高数多元函数微积分归纳

高等数学多元函数微积分知识归纳总结

多元函数微积分

• 基本概念
  • 二元函数
    • 定义
      • z=f（x，y）
    • 几何意义
      • 曲面（不一定要光滑）
  • 极限
    • 点以任何方向向某点逼近
  • 连续性
    • 条件
      • 有定义
      • 有极限
      • 定义等于极限
    • 性质
      • 有界性定理
      • 最值定理
      • 介值定理
  • 题型
    • 求定义域
    • 证明极限存在
      • 一元
        • 某点两侧逼近
      • 二元
        • 某点所有方向逼近
    • 证明极限不存在
      • 两种逼近方式
    • 求极限
    • 连续
• 偏导数
  • 定义
  • 推论
    • 对x求导时，把y看作常数，对x求导
    • 对y求导时，把x看作常数，对y求导
  • 题型
    • 求一个函数对x、y求导
    • 求在某点的偏导
      • 先求函数整体的偏导（分别对x、y求导），再把该点代入
• 全微分
  • 定义
    • dz=dxz+dyz 一个全微分=两个偏微分之和
  • 可微的必要充分条件
    • 必要条件
      • z=f（x，y）可微→偏导一定存在 dz=fx′∆x+fy′∆y
    • 充分条件
      • z=（x，y）有连续偏导数→可微dz=fx′dx=fy′dy
    • 可微与偏导的关系
      • 可微一定存在偏导
      • 偏导存在不一定可微
  • 求全微分
    • 题型
      • 直接求全微分
      • 求某个函数在某点的全微分
        • 先求全微分再代入
  • 近似计算
    • f（x+∆x，y+∆y）≈f（x，y）+fx′dx+fy′dy
• 隐函数求导
  • 定理
    • 定义
    • 公式
      • dy|dx=-（Fx′|Fy′）
    • 注意
      • 负号
      • 分子分母交错对应
  • 二元隐函数
• 多元复合函数求导
  • 特例
    • 子主题 1
    • 子主题 2
    • 子主题 3
  • 注意
    • 求偏导
      • 变量朝右分叉有两个或以上
    • 求导
      • 只有一个分叉