数量关系思维导图

这是一个关于数量关系思维导图的思维导图，导图精简且有助于知识点的理解与记忆，适用于考试复习！

数量关系

代入排除、整除特性、赋值法

代入排除

正面思考比较复杂+借助“给力”的选项

整除特性

y=ax/b，x是b的倍数，y是a的倍数

a、b是x的倍数，那么a+b、a-b也是x的倍数

纯整除问题，（即题目中有“整除”或“乘积”的明确字样），3、9的整除性质为最常见考察方式，是思考的首选方向

若一个数能被3、9整除，则该数的各位数字和也能被3、9整除

若一个数能被2或5、4或25、8或125整除，则该数的末位、末两位、末三位也能被2或5、4或25、8、125整除

赋值法

恒成立的等式关系

几何体

只有比例关系，没有具体数值

和差倍比与方程法

方程法

用方程法时机:题里能找到等式关系

尽可能的问什么设什么

不定方程

方法:整除、倍数、奇偶、尾数法等

和差倍比

工程问题

已知条件为时间、效率比、不同完工情况

已知条件给时间

设最小公倍数为工作总量，求效率

已知条件给效率比

直接拿来用，为效率赋值

已知条件给的是不同的完工情况

列方程

比例法运用

合作完工

“别管我在哪儿干，反正我没闲着”

工作总量/总效率=总用时

容斥问题

代入公式

总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分

保证每个人都被数一次，多的减掉少的加上

总人数-圈外=甲+乙+丙-2绿-1红

总人数-圈外=甲+乙+丙-1蓝-1黄

画图解决

溶液问题与十字交叉法

溶液问题

溶质=浓度×溶液

十字交叉法

浓度=溶质/溶液 平均分=总分/人数 增长率R=增长量/基期 合格率=合格产品/总产品

上述公式均为A=B/C型，可使用相同思路和方法解题

十字交叉法的实质与方程思想相同，只是跳过了列方程的步骤，直接解方程

十字交叉法求出来的比例为分母之比，即A=B/C的C之比

余数、平方数与等差数列

等差数列

An=A1+（n-1）d

Sn=(A1+An)×n=中间项×项数

余数问题

差同减差

除数、余数差相同，相减

余同加余

余数相同，相加

和同加同

除数，余数和相同，相加

经济利润问题

基础题型

售价=成本+利润

利润率=利润/成本

折扣=定价X折扣率

阶梯计费

不同段，不同的价格

分批销售

多数用收入列方程

经济利润之增长率、函数最值

增长率相关

比值增长率

乘积增长率

函数最值

做法固定，列出Y=(X+M)(N-X)

则X1=-M，X2=N

最值点为:X=（-M+N）/2

和定最值与最不利极限题

和定最值

和定:要分配的数量之和的确定的(说明最值、极限是在一定框架、范围内)

思路:A1+A2+A3……+An=总和

最值:问最少，其他要尽量大 问最大，其他要尽量小

最不利极限题

构造最点儿背的情况

其他极限思维

周期循环与日期星期问题

周期循环

一般都是求最小公倍数

日期星期问题

先按平年算(有几年推今天)+再修正(有n个2月29日就加n天)

平年，星期推一天，(365天/7)=52周+1天

闰年，星期推两天，(366天/7)=52周+2天

当同时包含闰年和平年时:通过是否包含是平年的2月还是闰年的2月判断推一天还是推两天

算多少天:先粗算+再修正(这个月过完了才算 哪怕最后一天也算没过完)+加上日期差

先粗算

再修正

加上日期差

利用休息日工作日确定星期

几何问题

平面几何

三角形

直角三角形

勾股数

3，4，5

5，12，13

6，8，10

S=1/2Lh

正三角形

S=√3/4a²

四边形

矩形

长X宽

平行四边形

底×高

梯形

(上底+下底)×高/2

圆

l=2πr

S=πr²

弧

S=nº/360ºπr²

弧长/周长×πr²

六边形

S=√3/4a²×6

立体几何

柱体

V=Sh

椎体

V=1/3×Sh

球

V=4/3πR³

几何最值、最短路径与等比放缩

几何最值

周长一定，越接近圆，面积越大(记忆小技巧:用绳子捆柴，捆成圆形时捆的最多，此时面积最大)；反之，面积一定，最接近圆，周长越小

表面积一定，越接近球，体积越大(记忆小技巧:用一块布包裹杂物，包裹成个球，装的东西才最多)；反之，体积一定，越接近球，表面积越小

最短路径

“两点之间线段距离最短”

常见解法为“做对称点，连接两点，线段即为最短距离”

特别注意:两个点中间有圆形的最短距离，是先做切线，再走弧，再走切线最短

等比缩放

若边长(包括半径)为n倍，则周长也为n倍 面积为n²倍，体积为n³倍

行程问题

基础行程

S=Vt

V=S/t

T=S/V

比例法运用

比例关系+具体数值

相遇追及问题

相遇:S=(V₁+V₂)t

追击:△S=△V×t

流水问题

V顺=V船+V水

V逆=V船-V水

趣味杂题

牛吃草问题

将牛分成两类，吃掉每日生长草的称之白吃牛，一直在吃原有草的称之干活牛

第一步:白吃牛=每日草生长量=(时间×牛数-时间×牛数）/时间差(注意时间大的在前)

第二步:草场原有草量=干活牛×时间=(牛数-白吃牛)×时间

第三步:问时间，则时间=原有草÷干活牛；问牛数，则牛数=原有草÷时间+白吃牛

鸡兔同笼

数小的量=(理论最大值-实际值）÷分配标准差=(最大值-实际值）÷单个差

方阵问题、植树问题

两段植树，植树总棵树=路长÷间隔+1

一端植树或环形植树，植树总棵树=路长÷间隔+0

两端不植树，植树总棵树=路长÷间隔-1

易错点为，道路两侧植树时，求出单侧植树棵树后容易忘记乘2

基础排列组合

基础排列组合

有序为排列(A)，无序为组合(C)

分类用加法，分步用乘法

分情况讨论

从特殊入手，全部减不符(至少、否定)

反面思想

基础概率问题

所求概率=符合要求的情况数/所有的可能情况数(相当于排列组合算两遍)

符合分步用乘法

分情况讨论与全部减不符

分布用加法，分步用乘法(与排列组合相同)

排列组合之相邻与不相邻问题

相邻问题

相邻问题用捆绑法

元素的总量要发生变化

内部排序

不相邻问题

不相邻问题用插空

先把没要求的排好(需要注意是否需要排序)

排列组合之定序与相同元素分配

定序问题

指的是顺序一定或者没有顺序

首先，不考虑顺序全排列

其次，有N个元素顺序一定，除以Aⁿ

相同元素分配

插板法

前提是n个相同元素，每人至少1个或每人至少m个或没要求

至少一个:直接插板法

至少n个:总量减

至少0个:总量加

排列组合之平均分堆、环形、错位与重复排列

错位排序

1、2、3、4、5个元素的错位排序共有0、1、2、9、44种情况

环形排列

n个元素环形排列，共有Aⁿ⁻¹种排列方式

重复排列

重复排列问题各个元素之间互不干扰，若每个元素有n种选择，则m个元素共有nᵐ种选择

平均分堆

平均分堆需要注意之后是否有顺序，若只是单纯分堆，需要把人为产生的顺序除掉，有n堆数量相等除去Ann

若后续有顺序，可将“平均分n堆”，“再为n堆有顺序的选择”两步合并，直接有顺序的选择元素即可

概率之二人同组与比赛概率

二人同组

先让一人任意选位，再考虑另一人与其同组的概率即可

比赛概率

比赛注意输的那场在哪儿

统筹分配

时间统筹

费用统筹

策略统筹

考场蒙猜技巧

可秒杀题型

比赛轮次问题

将人数写成2的n次方形式，向上取整

天平称假硬币问题

将硬币总数写成3的n次方形式，向上取整

容斥+最值问题

反向思考，使不符合的尽量不重合

几何计算问题

选项代入计算，直尺称量

不靠谱

问最大，选次大；问最大，选最小

选项有倍数关系，选倍数