导图社区 信号与系统～考研～奥本海姆
- 109
- 0
- 0
- 举报
信号与系统～考研～奥本海姆
858奥本海姆版本信号与系统总结，易于理解，能够帮助考生快速掌握复杂的概念和方法，是考生备考的重要资料之一。
编辑于2024-09-19 20:31:46- 信号与系统
- 奥本海姆
- 858
- 相似推荐
- 大纲
信号与系统
信号和系统
连续时间信号和离散时间信号
基本概念
信号的能量与功率
总能量
连续，公式1.6
离散，公式1.7
平均功率
连续，公式1.8
离散，公式1.9
功率信号
平均功率有限，总能量无限
能量信号
平均功率为零，总能量有限
自变量的变换
自变量的变换
时移
时间反转
时间尺度变换
结合例1.1理解变换的具体过程，考试会画图
周期信号
连续，离散分别对应基波周期，T,N
详细的求解方法可以看后面的离散时间复指数序列的周期性质的分析
偶信号，奇信号
任何信号可以化为偶信号和奇信号的求和
偶部求解：式子1.18
奇部求解：式子1.19
复指数信号与正弦信号
连续时间复指数信号与正弦信号
连续时间复指数信号
式子1.20
连续时间实指数信号
式子1.20中的C和a为实数即可
正弦信号
正弦信号表达式
式子1.25
基波周期为：T=2π/|w0|
基波频率就是：w0
欧拉关系
式子1.26
正弦信号和复指数信号的关系
式子1.28，1.29
周期信号的平均功率求解，直接求一个周期内的平均功率即可
式子1.32
谐波关系
成谐波关系的复指数信号的集合表示
式子1.36
一般复指数信号
了解一下p13
离散时间复指数信号与正弦信号
离散时间复指数
式子1.44，1.45(1.44更加实用)
离散时间实指数
即C和a都是实数，对应的图像表示可以看图1.24
离散的正弦（余弦）信号
表达式
式子1.47
离散复指数和正弦信号的关系
式子1.48，1.49
一般的复指数信号
p16
⭐离散时间复指数序列的周期性质
相较于连续的复指数信号，离散指数信号的w和w±2kπ是完全一样的（所以我们只用考虑0~2π区间就可以）
观察图1.27: 信号的频率随着w0由0增大到π震荡速率提升 w0由π增大到2π震荡速率下降
离散时间复指数序列的周期性质
式子1.53~1.56推导相应的周期应该是多少
基波周期的表达为式子1.57or1.58
⭐重要的前提是w0/2π必须得是有理数，否则周期不存在
可看表1.1可以对比离散时间复指数序列周期和连读时间复指数序列周期
离散和连续对应的谐波区别
式子1.60~1.62
说明离散的时候，由于其有N的基波周期（满足式子1.60）所以给出的谐波只是由N个互不相同周期复指数信号构成的
单位冲激函数与单位阶跃信号
离散时间的
单位脉冲
式子1.63
单位阶跃
式子1.64
两者的联系
阶跃☞脉冲
一次查分1.65
脉冲☞阶跃
求和函数1.66
⭐另一种等效求和形式1.67
连续时间的
单位脉冲
单位阶跃
式子1.70
两者的联系
阶跃☞脉冲
一次微分1.72
脉冲☞阶跃
积分函数1.71
⭐另一种等效积分形式1.75
连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统
离散时间系统
系统互联
串联
级联
基本的系统性质
有无记忆
可不可逆
因果性
稳定性
时变与时不变
线性与非线性
线性时不变系统
离散时间线性时不变系统：卷积和
一般离散时间信号可用延迟冲激函数的线性组合表示
表达式子2.2
单位脉冲序列的筛选性质（仅在k=n时对应为非零）
卷积和的运算
计算表达式2.6
符号表达式2.7
图解2.2
连续时间线性时不变系统：卷积积分
一般连续时间信号可用延迟冲激的线性组合表示
表达式子2.27
连续时间脉冲函数的筛选性质
卷积积分的运算
计算表达式2.33
符号表达式2.34
线性时不变系统的性质
输入输出关系
离散：式子2.39
连续：式子2.40
交换律
卷积运算满足交换率
分配律
式子2.46，2.47卷积可以在相加项上进行分配
图示2.23可以形象说明
结合律
式子2.58，2.59
图2.25可以生动说明
有记忆与无记忆
任何时刻的输出仅与同一时刻的输入值有关
对应离散时间的无记忆系统满足式子2.62
对应连续时间的无记忆系统满足式子2.65
可逆性
连续对应的原系统和逆系统相乘为deta(t)，见2.66
离散对应的原系统和逆系统相乘为deta[n]，见2.67
框图表达为图2.26
因果性
输出只取决于现在和过去的输入值
离散对应的冲激响应满足式子2.77
连续对应的冲激响应满足式子2.80
线性系统中，初始松弛条件=线性系统因果
稳定性
离散绝对可和，式子2.86
连续绝对可积，式子2.87
单位阶跃响应
见上一章的 单位冲激函数与单位阶跃信号
用微分方程and差分方程描述因果线性时不变系统（简化）
连续
线性常系数微分方程
离散
线性常系数差分方程
方框图表示
周期信号的傅里叶级数
线性时不变系统对复指数信号的响应 p113（必须理解）
注：这部分十分重要，基本串联了全书的内容
特征函数
特征值
连续时间系统对复指数响应的最一般表达☞公式3.5，公式3.6
引申到第9章☞拉普拉斯变换
离散时间系统对复指数响应的最一般表达☞公式3.9，公式3.10
引申到第10章☞z变换
输入为连续复指数信号的有限叠加
公式3.14
输入为离散复指数信号的有限叠加
公式3.16
公式3.16与公式3.17之间的段落，统领了全书，十分重要
周期信号可以被复指数的线性组合表示
在只考虑s=jw，z为单位振幅时 （傅里叶分析仅考虑这些）
离散，周期
离散周期信号傅里叶级数（DFS）
截取一个周期 两个域有限长
DFT
连续，周期
连续周期信号傅里叶级数（FS或称为CTFS）
推广：一般信号也可以被复指数的线性组合表示
在只考虑s=jw，z为单位振幅时 （傅里叶分析仅考虑这些）
离散一般信号
离散时间信号傅里叶变换（DTFT）
连续一般信号
连续时间傅里叶变换（FT或称为CTFT）
一般情况（s不一定为纯虚数，z不一定为单位振幅）
离散
z变换
连续
拉普拉斯变换
连续时间周期信号的傅里叶级数（FS或称CTFS）
原理推导（理解）
谐波关系表达式3·24
基波分量
n次谐波分量
例题3.2
把116页~118页看一下
表达式
课本p120
收敛条件
狄利克雷条件
条件一：绝对可积
条件二： 最大值，最小值个数有限
条件三：有限个不连续点
了解吉伯斯现象
连续时间傅里叶级数的性质
线性
时移性质
时间反转
时域尺度变换
时域相乘
共轭与共轭对称
能量：帕塞瓦尔
补充：记忆p130的表
离散时间周期信号的傅里叶级数（DFS）
原理推导
p133成谐波关系的复指数信号的线性组合（理解）
表达式
课本p135
不用判别收敛
由表达式可知，ak一定收敛（有限项有限值的数列求和，一定是个有限值）
这里不存在任何收敛问题，也没有吉伯斯现象
理解一下公式3.107下面的那段话
离散时间傅里叶级数的性质
课本p140的表记住
傅列级数与线性时不变系统
连续系统
频率响应H
3.121
连续时间周期傅里叶级数对应的输入输出关系
周期连续输入
3.123
连续输出
3.124
离散系统
频率响应
3.122
离散时间周期傅里叶级数对应的输入输出关系
周期离散输入
3.131上面那个式子
离散输出
3.131
滤波器
低通滤波器
高通滤波器
带通滤波器
连续时间傅里叶变换
引言很妙妙，阐述了一般的非周期连续信号信号是怎么由周期连续信号得到的
非周期信号的表示（理解）
通过给出的例子，了解如何建立非周期信号的傅里叶变换
变换对表达式
公式4.8，公式4.9
收敛条件
狄利克雷条件
条件一：绝对可积
条件二： 最大值，最小值个数有限
条件三：有限个不连续点
典型傅里叶变换的推导p184~p187
掌握利用基本的傅里叶变换表达式推变换对的能力
周期信号的傅里叶变换
p186得到结论：例4.6上面一段
连续时间傅里叶变换的性质
线性
时移性
共轭与共轭对称
傅里叶变换的实部是频率的偶函数，虚部是频率的奇函数（例4.10上面的对应关系）
微分和积分性质
可以用来于特殊信号变换对的求解
尺度变换性质
特殊情况：时间上反转，频域也反转
对偶性质
为了利用已有的变换对，方便计算
能量：帕塞瓦尔定理
时域卷积性质
时域相乘性质（幅度调制，调制性质）
着重记忆：p208变换性质，p209变换对
傅里叶变换与线性系统
公式4.76
连续时间信号的采样与恢复
采样定理
描述：如果一个信号是带限的，如果它的样本取得足够密，这些样本就可以唯一地表征这个信号
冲激串采样
基本参量
采样函数
一个周期冲激串
采样周期T
采样频率ws=2π/T
时域表达式
式子7.1
时频域关系
时域相当于输入信号和间隔为T的冲激串函数相乘，把对应的冲激发生的点处的值采出来
频域对应输入函数频谱和冲激串函数的频谱相卷积，把原频谱和平移k·ws之后的频谱图像相叠加（平移相加）
采样定理
ws＞2wm时
过采样
频谱不会发生混叠
完全可以用一个低通滤波器从采样信号恢复原信号
we=2wm时
临界采样
2wm的临界称为奈奎斯特速率
we＜2wm时
欠采样
频谱发生混叠
无法简单的用一个低通滤波器实现样本值对原信号的完全恢复
恢复方法
直接加低通滤波器，不用很标准，只要能滤出来就可以
见p334
零阶保持采样
产生原因:冲激函数在现实中很难实现，只能用矩形波来近似
原理：对给定的瞬间进行采样之后，保持这一样本值，直到下一个样本值被采到为止
实现方法：在原本的冲激串采样之后，跟上具有矩形单位冲激响应H0(表达式见式子7.7）
见图7.6
恢复原信号方法
经过一个线性时不变系统Hr（表达式见式子7.8）
整体见图 7.7
建议阅读p334~p336
z变换
引言
对离散时间傅里叶变换的一种推广
可以对于不稳定系统进行分析，同时增加了对于稳定的离散线性时不变系统分析的另一种角度
拉普拉斯变化和z变化的关系，类似于连续时间傅里变换和离散时间傅里叶变换
z变换的基本概念
10.1~10.2说明其来自于第三章，DT LTI对于复指数输入的响应
表达式
式子10.3
符号表示
式子10.4
z变换和拉普拉斯变换的关系
10.5为桥梁，即复变量可以有这两种表达方式
需要注意的是，在式子10.5中，r=1或者说z是单位长度的时候，拉普拉斯变换和z变换就退化成了傅里叶变换
在收敛域上的关系
z变换的单位圆十分类似于拉普拉斯变换里面的虚轴
拉普拉斯变换收敛域包含jw轴，z变换收敛域包含单位圆，的时候，对应傅里叶变换收敛
可看b站视频【拉氏变换s平面->z变换z平面可视化效果（s-plane to z-plane）-哔哩哔哩】 https://b23.tv/BHUjXDx
有理性
只要x[n]是实指数或复指数的线性组合，X(z)就为有理的
所以大部分输入的离散x[n]都是对应有理的z变换
零点与极点
零点
分子多项式的根
用o表示
多个零点出现在同一个s处的次数，代表其对应的阶数
无限远零点
分母多项式的阶次高于分子的
分母阶数超过分子k次，对应无限远处为k阶零点
极点
分母多项式的根
用x表示
多个极点出现在同一个s处的次数，代表其对应的阶数
无限远极点
分子多项式的阶次高于分母的
分子阶数超过分母k次，对应无限远处为k阶极点
能熟悉画出零-极点图
z变换的收敛域
性质一
收敛域为以原点为中心的圆环
性质二
收敛域内不包含极点
性质三
有限长序列（时限信号）收敛域为整个平面（可能去掉 z=0，z=无穷）
性质四
右边序列（某个n值以前为0），对应的收敛域是一个圆外面的所有区域
一般右边序列的收敛域不包含无限远点，但是对于因果序列，其收敛域一定包含无限远点
性质五
左边序列（某个n值之后为0），对应的收敛域为一个圆之内
一般的左边序列，收敛域不包含z=0，但是对于反因果序列，就包含z=0
性质六
双边序列，存在某圆在收敛域内，收敛域就是包含这个圆的圆环
性质七
有理的z变换，收敛域被极点界定或者延伸到无穷远
性质八
右边信号的收敛域在最外层极点对应圆的外面，对于因果序列，收敛域包含无穷
性质九
左边信号的收敛域在最小模值极点圆里面，多应反因果序列，收敛域包含z=0
z逆变换
表达式
公式10.41
常用方法
公式法
不建议使用，考试代会很不好算
部分分式展开法
例题9.10，对应分别求z变换即可
注意记得将收敛域取交集作为最后的收敛域
长除法
例10.13
利用题中对多项式取除法的方法，将原本的分式形式化简为基本的多项式形式，然后再利用基本的变换对进行求解
零极点图对傅里叶变换进行几何求值
不是重点，考纲上没有
z变换的性质
线性性质
时移性质
z域尺度变换
时间反转性质
时间扩展性质
共轭性质
卷积性质
z域微分性质
初值定理
熟记p495的性质表
常用的z变换对
p496
利用z变换分析与表征线性时不变系统
因果性
收敛域在某个圆的外面➕包含无穷远点
收敛域位于最外面极点对应圆的外面➕H(z)分子的阶次不可以高于分母的阶次(即相当于包含无穷远点的这个条件)
稳定性
收敛域包含单位圆时对应为稳定的
对于有理系统函数的因果线性时不变系统（收敛域为一个圆的外面，所以要想包含单位圆，这个边界圆得在单位圆里面），要求所有极点在单位圆内，系统才稳定
由线性常系数差分方程表征的线性时不变系统
可以看一下例题10.25，后面还有很多这个类型的题，这个是考点
系统函数的方框图表示
级联（串联）
h[n] 相卷
H(z)相乘
并联
h[n]相加
H(z)相加
入门：看例题10.18，注意H(z)和最终的框图之间的关系， 注意(a)(b)两种表示方式
多种等价表示方法
直接型
图中出现的系数直接由等效微分方程的系数来确定，见图10.20（a）
重点掌握直接型的画法，因为直接由H(z)得到比较快
观察表达式10.121和图10.21的关系
级联型
多个基础部分级联而成，见图10.20（b）
并联型
多个基础部分并联而成，见图10.20（c）
单边z变换
单边z变换的定义
定义式
10.125
符号表示
10.126
结论
n＜0时不同，n>=0时相同的两个信号，有着不同的双边z变换，但有着相同的单边z变换
单边z变换的收敛域一定是某个右半平面
对于n<0时，输入为0的因果线性时不变系统，系统函数既是单位冲击响应的双边z变换，也是单边z变换
单边z变换和单边z逆变换的举例
p506~p508
单边z变换的性质
见p508，表10.3
用单边z变换求解差分方程
类比于p460单边拉普拉斯变换求解微分方程，那页懂了，p510的单边z变换解系统就是“一模一样”，只不过这里不是连续的，所以解的是差分方程
补充：描述DT LTI系统的方法
零极点图
差分方程
方框图
h[n]
H(z)
H(e的jw次方)
这对应的是DTFT的内容
拉普拉斯变换
引言
相当广泛的信号可以用周期复指数信号的线性组合表示
拉普拉斯变换不局限于纯虚数，是对傅里叶变换的推广
拉普拉斯变换为可以进行傅里叶变换的系统提供了另一个分析角度，同时可以对不稳定的系统进行分析
【【拉普拉斯变换】这样理解才直观-哔哩哔哩】 https://b23.tv/22aU8Eb
拉普拉斯变换
由第三章引入，式9.1，式9.2
拉普拉斯变换的定义式
式9.3
再次说明拉普拉斯变换和傅里叶变换的区别（式9.4~式9.8）
x（t）的拉普拉斯变换可以看做x（t） 乘一个实指数信号之后的傅里叶变换
什么是收敛域
举例说明什么是拉普拉斯变换的收敛域（式9.9~式9.19）
收敛域的表示
图9.1
什么是有理的拉普拉斯变换
p420最下面：只要x（t）是实指数或复指数信号的线性组合，X（s）就一定是有理的（所以大部分x（t）基本都是有理的）
零点与极点
零点
分子多项式的根
用o表示
多个零点出现在同一个s处的次数，代表其对应的阶数
无限远零点
分母多项式的阶次高于分子的
分母阶数超过分子k次，对应无限远处为k阶零点
极点
分母多项式的根
用x表示
多个极点出现在同一个s处的次数，代表其对应的阶数
无限远极点
分子多项式的阶次高于分母的
分子阶数超过分母k次，对应无限远处为k阶极点
能熟悉画出零-极点图
拉普拉斯的收敛域
性质1
收敛域平行于jw轴
性质2
有理拉普拉斯收敛域不包含极点
性质3
时域有限持续时间且绝对可积☞收敛域为整个s平面
性质4
时域右边信号，收敛域内的线的右边一定还在收敛域内
性质5
时域左边信号，收敛域内的线的左边一定还在收敛域内
性质6
双边信号可以看作左边信号和右边信号的结合，存在线在收敛域内，说明存在收敛域，即向左的收敛区间和向右的收敛区间是有交集的
性质7
有理拉普拉斯变换的收敛域只由极点界定或者延伸到无限远
性质8
有理拉普拉斯变换，右边信号极点在最右边极点的右边 左边信号极点在最左边极点的左边
拉普拉斯逆变换基本概念
公式9.56
了解由傅里叶逆变换推导拉普拉斯逆变换的方法，9.53~9.56
其对应的积分路径为满足实部RS{s}=σ的全部s构成的直线（这条直线平行于jw轴）
采用部分分式展开法更常用
直接看例题9.9
9.58~9.62就是对应的部分分式展开， 展开后分别利用已知的变换对求逆变换，再求和（9.63~9.65）
由零极点对傅里叶变换进行几何求值
傅里叶变换的本质就是拉普拉斯变换在jw轴上求值
式子9.70上面的一段说明拉普拉斯变换的表达式是如何和零极点图对应的 （对应求解点和零点，极点作差构成的向量）
由例题9.12可知，对应与傅里叶变换，同样是待求点和零极点构成的向量组成表达式， 只不过这个时候要求，待求的点都在jw轴上
后面的一阶系统和二阶系统不知道考不考，当时没讲
特殊的系统
全通系统
信号经过全通系统后幅值不发生变化
零极点关于jw轴对称
最小相位系统
再给定的幅度响应下，具有最小的相位延迟（相同的幅度下，相位绝对值最小）
因果系统➕所有的零极点都在s域的左平面（包含jw轴）
因果的LTI系统可以被全通系统和最小相位系统的级联表示
拉普拉斯变换的性质
线性性质
时移性质
s域平移性质
时域尺度变换
共轭性质
卷积性质
时域微分性质
s域微分性质
时域积分性质
初值定理和终值定理
熟记p441性质列表
常用的拉普拉斯变换对
p442 表9.2
拉普拉斯变换和线性时不变系统
表达式 9.112，系统函数（传递函数）
因果性
因果
H(s)收敛域是某个右半平面
H(s)收敛域位于最右边极点的右边
对于因果信号的其他描述
只取决于现在及以前的输入
系统的冲激响应h（t）对应为右边信号（t＜0时，h（t）=0）
注：右边信号不一定是因果信号
反因果
H(s)的收敛域是某个左边平面
H(s)收敛域位于最左边极点的左边
系统的冲激响应h（t）对应为左边信号（t＞0时，h（t）=0）
稳定性
输入有界则输出有界
h(t)绝对可积
H(s)收敛域包含jw轴，即Rs{s}=0时，线性时不变系统是稳定的
Special：对于因果系统，因为其收敛域要在最右边极点的右边，所以为了让其稳定，所有极点必须得有负实部
线性系数微分方程表征的线性时不变系统
考试常考根据已知的线性常系数微分方程求对应的系统函数H(s)
例题9.23，9.24十分经典
系统函数与系统特性的关系
例9.25~9.27很重要的好例题
系统函数的方框图表示
级联（串联）
h(t) 相卷
H(s)相乘
并联
h(t)相加
H(s)相加
入门：看例题9.28，注意H(s)和最终的框图之间的关系， 注意(a)(b)两种表示方式
多种等价表示方法
直接型
图中出现的系数直接由等效微分方程的系数来确定，见图9.34（a）
重点掌握直接型的画法，因为直接由H(s)得到比较快
观察表达式9.167和图9.53的关系
级联型
多个基础部分级联而成，见图9.34（b）
并联型
多个基础部分并联而成，见图9.34（c）
单边拉普拉斯变换
单边拉普拉斯变换的定义
定义式
9.170
符号表示
9.171
结论
t＜0时不同，t>=0时相同的两个信号，有着不同的双边拉普拉斯变换，但有着相同的单边拉普拉斯变换
单边拉普拉斯变换的收敛域一定是某个右半平面
对于t<0时，输入为0的因果线性时不变系统，系统函数既是单位冲击响应的双边拉普拉斯变换，也是单边拉普拉斯变换
单边拉普拉斯变换的举例
p457-p458
单边拉普拉斯变换的性质
熟记表9.3
利用单边拉普拉斯变换求解微分方程
总的响应
零状态响应
初始条件为0时（初始松弛条件下）的系统响应
零输入响应
输入为0时的系统响应
零输入响应是初始条件的线性函数
着重分析例题9.38
补充: 描述CT LTI系统的方法
零极点图
微分方程
方框图
h(t)
H(s)
H(jw)