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数量关系
代入排除、整除特性、赋值法
代入排除
正面思考比较复杂+借助“给力”的选项
整除特性
y=ax/b，x是b的倍数，y是a的倍数
a、b是x的倍数，那么a+b、a-b也是x的倍数
纯整除问题，（即题目中有“整除”或“乘积”的明确字样），3、9的整除性质为最常见考察方式，是思考的首选方向
若一个数能被3、9整除，则该数的各位数字和也能被3、9整除
若一个数能被2或5、4或25、8或125整除，则该数的末位、末两位、末三位也能被2或5、4或25、8、125整除
赋值法
恒成立的等式关系
几何体
只有比例关系，没有具体数值
和差倍比与方程法
方程法
用方程法时机:题里能找到等式关系
尽可能的问什么设什么
不定方程
方法:整除、倍数、奇偶、尾数法等
和差倍比
工程问题
已知条件为时间、效率比、不同完工情况
已知条件给时间
设最小公倍数为工作总量，求效率
已知条件给效率比
直接拿来用，为效率赋值
已知条件给的是不同的完工情况
列方程
比例法运用
合作完工
“别管我在哪儿干，反正我没闲着”
工作总量/总效率=总用时
容斥问题
代入公式
总人数-圈外=圈内总人数=总人次-重复部分
保证每个人都被数一次，多的减掉少的加上
总人数-圈外=甲+乙+丙-2绿-1红
总人数-圈外=甲+乙+丙-1蓝-1黄
画图解决
溶液问题与十字交叉法
溶液问题
溶质=浓度×溶液
十字交叉法
浓度=溶质/溶液 平均分=总分/人数 增长率R=增长量/基期 合格率=合格产品/总产品
上述公式均为A=B/C型，可使用相同思路和方法解题
十字交叉法的实质与方程思想相同，只是跳过了列方程的步骤，直接解方程
十字交叉法求出来的比例为分母之比，即A=B/C的C之比
余数、平方数与等差数列
等差数列
An=A1+（n-1）d
Sn=(A1+An)×n=中间项×项数
余数问题
差同减差
除数、余数差相同，相减
余同加余
余数相同，相加
和同加同
除数，余数和相同，相加
经济利润问题
基础题型
售价=成本+利润
利润率=利润/成本
折扣=定价X折扣率
阶梯计费
不同段，不同的价格
分批销售
多数用收入列方程
经济利润之增长率、函数最值
增长率相关
比值增长率
乘积增长率
函数最值
做法固定，列出Y=(X+M)(N-X)
则X1=-M，X2=N
最值点为:X=（-M+N）/2
和定最值与最不利极限题
和定最值
和定:要分配的数量之和的确定的(说明最值、极限是在一定框架、范围内)
思路:A1+A2+A3……+An=总和
最值:问最少，其他要尽量大 问最大，其他要尽量小
最不利极限题
构造最点儿背的情况
其他极限思维
周期循环与日期星期问题
周期循环
一般都是求最小公倍数
日期星期问题
先按平年算(有几年推今天)+再修正(有n个2月29日就加n天)
平年，星期推一天，(365天/7)=52周+1天
闰年，星期推两天，(366天/7)=52周+2天
当同时包含闰年和平年时:通过是否包含是平年的2月还是闰年的2月判断推一天还是推两天
算多少天:先粗算+再修正(这个月过完了才算 哪怕最后一天也算没过完)+加上日期差
先粗算
再修正
加上日期差
利用休息日工作日确定星期
几何问题
平面几何
三角形
直角三角形
勾股数
3，4，5
5，12，13
6，8，10
S=1/2Lh
正三角形
S=√3/4a²
四边形
矩形
长X宽
平行四边形
底×高
梯形
(上底+下底)×高/2
圆
l=2πr
S=πr²
弧
S=nº/360ºπr²
弧长/周长×πr²
六边形
S=√3/4a²×6
立体几何
柱体
V=Sh
椎体
V=1/3×Sh
球
V=4/3πR³
几何最值、最短路径与等比放缩
几何最值
周长一定，越接近圆，面积越大(记忆小技巧:用绳子捆柴，捆成圆形时捆的最多，此时面积最大)；反之，面积一定，最接近圆，周长越小
表面积一定，越接近球，体积越大(记忆小技巧:用一块布包裹杂物，包裹成个球，装的东西才最多)；反之，体积一定，越接近球，表面积越小
最短路径
“两点之间线段距离最短”
常见解法为“做对称点，连接两点，线段即为最短距离”
特别注意:两个点中间有圆形的最短距离，是先做切线，再走弧，再走切线最短
等比缩放
若边长(包括半径)为n倍，则周长也为n倍 面积为n²倍，体积为n³倍
行程问题
基础行程
S=Vt
V=S/t
T=S/V
比例关系+具体数值
相遇追及问题
相遇:S=(V₁+V₂)t
追击:△S=△V×t
流水问题
V顺=V船+V水
V逆=V船-V水
趣味杂题
牛吃草问题
将牛分成两类，吃掉每日生长草的称之白吃牛，一直在吃原有草的称之干活牛
第一步:白吃牛=每日草生长量=(时间×牛数-时间×牛数）/时间差(注意时间大的在前)
第二步:草场原有草量=干活牛×时间=(牛数-白吃牛)×时间
第三步:问时间，则时间=原有草÷干活牛；问牛数，则牛数=原有草÷时间+白吃牛
鸡兔同笼
数小的量=(理论最大值-实际值）÷分配标准差=(最大值-实际值）÷单个差
方阵问题、植树问题
两段植树，植树总棵树=路长÷间隔+1
一端植树或环形植树，植树总棵树=路长÷间隔+0
两端不植树，植树总棵树=路长÷间隔-1
易错点为，道路两侧植树时，求出单侧植树棵树后容易忘记乘2
基础排列组合
有序为排列(A)，无序为组合(C)
分类用加法，分步用乘法
分情况讨论
从特殊入手，全部减不符(至少、否定)
反面思想
基础概率问题
所求概率=符合要求的情况数/所有的可能情况数(相当于排列组合算两遍)
符合分步用乘法
分情况讨论与全部减不符
分布用加法，分步用乘法(与排列组合相同)
排列组合之相邻与不相邻问题
相邻问题
相邻问题用捆绑法
元素的总量要发生变化
内部排序
不相邻问题
不相邻问题用插空
先把没要求的排好(需要注意是否需要排序)
排列组合之定序与相同元素分配
定序问题
指的是顺序一定或者没有顺序
首先，不考虑顺序全排列
其次，有N个元素顺序一定，除以Aⁿ
相同元素分配
插板法
前提是n个相同元素，每人至少1个或每人至少m个或没要求
至少一个:直接插板法
至少n个:总量减
至少0个:总量加
排列组合之平均分堆、环形、错位与重复排列
错位排序
1、2、3、4、5个元素的错位排序共有0、1、2、9、44种情况
环形排列
n个元素环形排列，共有Aⁿ⁻¹种排列方式
重复排列
重复排列问题各个元素之间互不干扰，若每个元素有n种选择，则m个元素共有nᵐ种选择
平均分堆
平均分堆需要注意之后是否有顺序，若只是单纯分堆，需要把人为产生的顺序除掉，有n堆数量相等除去Ann
若后续有顺序，可将“平均分n堆”，“再为n堆有顺序的选择”两步合并，直接有顺序的选择元素即可
概率之二人同组与比赛概率
二人同组
先让一人任意选位，再考虑另一人与其同组的概率即可
比赛概率
比赛注意输的那场在哪儿
统筹分配
时间统筹
费用统筹
策略统筹
考场蒙猜技巧
可秒杀题型
比赛轮次问题
将人数写成2的n次方形式，向上取整
天平称假硬币问题
将硬币总数写成3的n次方形式，向上取整
容斥+最值问题
反向思考，使不符合的尽量不重合
几何计算问题
选项代入计算，直尺称量
不靠谱
问最大，选次大；问最大，选最小
选项有倍数关系，选倍数
