函数与极限

高等数学第一章函数与极限的思维导图，包括数列的极限、函数的极限、无穷大与无穷小、极限运用法则、函数的连续性和间断点等内容。

函数与极限

函数与极限

映射与函数

映射

注意

（1）三要素

集合X，即定义域

集合Y，即值域的范围：

对应法则f，使对每个x∈X，有唯一确定的y=f（x）与之对应

种类

满射（X到Y上的映射）——Y中任意元素y都是X中某元素的像

单射——X和Y中元素一 一对应

一 一映射（双射）——既是单射，又是满射

逆映射——与原映射定义域、值域互换（只有单射有）

复合映射——

函数

如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。

函数的几种特性

有界性（函数在X上有界的充分必要条件是他在X上既有上界又有下界）

单调性

奇偶性（定义域D关于原点对称）

周期性

几种类别

反函数

原函数和反函数单调性一致

原函数和反函数关于直线y=x对称

复合函数y=f[g(x)]——是复合函数的一种特例（g的值域比在f的定义域中）

基本初等函数

初等函数

基本初等函数

定义——由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数

数列的极限

数列极限的定义

数列

概念

自变量取正整数的函数

设{}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式 |-a|＜ε 都成立，那么就称常数a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛于a，记为 =a 或 →a（n→∞）

如果不存在这样的常数a，就说数列{]没有极限，或者说数列{}是发散的，习惯上也说不存在

收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）

如果数列{}收敛，那么它的极限唯一。

定理2（收敛数列的有界性）

如果数列{}收敛，那么数列{}一定有界。

有界不一定收敛

对于数列{}，如果存在正数M，使得一切都满足不等式 ||≤M， 那么称数列{}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{}是无界的。

定理3（收敛数列的保号性）

如果=a，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N，当n＞N时，都有＞0(或＜0）.

推论

如果数列{}从某项起有≥0（或≤0），且=a，那么a≥0（或a≤0）

定理4（收敛数列与其子数列间的关系）

如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也为a。

在数列{}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{}的的子数列（或子列）。

若数列两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散

函数的极限

函数极限的定义

主要研究的两种情形

x→

|x|→∞

自变量趋于有限值时函数的极限

单侧极限

左极限

右极限

左右极限值不一定相等

相等时

* 左右极限值即为函数的极限值

不等或任意一个不存在（无确切极限）时

* 函数没有极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

函数极限的性质

定理1（函数极限的唯一性）

如果存在，那么这极限唯一

定理2（函数极限的局部有界性)

如果=A，那么存在常数M＞0和σ＞0，使得当0＜||＜σ时，有||≤M

定理3（函数极限的局部保号性）

如果=A，且A＞0（或A＜0），那么存在常数σ＞0，使得当0＜||＜σ时，有＞0（或＜0）

定理3'

定理4（函数极限与数列极限的关系)

推论

无穷小与无穷大

无穷小

零可以作为无穷小的唯一的常数

无穷大

无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态

函数无穷大一定无界，但无界不一定无穷大

极限运算法则

定理1

两个无穷小之和是无穷小

有限个无穷小之和是无穷小

定理2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小

有限个无穷小的乘积是无穷小

极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则

准则Ⅰ

单调有界数列必有极限

单调递增并有上界或单调递减并有下界，则有极限

准则Ⅱ'

设函数在点的某个左邻域内单调递减并且有界，则在的左极限必定存在

柯西（Cauchy)极限存在准则

数列{}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m＞M，n＞N时，有 ||＜ε

几何意义

对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点中，任意两点间的距离小于ε

夹逼准则

两个重要极限

”■“在同一式子里，代表相同的表达式

无穷小的比较

常用的等价无穷小（当时）

1-~

-1~

和差取大规则

若 β=α+o（α），则α±β~α

和差代替规则

若α~α'，β~β'，且β与α不等价，则α-β~α-β,且~

因式代替规则

若α~β，且φ（x）极限存在或有界，则=

函数的连续性与间断点

函数的连续性

左连续

在右端点连续

右连续

在左端点连续

每一点都连续的函数

在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续

有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的

分类

第一类间断点

间断点处的左极限和右极限都存在

可去间断点

第二类间断点

左极限和右极限至少一个不存在，若其中一个为

∞

无穷间断点

振荡

振荡间断点

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

定理1

设函数和在点连续，则它们的和（差）、积及商（当≠0时）都在点连续

反函数与复合函数的连续性

定理2

如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数也在对应的区间{}上单调增加（或单调减少）且连续

初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

一切初等函数在其定义区间内都是连续的

定义区间就是包含在定义域内的区间

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

定理1（有界性与最大值最小值定理）

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

注意

如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有界，也不一定有最大值或最小值

零点定理与介值定理

定理2（零点定理）

定理3（介值定理）

一致连续性

定理4（一致连续性定理）

如果函数在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续

极限

有无极限与在处有无极限无关

ョσ＞0，找到一个σ与ε有关

0＜||＜0，为了把去掉，没有用≤