数学分析第一章实数集与函数

数学分析第五版第一章思维导图，总结了实数及其性质、 绝对值与不等式、区间与领域、有界集·确界原理等内容。

实数集与函数

• 实数
  • 实数及其性质
    • n位进似
      • n位不足
      • n位过剩
    • 实数的主要性质
      • 实数的四则运算具有封闭性
        • 实数集R对加减乘除（除数不为0）四则运算是封闭的，即人一两个实数的和差积商（除数不为0)任然是实数
      • 实数集有序
        • 任意两个实数a，b必满足三个关系之一:a>b a<b a=b
      • 实数的大小关系具有传递性
        • 即若a>b b>c 则a>c
      • 实数具有阿基米德性
        • 任意实数a b，若b>a>0,则存在正整数n，使na>b
      • 实数具有稠密性
        • 任意两个不相等的实数之间必然存在另一个实数，且既有有理数又有无理数
      • 实数在数轴上一一对应
  • 绝对值与不等式
    • 定义：从数轴上看，|a|就是a到原点的距离
    • 性质
      • |a|=|-a|≥0，当且仅当a=0时有|a|=0
      • -|a|≤a≤|a|
      • |a|≤h -h≤a≤h，|a|<h -h<a<h(h>0)
      • 三角不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
      • |ab|=|a||b|
• 数集·确界原理
  • 区间与领域
    • 区间
      • 有限区间
        • 开区间：{x|a<x<b} 记作：（a，b）
        • 闭区间：{x|a≤x≤b} 记作：[a,b]
        • 半开半闭：{x|a<x≤b} {x|a≤x<b} 记作：（a，b] [a,b)
      • 无限区间
    • 领域
      • 点a的δ领域：U（a；δ）={x| |x-a|<δ}={a-δ，a+δ} 简记：U（a）
      • 点a的δ空心领域：U゜（a；δ）={x|0<|x-a|<δ} 简记：U゜（a）
      • 点a的δ右领域：U﹢（a；δ）=［a，a+δ） 简记：U﹢（a）
      • 点a的δ左领域：U﹣（a；δ）=（a-δ，a] 简记：U﹣（a）
      • ∞领域：U（∞）={x| |x|>M}，M为充分大的正数
      • +∞领域：U（+∞）={x|x>M}，M为充分大的实数
      • -∞领域：U（-∞）={x|x<-M}，M为充分大的实数
  • 有界集·确界原理
    • 有界定义：设S为R中的一个数集，若存在数M（L），使得对一切x属于S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称 为S的一个上界（下界）
    • 确界
      • 上确界：
        • 这S是R中的一个数集,若数η满足 (ⅰ)对一切x属于S,有x≤η,即η是S的上界 (ⅱ)对任何α<η,存在 x。属于S，使得x。>α，即η又是S的最小上界 则称数η为数集S的上确界 记：η=supS
      • 下确界
        • 设S是R中的一个数集，若数ξ满足 （ⅰ）对一切x属于S，有x≥ξ，即ξ是S的下界 （ⅱ）对任何β>ξ,，存在x。属于S，使得x。<β,即ξ又是S的最大下界 则称数ξ为数集S的下确界 记：ξ=infS
    • 确界性质
      • 若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一的.又若数集S存在上 下确界,则有infS≤supS
      • 数集S的确界可能属于S，也可能不属于S
    • 确界原理
      • 设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界
    • 推广的确界原理
      • 任一非空数集必有上 下确界（正常的或非正常的）
• 函数概念
  • 特殊函数
    • 符号函数 sgnx=
      • 1 x>0
      • 0 x=0
      • -1 x<0
    • 狄利克雷 D（x）=
      • 1 当x为有理数
      • 0 当x为无理数
    • 黎曼函数 R(x)=
      • 0 当x=0，1和（0，1）内的无理数