 定理3：线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)
    • 定理4：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)
    • 定理5：设AB=C,则R(C)<=min{R(A),R(B)}.
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• 标准型可能形式：
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