导图社区 离散数学
这是一个关于离散数学的思维导图，主要包含命题逻辑、 一阶逻辑、二元关系和函数、集合的基本概念和运算等。
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命题逻辑
命题定义、5个联结词
公式的层次
公式类型
范式
简单析取式
简单合取式
极小项极大项
个数
成真赋值与成假赋值
等值判断
等值演算
主析取范式主合取范式
子主题
德摩根律
吸收律
蕴含等值式
等价等值式
假言易位
等价否定等值式
归谬论
理论推理
七个规则
直接推理
附加前提证明法
归谬法
一阶逻辑
概念
个体词
个体常项
个体变项
个体域
全总个体域
没有给出个体域时看做全总个体域
谓词
量词
全称量词
存在量词
一阶逻辑合式公式
指导变项
辖域
约束出现
自由出现
A（x）表示自由出现的公式
A中无自由出现的个体变项，则称封闭的合式公式，简称闭式
换名规则
解释I
非空个体域
个体常项符号的元素
函数变项符号的函数
谓词变项符号的谓词
设A为一谓词公式，A在任何解释下为真，则称为逻辑有效式，反之称矛盾式， 至少存在一个赋值为真时称可满足式
逻辑有效式是可满足式，反之不真
代换实例
命题公式替换谓词公式，命题逻辑替换一阶逻辑
重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式
一阶逻辑等值式
24个逻辑等值式
量词否定等值式
量词辖域收缩与扩张等值式
量词分配等值式
任意对合取的分配，存在对析取的分配，反之分配不成立
前束范式
利用换名规则以及上面三种等值式
有→时用换名规则
集合的基本概念和运算
集合
元素互异，无次序关系
含有n个元素的集合：n元集
m元子集
全体子集的集合：A的幂集，记作P（A）
全集
集合的基本运算
并集∪
交集∩
相对补-
A-B
绝对补～
E-A
对称差
文氏图
德摩根率
七个式子
集合中元素的计数
集合A有n个元素，就说集合的基数为n，card A＝n
有穷集
无穷集
描述集合
花名册法（列举法）
树
图
无向图/有向图
V非空有穷集合，顶点集
为空时图称为空图
n个顶点称n阶图
无边关联的顶点称孤立点
关联次数
E边集，无向边/有向边
没有边称零图
平凡图：一阶零图
度
入度
出度
度数为一的顶点为悬挂顶点 关联的边叫悬挂边
握手定理
无向图
平行边
重数
多重图
简单图
有环的都不属于
n阶无向完全图
子图
真子图
生成子图
相同顶点集
导出子图
补图
通路
简单通路：边不重复
初级通路：边和顶点都不相同
复杂通路：有边重复出现
连通图
弱连通图
单向连通图
强连通图
强连通图一定是单向连通图，单向连通图一定是弱连通图
矩阵
关联矩阵
有向
无向
邻接矩阵
可达矩阵
二元关系和函数
笛卡尔积
有序对
有序n元组
集合与空集的笛卡尔积是空集
对∪和∩运算满足分配律
n阶笛卡尔积
二元关系
概念：集合为空集或者元素都是有序对
记作xRy
空关系
全域关系E
恒等关系I
关系图、关系矩阵
关系的运算
定义域domR
值域ranR
域fldR
逆
合成
限制
像
关系的性质
对称性
反对称性
自反性
反自反性
传递性
关系的闭包
自反闭包r(S)
对称闭包s(R)
传递闭包t(R)
1、R’是自反/对称/传递的 2、A上任何包含A……
闭包的关系矩阵
等价关系和偏序关系
等价：自反，对称，传递
等价类
商集
由R诱导的划分
划分
等价关系是有序对的集合， 划分是子集的集合
等价关系与划分是一一对应的
偏序：自反，反对称，传递
偏序集
全序集
任意两个元素都可比的偏序集
哈斯图
最小元
最大元
可能存在也可能不存在，存在则唯一
极小元
极大元
一定存在甚至多个
上界
上确界
下界
下确界
