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概率论

概率论考研复习，主要知识点与分布

编辑于2020-07-18 20:54:36

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大纲

概率论

随机事件以及概率 4’

学科基础

事件关系与运算（基本概念）

事件的运算律：徳摩根律，较为重点

图，集合，发生

样本空间就等于E的所有结果的集合

注：E-随机试验

样本点-就是E的一个结果

事件A-使用“发生”这个词来描述：样本与事件的关系=类似与=>元素与集合的关系

事件的分类（仅作了解）

基本事件

不可能事件

必然事件

事件的运算律

交换律

结合律

同一运算

分配律

徳摩根律

计算方式：上方的横线：连<->断交并集的方向互相改变

混合运算

注：1.遇到具体随机试验E，学会引入事件，使用字母来表示2.体现事件的作用：用事件关系来体现试验E的过程和关系3.注意用词：至少，同时，都，etc.4.要化简运算，写事件运算关系：通过运算化简，含义化简，图化简

概率P(A)

古典概率——最为基础P（A）=A发生的次数/总事件发生的次数

注：1.判定古典概型：可否转化为抽球问题？2.计算A发生次数常用方法：排列组合

几何概率

注：1.判定几何概率：多与时间相关2.计算优先用几何公式，再考虑积分

伯努利概率，何为伯努利实验？

一次伯努利事件即为0-1分布，n次伯努利实验即为二项分布或几何分布其判定就看独立与重复

四种特性：非负，有限（可列）可加，规范（全集概率为1，空集概率为0），逆事件的概率（简单明了）

何为有限可加？

证明题貌似有限可加常考

条件概率P（B｜Ａ）

本质上是研究B的概率，研究B在A的前提下的概率

四个性质中的三个与普通概率性质相同

指非负性，逆概率，规范性

唯一不同的是：P(B1UB2|A) =P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A)

Tips：要会判定条件关系P

事件的独立性

下述两种事件独立情况的定义与性质，要知道

两个事件独立

独立换言之就是两者的概率不会互相影响，两者没有概率关系，样本点可能有交叉

A与B相互独立，则A，B，非A，非B两两之间相互独立（四独立）

三个事件独立

三个事件独立=三个事件两两独立+P (ABC)=P(A)P(B)P(C).

概率五大公式

加法公式

减法公式

乘法公式

参照条件概率定义式

全概率公式

完备事件组：事件组两两互斥，全体和为1—->其作用为对样本空间内的任何事件做了完全划分

A=Aomiga = A(B1+B2+...+Bn) = AB1 + AB2 + ... + ABn —->互斥之和，可列可加

常见完备事件组

A与A的对立

具体E，E往往分为两次；前一次的结果作完备事件组

R.U

注：R.U->随机变量

一维离散R.U：X —>将X表示的事件作完备事件组

连续R.U

一维连续：对(-∞,+∞)划分区间作完备划分

二维连续：对整个平面作区域完备划分

各种情况概率之和

贝叶斯公式

所求条件的概率除以全概率

题型：找完备事件组->列概率式：无条件则为全概率，有条件即为贝叶斯

题型：1.随机事件的运算和概率->两道题，一类事件运算，一类概率P的问题，要写出事件的运算关系2.由条件概率关系转概率关系（遇条件去条件）/ 计算条件概率，使用定义式，概率公式，概率含义（古典概型）3.独立-> 两道题，一类由独立关系转概率关系（遇独立写P(AB)=P(A)P(B)），另一类为判断事件独立，使用定义，性质，含义来看

遇对立去对立（逆事件）

随机条件以及分布

何为随机变量及其分布

用数来表示结果，表示P与x的关系

随机变量R.U的本质是表示E的结果

R.U表示事件，特殊的有空集=x<-∞，全集= x<+∞

R.U具有双重性，具有实数的运算法则，又具有事件（概率）的运算法则

引入R.U：x来表示E的结果，将问题转化为R.U的问题

分布函数定义：F(x) = P{X<=x} (-∞,+∞). 1.F(x)->function 2.P{X<=x}定义取值方式3.F(x)可使用概率P来理解

F(x)规范书写，x的定义域属于RF(x)右连续，分断点处书写

非负性

规范性

单调不减性

右连续性

分布函数求事件的概率

注：用F求P（x属于z）：1.将所求值化为“x<=”的形式2.“<=” 取F值。 “<”取F左极限

题型：

1.使用分布函数的性质判定是否是分布函数

2.求分布函数中的未知参数

3.通过上面求出的分布函数求一个概率

离散型随机变量

注意每种分布的记号

0-1分布

一次伯努利实验

注：要先确定事件A，然后确定P（A）。

二项分布X~B(n,p)

n次伯努利实验

注：n为实验次数，注意二项分布的形式

几何分布X~G(p)

表示事件A首次发生时所做的实验次数

注：定P，判断是否时几何分布，找关键词；注意其形式：1.规范性，所有点之和为1 2.其方差E的定义形式（见数字特征一章）

泊松分布X~P(lambda)

了解泊松定理，泊松分布实际上时二项分布的实验次数趋近于∞的情况

描述某个事件段所经过的人数/车辆数（X）

注：Lambda使用规范性求得，其含义为方差与期望。规范性：求和=1

超几何分布X～P(M,N,n).

要求不高

描述：总共有N个产品，其中有M个正品，N-M个次品，取n个中有k个正品

题型：

点位只有一个概率分布

1.概率分布的判定

2.求概率分布中的参数：使用规范性求解，使用概率转化为X的分布求解

3.使用概率分布求概率

4.求X的概率分布

5. F（x）讨论其性质，4条共性，其函数呈阶梯型；F(x)与Pk的关联

连续型随机变量

均匀分布X～U(a,b)

注：1.观察f（x）的形式，写出f（x），判定是否为均匀分布。 2.均匀分布实际为几何概型，所以可使用概率方法解决

正态分布X~N(miu,delta^2)

大规模的数据问题

注：1.注意f的形式，会找到对应的量2.记住一些结论，从正态分布图上理解3.f的应用，使用其形式计算e^-k(x-miu)^2 ; 或者运用其结论

标准正态分布fi（x）

其为偶函数

性质

两个概率：P（x<=0）= 1/2;FI(x) + FI(-x) = 1

一般正态与标准正态的转化

x-miu/delta～N（0，1）

遇正态化标准正态

指数分布X~E(lambda)

表示要达到某一数量所需等待的时间（又称等待分布）

注：1.注意f的形式：会写f（x），判定E（lambda），计算含e^-kx的积分2.求lambda ：联系期望与方差

概率密度的性质

非负性f(x)>=0

规范性：R上积分为1

判断是否为概率密度的充要条件

连续R.U

f的定义与性质

题目：

1.单独讨论f：判定是否为概率密度；求概率密度函数中的参数——用规范性。；求概率，常为积分，注意分区间积分

2.讨论F：判定是否为F；求参数，使用规范性，连续；求概率P = F（右端点）- F（左端点）

3. f与F互求

随机变量函数的分布

求随机变量的概率分布（离散型）/分布函数，概率密度（连续型）

题型：

用f（x）求F（x）：求变限积分

用F（x）求f（x）：分两部分，当F（x）在分段区间内，f（x）=F`（x）；当F（x）在分段点处，f（x）=0

已知R.U：X的分布，Y=g（x），求Y分布—-》考法：1.x的分布给法2.Y=g（x）的形式。先写出x的分布与g（x）

求Y分布的思路：1.先找Y的分布对应Y表示的事件A 2.再用Y=g（x）转化为用X表示事件A3.最后用X的分布求P（A），这样就可以得出Y的分布

根据X的类型可以将题目分为3类

离散型：Y的概率分布运算就是用Y=g（X）来替换Y，然后用X的概率分布求Y的概率分布

特殊：1.算Y值，Y=g(X)，有限个

使用Y对应的函数g替换获得一个新表，整理得到Y的概率分布即可

连续型：注意，其Y=g(X)可以式离散的，可以是连续的，也可以是混合的，看问题中所求的分布形式

混合型

注：审清f（x）的形式，g（x）的形式；若g为一般类型，则使用分布函数法

分布函数法：先替换，然后转化为用X的f（x）求P{g(x)<=y}；这时求X的范围善用作图来找

1.标出f（x）！= 0的区间I（f(x)的分段点）2.画出I上的Y=g(x)图，计算分段点，极值，渐近线3.标出g(x)<=y的区域D4.平移水平线L：y，从-∞向上平移，写出该水平线与区域D相交的范围

F（y）分段原则

水平线与D相交边界线变化——积分线变化

水平线与D相交所对f（x）变化——被积函数变化

常见分布7种

题目：

1.考分布自身：形式，结论

2.分布的运用，考理论：概率分布，概率密度，分布函数

多维随机条件以及其分布

二维随机变量的定义以及何为其分布函数？

共性的问题：结果的体现——二维随机变量/随机向量

（x，y）两个变量关系是交的关系；其地位是平行的

二维随机变量的分布函数：用于体现交事件的关系

可推广为n维随机变量的分布函数

F(x,y) = P{X<=x,Y<=y}

P{X<=x,Y<=y}固定了取值方式，其以（x,y）为顶点的取值为iii象限方向的区域的概率

四个性质

非负性

除了与一维类似的非负性表现，还有一个体现

指：对任意a<b,c<d有P{a<X<=b,c<Y<=d} => F(b,d)+F(a,c) - F(a,d) - F(b,c) >= 0

规范性：用F与P的转换理解

单调不减性：分别对于某单独的一个变量单调不减

右连续性：与单调不减类似，都是对于单独某个变量右连续，另一个变量视作常数。

注：1.F（x，y）为分布函数与上面四条成充要条件

边缘分布函数

将其中一个变量设为必然事件，即—>+∞，然后只关心另一个变量分布函数

注：1.边缘指的就是单个变量的R.U分布2.其分布关系可以切换为P来理解3.用分布函数求边缘分布函数，注意极限的求法——由极限定函数，区别变量

3.eg.求x的边缘分布函数，先定x，然后确定F，最后在x竖线上对y求极限

注：

1.（X，Y）表示的是积事件，相当于X交Y

2.可推广为n维随机变量：（X1，X2，...，Xn）相当于n个事件的积

二维离散型随机变量

(x,y)可列可数

概率分布

联合概率分布是用表格表示，表格又称概率分布矩阵

实际上是表示点对的交事件的概率

注：1.（x，y）的值的确定，转化为由x，y的值确定2.如果概率分布满足Pij，则Pij满足非负与规范性，Pij要对应x，y表示的事件3.要会看懂其分布表

边缘概率分布

对X求行和，对Y求列和，其本质是从分布矩阵来的

条件概率分布

由条件概率而来

由此可以得出其乘法公式，注意乘法公式中的条件

注：1.在条件概率分布中，“｜”后者作常数，其形式就是直接从事件的条件概率转换而来2.其存在的前提Pij > 0 3.条件概率大本质是反应“｜”前者的概率分布4.联合概率分布可以求边缘分布，可以求条件概率分布；反之不可；边缘概率分布于条件概率分布无直接关系，但条件+边缘可以求联合

eg：P.j与Pij/P.j求Pij的书写要写两个部分

当P.j>0，Pij = Pij/P.j *P.j

若P.j = 0，Pij = 0

题目：

1.二维离散型变量的概率分布问题

考判定（现在很少考）：验证性质

规范性

用概率分布求概率=在D内点对的P之和

求概率分布：求（x，y）分布，先定X，Y取值，然后再算Pij（对照分布表）

2.边缘分布问题

求Pi.，P.j

由边缘分布转化为概率问题

3.条件概率分布问题

求条件概率分布

由条件概率分布转化为概率问题

4.以上三者关系互求

二维连续型随机变量

联合概率密度

定义

性质

非负

规范

注：f（x，y）非负；可积：二重积分存在且反常积分收敛书写形式区分D与D的边界，D的边界处值为0

分布函数和概率密度的关系

1.F（x，y）与其积分形式的互写与互求

2.点对落在一定区域D上的概率，直接对联合概率函数求二重积分

3.若在某一点处连续，则存在其二元偏导

由f求F，不常考，求二重积分

由F求f，其书写分两部分：F在分段区间内，直接求二阶偏导，在分段曲线上直接写0。

边缘概率密度

本质是求x，y的概率密度

注意其公式形式

由概率密度函数求边缘概率密度，与离散型类似，先定x，再定f，最后在x的竖线上对y积分

条件概率密度

概率密度乘法公式

题型：边缘+条件求联合——书写注意分作两个部分，一个是边缘>0 ，另一个是边缘 = 0 ；大于0则使用乘法公式写出

其存在性具有前提：在“｜”后者边缘密度不为0的情况下才有条件概率密度

其实质是关于“｜”之前的项的概率密度

“｜”后者在这里是作为常数看待的

f（x，y）求条件概率密度，可求。

常见二维连续型随机变量

二维均匀分布

形式：面积分之一；要会判定均匀分布

（x，y）服从均匀分布，且其是几何概型->在区域D上对函数作二重积分，如果是一些特殊区域，可以直接转化为求面积

服从均匀分布：1/(b-a)(d-c) ——> x，y独立（x属于a到b；y属于c到d）

二维正态分布

(X,Y)~N(miu1,miu2,delta1^2,delta2^2,rou) rou是x，y的相关系数，其余都是期望和方差

二维正态的性质

前3条会用即可

题型：

均匀分布

f的形式

结论->求P

正态分布

参数的含义

结论的应用

题型：

判定是否是概率密度

求参数——规范性

求概率——区域上作二重积分

边缘/条件，类似于离散型的考法，在此不赘述

三者互求

两个条件概率P注意区分

条件是一个区间：使用条件概率的定义式

条件是一个点：只能用条件概率密度

随机变量独立

一定要于事件独立相对应

X，Y分别表示的事件之间是独立的

子主题

注：R.U独立，其含义表现在其取值；可以推广为n个随机变量独立==>所有边缘相乘；考点：1.独立转P关系，分布关系2.判定独立——第一是使用充要条件，特殊的使用结论（比如二维正态rou=0）3.判断不独立——第一考虑充要条件，然后是找数字特征（相关系数，协方差），特殊的情况用结论；最常考取X，Y的区间表示事件不独立（存在I，J两个区间有x属于I，y属于J的概率之积不等于其积事件之概率）

随机变量函数的分布

问题描述：已知（X，Y）分布，Z=g（x，y）->求Z分布

思路：Z表示一个事件A->用（X，Y）表示A->最后用g描述Z

题型：

1.一般情况：参照一维随机变量

2.特殊情况：（x，y）的点对是有限个的，此时改写（x，y）的分布表，然后整理得到Z的分布（整理Z值，整理P（Z））

注：Fz分段原则：1. g与D0边界线相交发生变化->Fz分段2.D与D0相交区域内所对的f有变化

参照一维，相类似

随机变量的数字特征

数学期望（E）

E的含义：R.U取值的平均值

加权平均，权重= 其所占的概率P

一维离散型/二维离散型

定义就是值*权重（概率）之和

一维连续型/二维连续型

注：1.E的含义就是加权平均，其本质是定义了一种运算：E（）=对（）内的内容求平均值，其结果是一个数。2.定义的形式：提供了用定义写/算期望的方法——离散R.U用概率分布算，连续R.U用概率密度算，不能用分布函数计算3.提法：求谁的平均->求谁的期望

性质：从含义的角度理解

1.加减无条件线性分配

2.积事件拆分需满足独立关系

注意使用这两条性质的前提条件

3.E（a）=a

其实现了E的变形

方差（D）

性质

1.常数的D为0

2.D(aX) = a^2 D(X)

3. D(X+-Y) = D(X)+D(Y)+-2Cov(X,Y)

4. X，Y相互独立，则D(X+-Y) = D(X) + D(Y)

注：1.使用D的性质变形2.使用D的性质的时候注意正负条件

研究R.U的取值波动问题：反映X值的稳定性问题

实际上也是求的该波动函数的期望

两个公式

常见随机变量的数学期望和方差

要背

0-1分布

二项分布

泊松分布

几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

卡方分布

注：1.要记住E和D的值2.两个应用：使用Ex，Ex^2的定义形式来做计算；算Ex^2 = Dx +（Ex）^2

协方差（Cov）

其本质也是期望，是[X-E(x)][Y-E(y)]的期望

公式：Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

可以先算EX，EY；再算EXY。可以一定程度上减少计算量（指EX或EY等于0）

可以使用Cov来计算EXY

性质：

1.Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)

2.Cov(c,X) = 0

其中的a，b，c是常数

3.Cov(X1+X2,Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)可以无条件分配

4.Cov(X,X) = D(X)