MATLAB 专题五 数据分析与多项式计算

专题五 数据分析与多项式计算，无论是对于初学者还是有一定经验的MATLAB用户，这一专题都将成为他们提升数据处理与分析能力的重要途径。

专题五 数据分析与多项式计算

• 5.1 数据统计分析
  • 求最大元素与最小元素
    • 1. 求矩阵的最大元素
      • max()： 求向量或矩阵的最大元素
        • 当参数为向量时，上述函数有两种调用格式： （1）y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值 （2）[y,k]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值元素的序号存入k，如果X中包含复数元素，则按模取最大值
        • 当参数为矩阵时，函数有三种调用格式： （1）max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值 （2）[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A中每列的最大值，U向量记录每列最大值元素的行号 （3）max(A,[],dim)：dim取1或2dim取1时，该函数的功能和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值
    • 2. 求矩阵的最小元素
      • min()： 求向量或矩阵的最小元素
  • 求平均值与中值
    • mean()：求算术平均值
      • 平均值：指算术平均值，即每项数据之和除以项数
    • median()：求中值
      • 中值：指在数据序列中其值的大小恰好处在中间的元素如果数据个数为奇数，则取值为大小位于中间的元素；如果数据个数为偶数，则取中间两个元素的平均值
  • 求和与求积
    • sum():求和函数
    • prod():求积函数
  • 累加和与累乘积
    • cumsum():累加和函数
    • cumprod():累乘积函数
  • 求标准差与相关系数
    • 计算标准差的函数为std()
      • （1）std(X)：计算向量X的标准差 （2）std(A)：计算矩阵A的各列的标准差 （3）std(A,flag,dim)： flag取0或1，当flag=0时，按S1所列公式计算样本标准方差；当flag=1时，按S2所列公式计算总体标准方差在默认情况下，flag=0，dim=1
    • 计算相关系数的函数为corrcoef()
      • （1）corrcoef(A)：返回由矩阵A所形成的一个相关系数矩阵，其中，第i行第j列的元素表示原矩阵A中第i列和第j列的相关系数 （2）corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一样，用于求X、Y向量之间的相关系数
  • 排序
    • 排序函数为sort()
      • （1）sort(X)：对向量X按升序排列 （2）[Y,I]=sort(A,dim,mode)，其中dim指明对A的列还是行进行排序mode指明按升序还是降序排序，若取“ascend”，则按升序；若取“descend”，则按降序，默认为升序输出参数中，Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置
• 5.2 多项式计算
  • 多项式的表示
    • n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示:
    • p(x)表示为向量形式：
    • 创建多项式向量时，要注意三点： （1）多项式系数向量的顺序是从高到低 （2）多项式系数向量包含0次项系数，所以其长度为多项式最高次数加1 （3）如果有的项没有，系数向量相应位置应用0补足
  • 多项式的四则运算
    • （1）多项式的加减运算
      • 多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减
    • （2）多项式乘法
      • conv(P1,P2)：多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量
    • （3）多项式除法
      • [Q,r]=deconv(P1,P2)：多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式 这里，Q和r仍是多项式系数向量deconv是conv的逆函数，因此有下式成立P1=conv(Q,P2)+r
  • 多项式的求导
    • 多项式求导函数为polyder()
      • （1）p=polyder(P)：求多项式P的导函数 （2）p=polyder(P,Q)：求P×Q的导函数 （3）[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q
  • 多项式的求值
    • polyval(p,x)：代数多项式求值，其中，p为多项式系数向量，x可以是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值
    • polyvalm(p,x)：矩阵多项式求值，其调用格式与polyval相同，但含 义不同。polyvalm函数要求x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值
  • 多项式的求根
    • 多项式求根函数为roots(p)，其中p为多项式的系数向量
      • 若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：p=poly(x)
• 5.3 数据插值
  • 数据插值的计算机制
    • 从数学上来说，数据插值是一种函数逼近的方法
  • 数据插值的实现方法
    • 一维插值函数为interp1()
      • 调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)
      • method参数用于指定插值方法
        • （1）linear：线性插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据
        • （2）nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据
        • （3）pchip：分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性
        • （4）spline：3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式，使其插值 函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数
        • 四种方法的比较: ①线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点n无关。n越大，误差越小。 ②3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言，3次埃尔米特插值具有保形性；而3次样条插值要求其二阶导数也连续，所以插值函数的性态更好
      • 该语句将根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点
    • 二维插值函数为interp2()
      • 调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
      • 其中，X、Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或向量，表示要插值的点