数量关系思维导图

包含代入排除法、倍数特性法、方程法等，无论是初学者还是准备参加考试的学生，这张脑图都将是你不可或缺的学习助手。

数量关系1

• 第一节 代入排除法
  • 代入排除法： 1.范围： （1）看题型：多位数、余数、年龄、不定方程。 （2）看选项：选项是一组数。 （3）主体多、关系复杂、难求解、题干表述复杂。 2.方法： （1）优先排除：尾数、奇偶、倍数。 （2）直接代入：最值、好算。 3.注意： （1）年龄问题要符合常识、年龄差不变。 （2）多位数优先验证对调。 （3）剩二代一、必出答案。
  • 代入排除法：为什么代入排除法放在最前面，因为性价比高。我们做的都是单选题，所以原则上只要有哪一个符合题目当中所有的条件就是答案，可以代入排除。但是有的题可以有的题不可以，所以从两个维度给大家讲解一下方法。
  • 1.什么时候用？ （1）特定题型：年龄问题、余数问题、多位数问题、不定方程问题。 ①年龄：题目中涉及到年龄的问题（年龄差不变）。 例：今年，王义老师为 27 岁，而资料老师李芙任为 47 岁，两人今年的年龄 差为 47-27=20。10 年之后，两人分别长 10 岁，王义老师为 27+10=37 岁，而李芙任老师为 47+10=57 岁，年龄差依然为 57-37=20，不管在哪一年，年龄差保持不变。 ②余数：出现“余”字，平均分，有剩余。 出题情境：分东西问题（每人分几个，最终剩几个）、排队问题（每队排几人，最终剩几人）。 例：一个数，除以 7 余 3，除以 8 余 2，除以 9 余 1……。 A.10 B.11 答：题目本身是余数问题，考虑代入排除法。代入 A 项，10 除以 7 余 3、除 以 8 余 2、除以 9 余 1，A 项当选。 ③多位数：三位数/四位数（考查情境一般是保险柜密码、车牌号、人数），往往出现位数的变化。 例：一个三位数，十位上的数字比百位多 1，十位和个位对调，比原来大 9……。 A.121 B.123 答：多位数变化，考虑代入排除。“十位上的数字比百位多 1”，观察选项可知，A、B 项十位上的数字都比百位上的数字多 1，无法排除选项；“十位和个位对调，比原来大 9”，代入 A 项：将十位上的数字 2 和个位上的数字 1 对调为112，比原来的 121 小，排除；B 项：将十位上的数字 2 和个位上的数字 3 对调为132，132-123=9，B 项当选。 ④做题经验：多位数问题优先验证对调（往往是一个解题的关键）。 ⑤不定方程：未知数个数多于方程个数。 我们最常见的是普通方程，如4x+5=25，只有一个未知数 x、一个方程，一个等号为一个方程。未知数的个数=方程的个数，为普通方程；未知数个数多于方程数，为不定方程。 例：3x+2y=10，求：x、y 的值。 A.3、2 B.2、2 答：未知数 x、y 有 2 个，为不定方程，考虑代入排除。代入 A 项：x=3，y=2， 9+4=13≠10，排除；代入 B 项：x=2，y=2，3*2+2*2=10，满足题意，B 项当选。 （2）选项是一组数（每一个选项中数字的个数≥2 个数）。 例：甲、乙两支足球队练习时共进球 20 个，甲队比乙队多进 8 个。甲、乙两队分别进球多少个？ A.13，7 B.14，6 C.12，8 D.11，9 答：每一个选项都有两个数，选项为一组数，考虑代入排除。根据“甲、乙两支足球队练习时共进球 20 个，甲队比乙队多进 8 个”可知，甲+乙=20，甲乙=8。代入 A 项：13+7=20 符合，13-7=6≠8 不符合，排除；代入 B 项：16+4=20 符合，14-6=8 也符合，当选；选择 B 项。 （3）条件多，题意乱或难求解。读完题，无从下手，比较懵，想放弃，可以用代入排除法看能不能挣扎一下。 例.10/x+6/（x-2）=4，问：x=？ A.5 B.6 C.7 D.8 答：常规做法是将等号两边同乘以 x（x-2），求解起来比较困难。直接代 入排除法，代入 A 项：x=5，10/5+6/（5-2）=2+2=4，满足，选择 A 项。
  • 2.代入排除法怎么用？ 代入排除法本身有两个过程，一个代入，一个排除。虽然这个名称代入在前，但往往代入比较复杂，所以我们使用代入排除法时往往先排除，排除不了再代入。 （1）方法： ①先排除：利用奇偶、倍数、尾数等特性（本节课后半部分都会详细去讲）。 ②再代入（遵循两个原则）。最值原则：问最大，从大的开始代入。问最小， 从小的开始代入，好算，整十/整百……（不用刻意去背，看举例说明就知道）。 （2）例：姐的年龄是 4 的倍数，在 25～45 岁之间，除以 6 余 2，问该位女 士芳龄最小几岁？ A.24 B.32 C.35 D.40 答：年龄问题，问最小，考虑代入排除（先排除、再代入）。根据“年龄是 4 的倍数”排除 C 项；根据“在 25～45 岁之间”排除 A 项；剩下 B、D 项，“年 龄/6 余 2”，问最小，从小的开始代入，代入 B 项：32/6=5……2，满足题干条 件，选择 B 项。 （3）注意：剩二代一，必出答案。剩余 B、D 项，只要代入一项即可。假设代入 B 项，若 B 项符合，则直接选择 B 项；若 B 项不符合，则选择 D 项。 3.做数学运算从两个维度进行： （1）识别题型特征（是什么）。 （2）方法是什么。
• 第二节 倍数特性法
  • 倍数特性：利用题目当中的倍数关系，排除答案 例：5 人一组开黑，人数刚好够分，人数（ ）？ A.10 B.11 C.12 D.13 答：总人数=5*组数，总人数一定是 5 的倍数，排除 B、C、D 项，对应 A 项。
  • 一、余数型
    • 若 ax+b=答案，则（答案-b）是 a 的倍数（a、x 均为整数） 若 ax-b=答案，则（答案+b）是 a 的倍数（a、x 均为整数） 1.常见形式：平均分，有剩余/缺少。 2.多退少补： （1）多退：题目出现“多几个/余几个/剩几个”等字样，多几个在数上退几个，退完正正好好够分。 （2）少补：题目出现“少几个/缺几个/不够几个”等字样，少几个在总数上补几个，补完之后正正好好够分。
  • 二、比例型
    • 若 A/B=m/n（A、B 均为整数，m/n 为最简整数比），则： A 是 m 的倍数 B 是 n 的倍数 A+B 是 m+n 的倍数 A-B 是 m-n 的倍数
    • 什么时候用？出现分数、百分数、比例、倍数，可考虑倍数特性
      • （1）男女生人数之比是 3：5（比例） （2）男生是女生人数的 3/5（分数） （3）男生是女生人数的 60%（百分数） （4）男生是女生人数的 0.6 倍（倍数）
  • 比例倍数特性总结 【拓展】原来袋子里红球与白球的数量之比为 19：13，放入若干个红球后， 红球与白球的数量之比变为 5：3，再放入若干个白球后，红球与白球的数量之 比为 13：11。已知放入的红球比白球少 80 个。那么原来袋子里共有多少个球 （ ）？ A.650 B.720 C.840 D.960 识别：出现比例/分数/百分数/倍数。 方法：考虑比例型倍数特性。 步骤： 1.出现分数、百分数、比例、倍数，可考虑倍数特性 2.化成最简整数比 3.看问题选结论来排除
    • 考试难度升级： 1.例 1：男生人数比女生人数多 1/5。 （1）理解的角度：男生人数比女生人数多出女生人数的 1/5，如果女生是 5 份，则男生为 5+1=6 份，即男生：女生=6：5。 （2）结论：谁比谁就是谁除以谁→男/女；分母不变，女→5；多→分子、 分母相加，男→1+5=6，则男/女=6/5。
• 第三节 方程法
  • 一、普通方程（组）：四步走→找、设、列、
    • 1.找等量关系→列等式。 （1）相等/一样（重点）。如两个人的数量一样多/相等。 （2）……比……多/少……。 （3）……是……的几倍。 （4）总共（重点）。如两个人一共花了多少钱，甲一共花了多少钱买某东 西、200 个小学生共租了 20 个车去郊游……。 2.设未知数技巧：通常设“是”和“比”字后（的主体为 x）。 （1）设小不设大（减少分数计算）：甲是乙的两倍，设较小的“乙”为 x， 甲为 2x。 （2）设中间量（方便列式）：甲是乙的 1.5 倍，丙是乙的 3 倍，乙为中间 量，设乙为 x，则甲为 1.5x，丙为 3x。 （3）有比例设份数：甲：乙=3：4，设甲为 3x，乙为 4x。 （4）问谁设谁（避免陷阱，不会设）：甲和乙总共 100 个，求甲，设甲为 x，则乙为 100-x。
  • 二、不定方程（组）（找、设、列、解） 解法： 结合选项排除 （1）倍数特性 （2）奇偶特性 （3）尾数法
    • （一）尾数
      • 尾数：结合每一项和每一项之间的尾数来求解。 1.ax+by=M，当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时，考虑尾数。 2.例：5x+3y=39，y=？（x、y 均为正整数）。 A.2 B.3 C.4 D.5 答：在该不定方程中，系数是未知数（字母）前面的数（5、3），常数项指等号右边的数字（39），任意（只要有）一个系数尾数为 0 或 5，考虑尾数特性；本题系数有 5，5x 表示 5 的倍数，可以是 5、10、15、20，则 5x 的尾数有两种况→0 或 5，39 的尾数为 9，分别讨论，如果 5x 尾数为 0，尾 0+尾 9=尾 9，10+9=19，则 3y 的尾数应该为 9，3*3=9，则 y=3，对应 B 项；如果 5x 尾数为 5，尾 5+尾 4=尾 9，则 3y 的尾数为 4，3*8=24，则 y=8，但是选项中没有对应答案。
    • （二）倍数
      • 倍数：常数项可以和任意一个系数约分，可以考虑倍数特性法。 1.ax+by=M，当 a 或 b 与 M 有公因子时，考虑倍数特性。 2.例：7x+3y=60，x 为多少？（x、y 均为正整数）。 A.5 B.6 C.7 D.8 （1）答：常数项为 60，系数分别为 7、3，60 可以和 3 进行约分，可以考虑倍数特性，60 和 3y 均是 3 的倍数，则 7x 也是 3 的倍数，7 不是 3 的倍数，则 x 为 3 的倍数，观察选项，只有 B 项满足。 （2）推导：7x=60-3y=3*（20-y），则 7x 是 3 的倍数，如 4 的倍数+4 的倍 数=4 的倍数，小猫和小猫生出来还是小猫，小狗和小狗生出来还是小狗
    • （三）奇偶
      • 奇偶： 1.ax+by=M，当 a、b 恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。 2.两数相乘的奇偶性： （1）偶数*偶数=偶数，如 2*4=偶数 8、2*6=偶数。 （2）偶数*奇数=偶数，如 4*3=偶数 12。 （3）奇数*奇数=奇数，如 3*5=奇数 15。 （4）总结：偶数*任意数=偶数→“两数相乘，一偶则偶”（如 4y、2x、6z、 8y、12x、14y 均为偶数）；“全奇才奇”。 3.例：3x+4y=25，x=？（x、y 均为正整数）。 A.2 B.3 C.4 D.6 答：系数有两个→3 和 4，满足“一奇一偶”，可以考虑奇偶特性。3 项中 25 的奇偶性确定→奇数；“一偶则偶”→4y 为偶数，3x+偶数=奇数，如3+4=7，4 为偶数，7 为奇数，则 3x 为奇数，两个数相乘，“全奇才奇”，3 为奇数，则x 也为奇数，对应 B 项
        • 奇数-偶数=奇数，奇数-奇数=偶数，偶数-偶数=偶数。
  • 不定方程求解方法总结：四种方法 1.不定方程：ax+by=M，a 与 b 叫做系数，M 叫做常数项；例如 5x+3y=39、 7x+4y=60。 （1）代入排除。 （2）尾数特性：当任意一个系数 a 或 b 的尾数为 0 或 5 时。 （3）倍数特性：当任意一个系数 a 或 b 可以和常数项 M 约分。 （4）奇偶特性：当两个系数 a 和 b 一奇一偶时。 2.有的题目倍数可以用，奇偶也可以用，挑选自己喜欢的特性即可。 3.如 5x+3y=39，3 和 39 可以约分，可以用倍数；出现系数 5，可以使用尾 数特性。 4.做题经验：优先使用倍数特性，其限定范围比较小，可以更快地锁定答案