函数、方程与不等式

这是一篇关于函数、方程与不等式的思维导图，主要内容包括：方程与不等式，函数与不等式，函数与方程，规律，函数的零点。将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，希望对大家有所帮助！

函数、方程与不等式

• 函数的零点
  • 定义
    • 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
  • 意义
    • 函数的零点Û方程的根Û函数图象与轴的交点的横坐标
    • 函数y=f(x)有零点Û方程f(x)=0有实数解Û函数y=f(x)的图象与x轴有公共点
      • 函数y=f(x)-g(x)有零点Û方程f(x)=g(x)有实数解Û函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象有公共点
  • 函数零点存在定理
    • 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点，即存在cÎ（a,b），使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解
      • 易错点
        • （1）函数图象在零点附近是连续不断的
        • （2）零点个数是不确定的，至少有一个
        • （3）f(x)在区间（a,b）内有零点
    • 图示
  • 零点与极值点
    • 函数y=f(x)的极值点就是其导函数的零点，但是导函数的零点不一定是原函数的极值点
      • 具体内容见导数章节
        • 隐零点问题
• 函数与方程
  • 交点法
    • 将问题进行转化是核心所在
    • • 两个函数交点个数等于方程的解的个数，交点的横坐标就是方程的解
  • 二分法
    • 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法
  • 方程的解与函数图象上的点
    • • 方程a+b=1的解（a,b）可以看做直线x+y=1上的动点
        • 可以看做直线与抛物线的交点
• 函数与不等式
  • f(x)>0的几何意义就是函数y=f(x)的图象在x轴以上部分所对应的x的取值范围
    • • • 解集为
  • f(x)<0的几何意义就是函数y=f(x)的图象在x轴以下部分所对应的x的取值范围
    • • • 解集为
  • f(x)>g(x)的几何意义就是在函数y=g(x)的图象上方的f(x)的图象所对应的x的取值范围
    • • 的图象如图所示
• 方程与不等式
  • 不等式解集的端点往往就是所对应方程的解
    • 利用函数图象解不等式的关键步骤之一就是求对应方程的根
  • 穿根引线法
    • 最高次系数为正
    • （1）求对应方程的根
      • （2）画图
        • 从右上角开始，遵循“奇穿偶不穿”的原则
        • （3）写解集
    • 例如解不等式
      • 求对应方程的根
        • x=-3、x=-1、x=1、x=2(重根)
      • 画图
        • 写解集（因为是大于0，所以取x轴以上的部分）
          • x=2不符合不等式
• 规律
  • 易错点
    • 手绘图形往往是不准确的，因此利用函数图象解题的时候，一定要数形结合，不能少了计算
    • 分段函数的零点在求解的时候特别要注意取舍问题
    • 通过解方程求出的函数零点一定要符合函数的定义域，不符合定义域要求的必须舍去
  • 与函数零点有关的题型
    • 求零点个数
      • 解方程
        • 针对可以进行解方程的题型
      • 画图
        • 对于那些不能解出的方程，转化为函数图象的交点问题
    • 求零点的值
      • 解方程
        • 一些方程没有很好的方法，但是可以猜测，进而证明
    • 求零点所在区间
      • 零点存在定理
        • 对于端点值不存在的情况，应该估算