函数，极限，连续与间断

考研数学二第一章极限连续与间断

函数，极限，连续与间断

• 函数定义
  • • 函数概念
      • 法则:定义域，对应法则
      • 常见函数
        • 符号函数
        • 取整函数
    • 复合函数
      • 条件:内函数值域与外函数定义域的交集为非空交集
    • 反函数
      • 定义:唯一对应
      • 隐知识
        • 不是每个函数都有反函数。
        • 单调一定有反函数，反函数不一定单调
        • y=f(x)与x=f-1(y)图像重合，但不是同一个函数对应法则
        • y=f(x)与y=f-1(x)关于直线y=x对称
        • 结论:法则f-¹[f(x)]=f(x)，x,y只是个记号而已
      • 求反函数
        • 求出f-¹(y)
        • 对调x,y,将f-¹(y)换成f-¹(x)
    • 初等函数
      • 定义:由常数和基本初等函数经过有限次的四则复合所得，且能用一个解析式表示的函数
      • 基本初等函数
        • 幂函数
        • 指数函数
        • 对数函数
        • 三角函数
        • 反函数
• 函数性质
  • 单调性
  • 奇偶性
    • 常见函数
      • 奇:
      • 偶
    • 误区:若奇函数f（x）在x=0处有定义，必有f(0)=o,若f(0)≠0则该函数不是奇函数
    • 一眼定奇偶
      • 奇+奇=奇
      • 偶+偶=偶
      • 奇✖️奇＝偶
      • 偶✖️偶＝偶
      • 奇✖️偶＝奇
  • 周期性
    • 定义:若存在T＞0，对于任意x,恒有f(x+T)＝f(x)，则f(x)为周期函数
    • 结论
      • Sinx,cosx,.周期为2π，sin2x,‖sinx‖（绝对值）周期为π
      • 若f(x)以T为周期，则f(ax+b)以T/‖a‖为周期（正周期）
  • 有界性
    • 定义
      • 有界，对于任意x，恒有f(x)≤M，在x上（范围）有界
      • 无界，存在x,使f(x)＞M，在x上（范围）无界
    • 关键
      • 有无界的判定一定要带上范围，若没有指定范围则默认范围为定义域
    • 结论
      • 数列:如果数列{Xn}收敛，那么数列{Xn}一定有界，反之不成立
      • 有界不能推出收敛，有界是收敛的必要条件，要收敛比有界
  • 保号性
    • 定义
      • 函数在某点去心邻域内符号一致
      • 子主题
        • 若A＞0，则存在N＞0，当n＞N（在邻域内）时，Xn＞0（已知极限求数值，无等号）
        • 已知数值在邻域内求极限有等号
    • 选择题
      • 直接法
      • 排除法
        • 出现一般函数用排除法
        • 用具体函数排除（只能用于排除，不能用于确定）
    • 应用
      • 判断极值点
• 极限的概念
  • 数列极限
    • 以N为界限，当n在N之后的任意数都在Xn邻域内，无限接近极限A
    • 数列Xn的极限与前有限项无关
    • 全部的子数列极限都存在且相等则原数列极限存在，反之不行
    • Xn＝0的充要条件是‖Xn‖＝0，可以反推之
  • 函数极限
    • 自变量趋于无穷大时
      • 函数无穷大∞无表明正负时代表绝对值，要分左右，而数列则只取正
      • 关系，原函数极限存在的充要条件是左极限与右极限都存在且相等（常用来判断极限是否存在和解决连续问题）
    • 自变量趋于有限值
      • 在某点处的极限只与其邻域有关，而与该点函数值无关，在该点有无定义也无关
    • 分左右极限
      • 分段函数在分界点处的极限（分界点两侧函数表达式不同）
      • e∞型极限
      • arctanx极限
• 极限存在准则
  • 夹逼准则（n项和常用）
    • 子主题
      • Sinx＜x＜tanx
      • 增长速度:指＞幂＞对
    • 齐次——定积分定义
    • 非齐次——夹逼
  • 单调有界准则（递推）
    • 单调递增有上界必有极限
    • 单调递减有下界必有极限
  • 证极限存在（递推）
    • 递推两步曲
      • 递推，证单调有界，证极限存在
      • 等式左右两边取极限
    • 注意:必须先证明极限存在，才能等式两端取极限
• 求极限常用方法
  • 基本极限
    • 常用极限
    • 1∞型
      • 凑基本极限
      • 改写成e的函数
      • 三步曲
    • 存在准则
  • 等价无穷小代换
    • 原则
      • 乘除直接代换
        • 非0因子可提出来
        • 若极限存在可由分母趋近于0推出分子趋近于0
        • 若极限存在且非0，可由分子趋近于0推出分母趋近于0
      • 加减代换需注意代换后加减结果不为0代换才成立
    • 解题思路
      • 加减six,tax,x凑x-sinx～1/6x3
      • 加减1凑极限准则等
      • 拉格朗日中值定理
      • 加减可拆求极限的条件:拆开后极限分别存在
    • 误区
      • 数列求导不能直接用洛必达，需将n换成x再洛
      • 知道极限确定参数的解题方法
        • 判断未定式类型
        • 求极限
  • 有理运算法则（极限连续求导法则相同）
    • • 可反推来用（一般出现在选择题中）
      • 乘除代换
    • 存在➕存在＝存在
    • 不存在➕不存在＝不一定
    • 存在✖️➗不存在＝不一定
    • 不存在✖️➗不存在＝不一定
  • 洛必达
    • 可直接用的只有0/0和∞/∞
    • 定义
      • 倒数比极限存在或为∞时才可用洛必达（求导）
      • 倒数比极限不存在或不是无穷大则不能用洛必达
    • 其他未定式要转换成0/0型或∞/∞时才可以用洛必达
  • 泰勒
    • 定理
    • 原则
    • 解题技巧
      • 同乘除分母或分子变量→拆（极限分别存在）→代换
      • 加减某项凑基本极限或所求极限（利用A（存）➕B（存）＝C（存），反推之）
  • 夹逼
    • 放缩法
    • 抓大头
      • 条件不够时要分情况画函数图像
  • 单调有界准则
    • 证单调性
      • 后项减前项
      • 后项比前项
    • 证极限存在
      • 证单调有界，则极限一定存在
      • 数列前有限项与极限无关（将极限带入等式）
    • 极限带入等式的前提是一定先证极限存在
  • 定积分
• 闭区间的连续函数性质
  • 最值定理
    • 最大值与最小值可以相等（水平直线） 最大值与最小值不等（最大值与最小值至少有一个不在端点）
  • 有界定理
    • 与最值联系
      • 闭区间连续一定有界和最大小值
  • 零点定理（结合罗尔定理）
  • 介值定理（考点:函数值相加减）
• 四大定理的联系
• 连续与间断
  • 连续
    • 函数在某点连续＝极限值等于函数值＝函数在该点的左右极限存在且等于函数值
  • 间断
    • 函数在间断点上不满足连续要求（极限等于函数值） 即有不在定义上的点:①分段函数（分界点不确定，要讨论） ②分母含未知数（分母≠0）
    • 第一类间断点（左右极限都存在）
      • 可去（左右极限存在但不等于函数值，或者无定义）
      • 跳跃（左右极限存在但不相等）
    • 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）
• 无穷小
  • 判定标准
    • 是否为函数
    • 极限是否为零
  • 一般性质
    • 无穷小的加减乘除都是0
    • 有界函数乘以无穷小等于0
    • 极限值可以等于极限值加上无穷小
  • 重要极限
    • lim(△→0)sin△/△=1
      • 推广
        • △→0
        • △≠0
    • e式