导图社区 小学应用题画图法60讲
小学应用题画图法60讲,用画图轻松破解各类应用题。内容涵盖行程、工程、比例、鸡兔同笼、盈亏、植树、年龄、还原、平均数、逻辑推理等六十个专题,从基础到综合,由简入繁,帮助孩子借助直观图形理清数量关系,系统掌握解题方法。很多孩子读应用题时,很难读懂隐藏的数量关系,而画图法能把抽象文字条件转化成线段图、韦恩图、框图、表格等直观图形,把复杂的数量变化可视化,快速找准已知量、未知量之间的联系。每个专题搭配典型例题,标注解题思路与易错点,像牛吃草问题区分原有存量和新增变量,容斥问题用韦恩图区分单独满足与重叠部分,错中求解通过对比正误算式寻找差值。这套方法不局限死记硬背公式,重在训练数形结合思维,让孩子学会自主画图分析,遇到陌生应用题也能独立拆解题干,减少读题困难,降低畏难情绪,逐步提升数学逻辑能力。无论需要夯实应用题基础的小学生、辅导作业的家长,还是小学数学备课老师,都可以借助这套专题学习数形结合解题技巧。
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这是一篇关于高中数学高效预习黄金四步法的思维导图,主要内容包括:顶层认知板块结合高考命题转型,对比新旧考查特征,点明新高考侧重思维探究,摒弃单纯记忆考查,明确预习的价值定位与目标方向,强调预习要落实逻辑推理、批判性思维、知识建构、问题解决等能力培养。预习基本原则确立预习核心定位,引导学生树立 “多思少算” 的预习认知,主动提出疑问、开展思考,适配课堂节奏。预习效果检验标准从互动参与度、听课针对性、学习习惯、思维习惯、问题意识等维度设置衡量指标,判断预习是否达标。四步预习操作流程包含选材定标、精读圈画、推导寻疑、遮挡自测,依次给出动作指令和操作要点,指导学生锁定核心概念、公式定理,梳理逻辑链条,完成自主检测,形成完整预习闭环,帮助学生提前扫清基础障碍,提升课堂学习效率。无论高中学生、数学任课教师、课外辅导老师,都可以借助这份导图,适合课前学习指导、学习方法教学、学生自主规划等。
这是一篇关于组织效能FACE飞轮模型的思维导图,主要内容包括:一、模型体系总览,二、反馈通畅度(F维度),三、战略对齐度(A维度),四、团队胜任度(C维度),五、全员投入度(E维度),六、系统诊断方法论,七、落地提升闭环。每个板块拆解细分要点:模型体系总览介绍模型定位、底层逻辑、核心价值;反馈强链度聚焦组织内信息流转、反馈机制;战略对齐度讲解目标拆解、上下共识,保证方向统一;团队胜任度从能力、认知、经验等维度评估团队短板与成长路径;全员投入度关注员工动力、参与感、激励与人心凝聚;系统革新方法论讲解组织迭代、变革推进的思路;落地提升闭环说明落地执行、复盘优化的流程。各模块环环相扣,形成飞轮效应,强调持续循环迭代,通过对齐战略、打磨团队、激活员工、优化机制、闭环复盘,持续拉动组织效能增长,避免一次性项目式改善。整张图以环形结构直观呈现飞轮循环逻辑,要素丰富,覆盖诊断、对齐、赋能、激励、变革、落地全流程,用于组织诊断、团队建设与效能提升。无论企业管理者、HR、组织发展专员、团队负责人做组织复盘与团队增效规划,都可以使用。
这是一篇关于中国省级行政区人文地理总览的思维导图,主要内容包括:一、华北地区,二、东北地区,三、华东地区,四、华中地区,五、华南地区,六、西南地区,七、西北地区,八、港澳台地区。每个区域下依次列出下辖省级行政单位,再梳理各地代表性内容,包含特色地形地貌、知名山水景点、本土民俗文化、地方特产、历史古迹、民族风情、饮食特点等人文地理要素。华北侧重古都文化、边塞风貌;东北突出黑土地、林海雪原与少数民族文化;华东河湖密布,江南文脉浓厚;华中依托长江,兼具山水与历史遗迹;华南滨海特色鲜明,侨乡文化突出;西南多山地峡谷,少数民族种类繁多,民族文化绚丽多彩;西北荒漠、高原并存,丝路文化底蕴厚重;港澳台板块梳理当地特色风光与多元人文。整张图把分散的省级人文地理知识整合在一起,把自然景观、历史、民俗、地域文化相互结合,方便对比不同地域之间的人文差异。无论正在学习地理的中小学生、备考地理考试的考生,还是想要了解国内地域文化的爱好者,都可以借助这张图系统梳理人文地理知识。
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小学应用题 画图法60讲
第1讲 之间问题
问题
己知两人各是第几,求两人之间杳几人。
典例
操场排队,从左边数起,玲玲是第6个,丽丽是第 16个。玲玲和丽丽之间南几人?
画图
用1个圆圈表示1个小朋友,当数量较多时,可以用“……”代替圆圈。
思考
由上图可知,从左边第1个小朋友到玲玲一共有6人,丽丽前面 有16-1 =15(人),用15减去6可求出玲玲和丽丽之间有几人。
作答
16-1-6=9 (人) 答:玲玲和丽丽之间有9人。
点拨
已知两人从左(右)数分别排第几,求两人之间有几人,先用大数减1,再减小数。
第2讲 排队问题
问题
巳知某人在队列中的位置信息,求队列中一共高几人。
典例
一(1)班学生排队测身高,聪聪前面有8人,后面有10人。聪聪这队一共有多少人?
画图
用1个圆圈表示1名学生,当数量较多时,可以用“……”代替圆圈。
思考
由上图可知,聪聪前面有8人,后面有10人,再加上聪聪自己,一共是8+ 10 + 1 = 19 (人)。
作答
8+ 10 + 1 = 19 (人) 答:聪聪这队一共有19人。
点拨
已知某人的前面和后面分别有多少人,他所在的队伍总人数=前面人数+后面人数+ 1
第3讲 移多补少问题
问题
己知两物体的数量,求从多的中拿出多少给少的,两者同样多。
典例
芳芳有14朵花,晶晶有10朵花。芳芳给晶晶几朵花,两人的花就同样多?
画图
用1个圆圈表示1朵花,当数量相同的部分较多时,可以用“……”代替圆圈。
思考
由上图可知,把芳芳比晶晶多的花分出一半给晶晶,两人的花就同样 多了。
作答
14-10=4(朵) 4朵的一半是2朵 答:芳芳给晶晶2朵花,两人的花就同样多。
点拨
要想通过移动使两份同样多只要把多出的量分一半补给少的那 一份,两份就能同样多了。
第4讲 人民币问题
问题
通过不同钱币组合的方式付款。(列表法)
典例
阳阳有1张20元的纸币,3张10元的纸币,2张5元的纸币。阳阳要买一个30元的足球,在不找钱的情况下,他有几种不同的付钱方法?
画图
根据题意,阳阳付钱的方法列表如下。
思考
可以先从面值大的纸币开始,有序列举,做到不重复、不遗漏。
作答
方法一:付1张20元和1张10元的纸币; 方法二:付1张20元和2张5元的纸币; 方法三:付3张10元的纸币; 方法四:付2张10元和2张5元的纸币。 答:他有4种不同的付钱方法。
点拨
明确30元可以由题中哪些面值的人民币组成是关键。
第5讲 逻辑推理问题(一)
问题
根据己知的数量关系推出未知的数量关系。
典例
有苹果、香蕉和梨三个水果,苹果比香蕉重,梨比香蕉重,梨比苹果轻。请你想一想,哪个水果最重,哪个水果最轻?
画图
可以用线的长度表示水果的轻重,越重的水果线越长,越轻 的水果线越短。
思考
由图可知,苹果最重,香蕉最轻。
作答
答:苹果最重,香蕉最轻。
点拨
画一条线表示其中一个水果的质量,比这个水果重的,就画比这条线长的线表示;比这个水果轻的,就画比这条线短的线表示。
第6讲 搭配问题
问题
分别从两类物品中选一个组成一对,求有几种不同的搭配方法。
典例
林林在食堂吃饭,菜和饮料各选一个,共有几种不同的搭配方法?
画图
给菜编号为A, B, C, D,给饮料编号为①和②。
思考
一道菜搭配 种饮料,A菜分别连接①和②,有2条线,同理,B, C,D菜也分别能连2条线,2×4= 8 (种),说明有8种搭配方法。反过来, 每种饮料可以连4条线,有2种饮料,4×2=8(种),也可以得到答案。
作答
2×4= 8 (种)或4×2= 8 (种) 答:一共有8种不同的搭配方法。
点拨
连线时要注意不重不漏,有序连线。
第7讲 爬井问题
问题
一只蜗牛从井底往井口爬,白天向上爬,晚上向下滑。
典例
一只蜗牛从7米深的井底向上爬,它每天白天向上爬3米,但是由于井壁太滑,每天晚上会向下滑2米。它会在第几天爬到井口?
画图
思考
蜗牛每天白天向上爬3米,晚上向下滑2米,实际每天向上爬1米。最后天,蜗牛爬到井口后就不会下滑了,也就是最后天会向上爬3米,在此之前要爬7-3=4(米)。每天向上爬1米,爬4米要用4÷1= 4 (天), 由此可知,蜗牛第5天爬到井口。
作答
7-3=4(米) 3-2=1 (米) 4÷1 = 4 (天) 4+1=5 (天) 答:它会在第5天爬到井口。
点拨
最后一天,蜗牛爬到井口后就不会下滑了。
第8讲 间隔问题
问题
已知一根木头被锯的次数和每段的长度,求木头原来的长度; 已知某人从 1 楼走到某层楼的用时,求这个人从 1 楼走到另一层楼的用时。
情境1
典例1
一根木头被锯3次后,每段长度4米,这根木头原来长多少米?
画图1
一根线表示木头,用虚线表示锯的位置,画图如下。
思考1
由上图可知,铅3次可以铅成4段,也就是段数=锯的次数+1。因为 每段长4米,所以这根木头原来长4×4= 16 (米)。
作答1
3+1=4(段) 4×4 = 16 (米) 答:这根木头原来长16米。
点拨1
段数=锯的次数+ 1,原本的长度=段数×每段长度。
情境2
典例2
小力家在6楼,他从1楼走到3楼用了16秒。照这样算,他从1楼走到6楼需要多少秒
画图2
思考2
通过上图可以发现,从1楼走到3楼实际走了2层楼梯,也就是向上 走了2层,由此可得:楼梯层数=楼数-1 从1楼到3楼有2层楼梯,走2层楼梯用了16秒,走1层楼梯就要用 16÷2=8(秒)。1楼到6楼要走5层楼梯,因此需要8×5=40 (秒)。
作答2
3-1=2 (层) 16÷2=8(秒) 6-1=5(层) 8×5 = 40 (秒) 答:他从1楼走到6楼需要40秒。
第9讲 租船问题
问题
己知总人数和每条船最多可坐的人数,求至少需要几条船。
典例
二( 1 )班34 人去公园划船,每条船最多坐 4 人,至少需要租几条船?
画图
思考
求至少需要租几条船,可以先求34里面有几个4,用除法计算,有几 个4,就先租几条船,剩余的人还要再租一条船,由此求出至少需要租几 条船。
作答
34÷4=8(条)……2(人) 8+1=9(条) 答:至少需要租9条船。
点拨
本题运用了 “进一” 法,如果计算结果有余数,无论余数是多少, 最后的结果都用商加上1
第10讲 等量代换问题
问题
题中的一种量可以被另一种与它相等的量代替
典例
乐乐用2个橘子可以换明明的1个苹果,如果乐乐想用橘子换明明的3个苹果,要用几个橘子?
画图
用 1 个圆圈表示 1 个苹果, 1 个三角形表示 1 个橘子
思考
由上图可知,换1个苹果需要2个橘子,换3个苹果就需要3×2=6 (个)橘子。
作答
3×2=6 (个) 答:要用6个橘子。
点拨
解决两个量的等量代换问题,明确这两个量之间的等量关系是解题的关键。
第11讲 时间问题
问题
与时、分、秒有关的时间计算问题。
典例
某列车在8时38分始发,10时21分到达沈阳站。列车从出发到沈阳站共经过了多长时间?
画图
可以列出竖式进行计算,仿照减法竖式退位的方法计算。
思考
1时=60分,当“分”不够减时,可以从“时”退1当60,加到“分”再计算,这样“分”就变成81-38=43 (分)。“时”上的10退1后变为9,9-8=1 (时), 因此经过的时间就是 1 小时 43 分钟。
作答
1 时= 60 分 60 + 21 = 81 (分) 81-38=43 (分) 10-1-8=1 (时) 答:列车从出发到沈阳站共经过了 1 小时 43 分钟。
点拨
计算时间时, 可以借助竖式, 注意时分秒之间的进率是 60。
第12讲 组数问题
问题
用给出的数字,按要求组成多位数。
典例
用数字2、4、6、8能组成多少个不同的无重复数字的四位数?
画图
先确定千位上的数字,再依次确定百位、十位和个位上的数字。以2在千位为例,可画出如下的树状图
思考
由上图可知, 以 2 为千位数字的四位数有 6 个,同理以 4、 6、 8 为千 位数字的四位数也各有 6 个, 进而可以求出一共能组成多少个不同的无重复数字的四位数。
作答
6×4 = 24 (个) 答:用数字2、4、6、8能组成24个不同的无重复数字的四位数。
点拨
树状图分析首位为某个数字时有几种纽法,再看首位有几种选法,将所得的结果相乘即可求出总共有多少种纽法。
第13讲 倍数问题
问题
已知一个数是另一个数的几倍多(少)几,求总数
典例
李老师给同学们购买了一些水果,其中苹果有8个,梨的数量比苹果的5倍少4个,李老师一共购买了多少个苹果和梨?
画图
根据“苹果有8个,梨的数量比苹采的5倍少4个”画出线段图
思考
根据线段图可以先求出梨的数量,再求出苹果和梨的总数量。
作答
5×8-4=36(个) 36+8=44(个) 答:李老师一共购买了 44个苹果和梨。
点拨
找清1倍量和多倍量的数量关系是关键。
第14讲 错中求解问题
问题
给出了某道题的错误算法,求该题目的正确结果。
典例
小明做一道减法题,把被减数十位上的2错看成了5,把减数个位上的7错看成了1,得到的结果是392。这道减法题的正确结果是多少?
画图
可以把错看的算式和正确的算式都列出来,并根据题意标注差异。
思考
由上图可知,被减数的十位上的数字增加了3,相当于被减数增加了 30,那么差也会增加30;减数减少了6,那么差会增加6,据此可以倒推 出正确结果。
作答
( 5 - 2)×10 = 30 7-1=6 392 -30 -6 = 356 答:这道减法题的正确结果是356。
点拨
根据看错的数产生的结果变化,倒推出正确结果。
第15讲 平均数问题(一)
问题
已知一组数的平均数和某中几个数的平均数,求特定的某个数。
典例
五个数的平均数是40,把这五个数从小到大排列,前三个数的平均数是32,后三个数的平均数是46。最中间的那个数是多少?
画图
根据给出的平均数,可以分别算出五个数的和、前三个数的和、 后三个数的和是多少,由此画出如下示意图。
思考
由上图可知,最中间的数既在前三个数中,也在后三个数中,先把前 三个数的和与后三个数的和相加(此时最中间的数多算了一次),再减去五个数的和就可以得到最中间的数。
作答
40×5 = 200,32×3 = 96,46×3 = 138,96 + 138 -200 = 34 答:最中间的那个数是340
点拨
平均数=总数量÷总份数, 总数量=平均数×总份数。
第16讲 和倍问题
问题
已知两个量的和与倍数关系,求这两个量分别是多少。
典例
花花和美美一共有24颗糖果,美美的糖果数量是花花的3倍,花花和美美各有多少颗糖果?
画图
思考
由上图可知,24颗糖果相当于花花的糖果数量的(1 + 3)倍,由此可 以求出花花有24÷(1+3)=6(颗)糖果,进而可以求出美关的糖果数量。
作答
24÷(1+3)=6 (颗) 6×3 = 18 (颗) 答:花花有6颗糖果,美关有18颗糖果。
点拨
和÷(倍数+1) = 1倍量。
第17讲 差倍问题
问题
已知两个量的差与倍数关系,求这两个量分别是多少.
典例
李爷爷家养的鸭比鸡多24只,鸭的数量是鸡的3倍。李爷爷家养的鸭和鸡各有多少只?
画图
把鸡的数量当作是1倍量,画成l段,鸭的数量是鸡的3倍, 画成3段,画出线段图如下
思考
由上图可知,鸭比鸡多的 24只正好是鸡的数量的(3 - 1 )倍,由此可 以求出鸡有 24÷(3 - 1 ) 12 (只),进而可以求出鸭的数量。
作答
24÷( 3 -1 )=12(只),12×3 = 36 (只)或12+ 24= 36 (只) 答:鸡有 12 只,鸭有 36 只。
点拨
差÷(倍数-1)=1倍量。
第18讲 和差问题
问题
已知两个量的和与差,求这两个量分别是多少。
典例
合唱团共有12人,其中女队员比男队员多6人。男、女队员各有多少人?
画图
法一
法二
思考
由上图可知,假设男队员增加 6人,总人数变为 18,此时男、 女队员 的人数相同,用总人数除以2即可求出女队员的人数,进而求出男队员原本的人数。 同理,也可以假设女队员减少6人,总人数变为6,此时男、 女队员 的人数相同,用总人数除以2即可求出男队员的人数,进而求出女队员原 本的人数。
作答
方法一 女队员:(12 + 6)÷2=9(人) 男队员:12-9 = 3 (人)方法二 男队员:(12 -6)÷2 = 3 (人)女队员:12-3 = 9 (人)答:男队员有3人,女队员有9人。
点拨
(和+差)÷2=较大数,(和-差)÷2=较小数。
第19讲 年龄问题(一)
问题
已知两人今年的年龄,求几年前(或后)他们的年龄存在的特定倍数关系
典例
小明今年12岁,爷爷今年66岁,几年后爷爷的年龄是小明的4倍?
画图
不管过多久,两人的年龄差不会变,爷爷总会比小明大66-12=54(岁),由此画出若干年后两人的年龄关系线段图。
思考
因为若干年后爷爷的年龄是小明的4倍,所以将小明若干年后的年龄 看成1倍量,两人的年龄差就是小明若干年后年龄的(4-1)倍,由此可以求出小明若干年后的年龄,进而求出过了几年。
作答
66 -12 = 54 (岁) 54÷(4-1)=18(岁) 18-12=6(年) 答:6年后爷爷的年龄是小明的4倍。
点拨
在年龄问题中,年龄差永远不变。
第20讲 重叠问题
问题
几个物体连在一起(有重叠),求重叠部分的长度
典例
把三根长60厘米的木条绑起来,绑成一根长140厘米的木条,每两根木条中间的重叠部分长多少厘米? (每个重叠部分的长度相等)
画图
思考
由上图可知,绑好的木条有2个重叠部分,因此绑好后的木条长度=二根木条的总长度-2个重叠部分的长度,进而得出1个重叠部分的长度=(三根木条的总长度-绑好后的木条长度)÷2
作答
60 × 3 = 180 (厘米) 180 - 140 = 40 (厘米) 40÷2 = 20 (厘米) 答:每两根木条中间的重叠部分长20厘米。
点拨
将n个物体重叠放直在一起,会有( n - 1)个重叠部分, 重叠部分的总长度=原来的总长度 -重叠后物体的总长度。
第21讲 周期问题
问题
已知物体或数字按规律重复排列,求第几个物体或数字是多少。
典例
画图
思考
由图可知,这些珠子是按照灰色,灰色,灰色,蓝色,蓝色的规律重复出现的,也就是每5颗珠子为组循环出现。32÷5= 6 (组)……2 (颗),因为余数是2,所以第32颗珠子是它所在那组的第2颗珠子, 也就是灰色珠子。
作答
32÷5=6(纽)……2(颗) 答:第32颗珠子是灰色的。
点拨
先确定周期是多少,再用总数除以一个周期中的元素个数,如果有余数,那么余数是几,结果就是下一个周期中的第几个;如果没有余数,那么结果就是周期中的最后一个。
第22讲 归一问题
问题
题目中的单一量不变,据此求新的总量(或新的分数)
典例
爸爸买3盆花一共花了15元,如果买7盆同样的花,需要多少元?
画图
思考
由线段图可知,先用15÷3求出每盆花是多少钱,再来7即可求出买 7盆花需要多少钱。
作答
15÷3×7 = 35 (元) 答:需要35元。
点拨
在归一问题中,单一量是不变量,先根据“总量÷份数“求出单一量,再根据“单一量×新的份数”(或”新的总量÷单一量“)求出新的总量(或新的份数)。
第23讲 归总问题
问题
题目中的总量不变,据此求新的份数(或新的单一量)
典例
行知小学三( 4)班的同学排练团体操,如果每行排12人,正好排成4行;如果每行排8人,那么可以排成几行?
画图
思考
由于总人数不变,故先用“原来每行的人数×原来排的行数”求出总人数,再用“总人数÷新的每行的人数”即可求出可以排成的行数。
作答
12×4÷8 = 6 (行) 答:可以排成6行。
点拨
在归总问题中,总量是不变量,先根据“单一量×份数“求出总量,再根据”总量÷新的份数(或新的单一量)“求出新的单一量(或新的份数)
第24讲 方阵问题
总量
将若干个人排成一个方阵,根据每边人数求总人数
典例
广播体操小组的学生们排成了一个单层的空心方阵,每条边有9人。这个空心方阵一共有多少人?
画图
作答
方法一:9×4-4= 32 (人) 方法二:( 9 -1)×4 = 32 (人) 答:这个空心方阵一共有32人。
点拨
单层空心方阵的总人数=每边人数×4-4=(每边人数-1)×4
第25讲 还原问题(一)
问题
已知一个数经过多步计算的结果,求这个数是多少。
典例
一个数乘6,加上6,除以6,再减去6,最后结果等于6。这个数是多少
画图
逆运算
思考
可以发现,在逆推时,每一步都是原来运算的逆运算,即加法变为 减法,减法变为加法,乘法变为除法,除法变为乘法。
作答
6 + 6 = 12,12×6 = 72,72 -6 = 66,66÷6 = 11 答:这个数是11.
点拨
按照最开始的数的运算顺序画出流程图,再从结果出发,一步步 逆向推出最开始的数。
第26讲 还原问题(二)
问题
包含一半多几或一半少几的数量关系的还原问题
典例
明明有一些糖果,他吃了4颗后,分给了萌萌剩下糖果的一半多2颗,最后还剩5颗糖果。明明原来有多少颗糖果?
画图
思考
由上图可知, 5+2=7 (颗),也就是明明吃了 4 颗糖果后,剩下糖果 的一半有 7 颗,由此可以求出明明吃了 4 颗糖果后,剩下的糖果有 7 × 2= 14 (颗),再加上明明吃掉的 4 颗,即可求出明明原来有多少颗糖果。
作答
5+2=7 (颗) 7 × 2 = 14 (颗) 14 + 4 = 18 (颗) 答:明明原来有 18 颗糖果。
点拨
先根据“一半多几”或“一半少几”求出一半是多少,再根据“一半倒推变2倍”求出原本有多少。
第27讲 相遇问题
问题
两个人从两地相向而行,经过一段时间相遇。
典例
小星每分钟走60米,小明每分钟走64米。两人同时从家出发,相向而行,经过5分钟在广场相遇。小星家和小明家相距多少米?
画图
思考
由上图可知,小星走的路程与小明走的路程之和就是小星家与小明家之间的距离,先分别求出他们各自走的路程,再加到一起就是两家之间的距离。也可以先求出两人的速度和,再乘相遇时间,即可得到路程和。
作答
方法一:60x5+64x5=620(米) 方法二:(60+64)x5=620(米) 答:小星家和小明家相距620米。
点拨
路程和=速度和x相遇时间。
第28讲 追及问题
问题
两个人从两地同向而行,经过一段时间后面的人追上前面的人。
典例
在上学的路上,方方发现乐乐在他前面150米处,于是以每分钟80米的速度向他追去。已知乐乐每分钟走50米,方方几分钟能追上乐乐?
画图
思考
方方每分钟比乐乐多走80-50=30(米),也就是方方和乐乐的距离每分钟能缩短30米,一共需要缩短150米才能追上乐乐,只要求出150米中有几个30米,就能求出方方要用几分钟追上乐乐。
作答
150÷( 80 -50) = 5 (分) 答:方方5分钟能追上乐乐。
点拨
追及时间=路程差÷速度差。
第29讲 火车过桥问题
问题
火车通过一座桥,求桥长或通过桥要用的时间。
典例
一列长360米的火车用8秒经过了路边的一棵树,如果这列火车以相同的速度通过一座长1260米的大桥,那么需要多长时间?
画图
在火车开始上桥和完全下桥时车尾(或车头)的位置各插一面旗,根据题意画出路线图,以在车尾插旗为例,画图如下。
思考
由上图可知,从车头上桥到车尾离桥,火车行驶的路程为两面旗之间的距离,也就是“火车长+桥长”。火车通过一棵树行驶的路程是火车长,由此可以求出火车的速度,用火车过桥的路程除以火车的速度就能得到火车过桥所需的时间。
作答
(360 +1260) + (360+8)=36 (秒) 答:需要36秒。
点拨
火车通过大桥的路程=火车长+桥长。
第30讲 年龄问题(二)
问题
两人的年龄在几年前或几年后存在倍数关系。
典例
爷爷和爸爸的年龄和是100岁,当爷爷像爸爸现在这样大时,爸爸的年龄正好是爷爷的一半。爷爷今年多少岁?
画图
思考
爷爷像爸爸现在这样大时,爸爸的年龄是爷爷年龄的一半,因为年龄差是不变的,所以年龄差和爸爸当时的年龄相同,由图可得爷爷和爸爸今年的年龄和是5个年龄差,由此可以求出年龄差,进而可以求出爷爷今年的年龄。
作答
100÷ ( 2 + 3) = 20 (岁) 20×3 =60(岁) 答:爷爷今年60岁。
点拨
年玲差永远不变,找到年龄差和几年前或几年后其中一人年龄的倍数关系是关键。
第31讲 植树问题
问题
已知距离、间隔数、间隔长度三个量之中的两个量,求第三个量。
典例
在一条长100米的公路一侧植树,从一端开始每隔10米栽一棵, 两端都栽,一共要栽多少棵树?
画图
思考
间隔长度是10米,公路的总长度是100米,根据“间隔数=距离÷间隔长度”可以求出间隔数,因为两端都栽,所以“棵数=间隔数+1”
作答
100÷10+1=11(棵) 答:一共要栽11棵树。
点拨
两端都栽,棵数=间隔数+1。
第32讲 鸡兔同笼问题(一)
问题
:已知鸡和兔的总数量和总腿数,求鸡和兔各有多少只。
典例
鸡兔同笼,共有14个头,38条腿。鸡和兔各有多少只?
画图
思考
由上图可知,14只鸡只有28条腿,比实际的少了38-28=10(条),这是因为假设中把兔子算成了鸡,每只鸡比兔子少4-2=2(条)腿,只要把10÷2=5(只)鸡变回兔,即可把腿数加回来。
作答
兔:(38-14x2)÷(4-2)=5(只) 鸡:14-5=9(只) 答:鸡有9只,兔有5只。
点拨
假设全部是鸡时,用相差的总腿数除以2即可得到兔的数量。
第33讲 鸡免同笼问题(二)
问题
鸡(或兔)的数量是兔(或鸡)的若干倍的鸡兔同笼问题
典例
鸡兔同笼,免的数量是鸡的3倍,一共有280条腿。鸡和兔各 有多少只?
画图
用“O”表示头,用“/"表示腿,因为兔的数量是鸡的3倍,所以可以把3只兔和1只鸡打包分成一组,画图如下。
思考
由上图可知,每一组鸡和兔的腿数是3x4+2=14(条),一共可以分成280÷14=20(组)。因为每组中有3只兔和1只鸡,所以一共有3x20=60(只)兔和1x20=20 (只)鸡。
作答
3x4+2=14(条) 280÷14=20 (组) 鸡:1x20=20 (只) 兔:3x20=60(只) 答:鸡有20只,兔有60只。
点拨
组数=总腿数÷每组腿数之和。
第34讲 最优化问题
问题
已知做若干件事情需要多长时间,求完成这些事情至少需要多久。
典例
红红帮妈妈做家务。已知扫地需要8分钟,拖地需要10分钟,擦桌子需要5分钟,用洗衣机洗衣服需要30分钟,晾衣服需要3分钟。红红帮妈妈做家务至少需要多长时间?
画图
用流程图表示全过程如下
思考
要想让红红尽快完成家务,能同时做的事情尽量同时做。洗衣机洗完衣服之后,才能晾衣服,在用洗衣机洗衣服的过程中,可以扫地、拖地、擦桌子。
作答
30+3=33(分) 答:红红帮妈妈做家务至少需要33分钟。
点拨
解决合理安排时间的问题,主要是要合理安排工作的顺序,明确先 做什么,后做什么,哪些事情可以同时做。
第35讲 策略问题
问题
已知双方的实力和一方的出场顺序,求另一方必胜的策略。
典例
四(1)班和四(2)班举行百米短跑对抗赛。已知四(1)班的3名队员的最好成绩分别是1号14秒2,2号14秒7,3号15秒1;四(2)班的3名队员的最好成绩分别是1号14秒5,2号14秒8,3号15秒6。比赛规则是一对一分别比赛,胜一次,得1分。最后结果是四(2)班以2比1获胜。你知道四(2)班是如何取胜的吗?请将上表补充完整。
画图
思考
因为四(1 )班成绩最好的队员出现在第一场,所以四(2)班第一场 安排成绩最差的队员,第一场四(2)班输;第二场和第三场,四(2 )班 队员的成绩都要比四(1 )班队员的好,这两场四(2)班获胜。
点拨
先以最弱的对最强的,然后依次应对。
第36讲 盈亏问题
问题
把一定数量的物品平均分给若干个人,可能分完、有剩余或不够分。
典例
老师把一些苹果分给小朋友,如果每人分12个,就多出5个;如果每人分14个,就缺5个。一共有多少个小朋友?多少个苹果?
画图
思考
由上图可知,两种分法相差5+5=10(个)苹果,总人数是一样的,因为第二种分法比第一种分法每人多分了14-12=2(个)苹果,这才导致第二种分法比第一种分法多需要10个苹果,所以总共有10÷2=5(个)小朋友,根据总人数即可求出苹果的数量。
作答
(5+5)÷(14-12)=5(个) 12x5+5=65 (个)或14x5-5=65 (个) 答:一共有5个小朋友,65个苹果。
点拨
两种分法,一种有剩余(盈),一种不够(亏)时,(盈数+亏 数)÷分配差=份数。
第37讲 逻辑椎理问题(二)
问题
根据已知条件,逐步推出结论。
典例
红红、丽丽和莹莹都戴着帽子,她们戴的帽子一顶是红色的,一顶是黄色的,一顶是蓝色的。红红说:“我戴的不是黄色帽子。”丽丽说:“我戴的既不是黄色帽子,也不是蓝色帽子。”红红、丽丽和莹莹戴的分别是什么颜色的帽子?
画图
思考
红红戴的不是黄色帽子,在黄色下面画“x”。丽丽戴的既不是黄色帽子,也不是蓝色帽子,在黄色和蓝色下面画“x”,只剩红色一种可能,因此丽丽戴的是红色帽子,由此可知红红和莹莹戴的不是红色帽子。此时,红红只剩戴蓝色帽子一种可能,进而推出莹莹只剩戴黄色帽子一种可能。
点拨
在推理的过程中,逐一排除不可能的结果,可以得出正确答案。
第38讲 平均数问题(二)
问题
根据新加入的未知数对一组数原来的平均数的影响,求未知数。
典例
在学校组织的小主持人比赛中,甲、乙、丙、丁四位同学的得分分别是8.5分、9.0分、8.6分、8.7分,第五位同学小艺的分数比他们五个人的平均分多0.8分,小艺得了多少分?
画图
思考
先求出甲、乙、丙、丁四人的平均分,再把小艺比五人的平均分多的0.8分平均分给其他四人,可以求出五人的平均分,进而求出小艺的分数。
作答
五人的平均分:(8.5+9.0+8.6+8.7)÷4+(0.8÷4)=8.9(分) 小艺的得分:8.9+0.8=9.7(分) 答:小艺得了9.7分。
点拨
先求出四人的平均分,再通过移多补少法确定五个人的平均分。
第39讲 方程问题
问题
题目中有关于未知数的等量关系。
典例
甲、乙两车从同一地点自西向东行驶,甲车每小时行驶48千米,乙车每小时行驶72千米,甲车开出2小时后乙车开出,几小时后乙车追上甲车?
画图
思考
由图可知,等量关系是“甲车行驶的路程=乙车行驶的路程”,而甲车行驶的路程=甲车2小时行驶的路程+甲车x小时行驶的路程,由此列出方程求解。
作答
解:设x小时后乙车追上甲车。 48x2+48x=72x 96 +48x=72x 24x=96 x=4 答:4小时后乙车追上甲车。
点拨
找准等量关系,追上时,甲车行驶的路程=乙车行驶的路程。
第40讲 因数与倍数问题
问题
需要用公因数、公倍数来解决的问题。
典例
已知两个自然数的最小公倍数是90,最大公因数是9。这两个自然数分别是多少?
画图
根据短除法,设这两个自然数分别是A和B,画图如下
思考
因为A和B的最小公倍数是90,所以9ab= 90, ab = 10,其中a与b互质,可得10= 1×10 = 2×5时,最后将a和b分别乘9即可求出两个自然数 分别是多少.
作答
90÷9 = 10 10 = 1×10 = 2×5 第一种:1×9= 9, 10×9 = 90 第二种:2×9= 18 5×9 =45 答:这两个自然数分别是9和90或18和45。
第41讲 分段计费问题
问题
已知计费规则,根据数量求费用或根据费用求数量。
典例
A市为鼓励居民节约用水,对居民家庭使用的自来水实行阶梯收费: 月用水量不超过10立方米(包含10立方米)的部分,每立方米2.5元; 超过10立方米且不超过15立方米(包含15立方米)的部分,每立方米3.75元; 超过15立方米的部分,每立方米7.5元。 小红家3月份的水费是88.75元,她家3月份用了多少立方米水?
画图
思考
由上图可知,前两段用水量所需的费用之和小于总费用,因此小红家3月份的用水量一定超过了15立方米。先求出超过15立方米的部分的费用,再根据“总价÷单价=数量”求出超过15立方米的部分有多少立方米,最后加上前15立方米,就是用水的总量。
作答
10x2.5+(15-10)x3.75=43.75 (元) 43.75元〈88.75元,故小红家3月份的用水量超过了15立方米。 (88.75-43.75)÷7.5+15=21(立方米)答:她家3月份用了21立方米水。
点拨
先计算出最后一个阶梯之前用水量的费用,再与总费用进行比较, 判断出总用水量达到了哪个阶梯。
第42讲 找次品问题
问题
从一些外观一样的物品中,找出混入的质量不同的物品。
典例
小明的妈妈买了9盒同样包装的饼干,其中8盒质量相同,另有1盒是次品(次品轻一些)。假如用天平称,至少称几次能保证找出这盒饼干?
画图
把9盒饼干进行编号,将它们平均分成3份,用天平进行比较。
思考
由上图可知,任意选其中2份分别放在天平左右两边的托盘上,天平会出现两种情况。从找出来的含有次品的那3盒饼干中任取2盒,分别放在天平左右两边的托盘上,根据平衡情况即可找到次品。
点拨
将待测的物品平均分成3份,每次称其中的2份,逐渐缩小范围。
第43讲 牛吃草问题
问题
牛在牧场吃草,同时草在匀速生长,求牧场的草够牛吃多少天。
典例
一片牧场上的草每天都匀速生长,假设1头牛1天吃1份草,这些草可供20头牛吃10天或24头牛吃6天。这些草可供18头牛吃多少天?
画图
思考
由上图可知,20头牛10天吃草20x10=200(份),24头牛6天吃草24x6=144(份),两次相差200-144=56(份),因为草多生长了10-6=4(天),所以草每天生长56÷4=14(份),原有的草是200-10x14=60(份)。18头牛每天吃18份草,草每天生长14份,实际每天减少18-14=4(份),用原有草的份数除以每天减少的份数,即可求出可供吃的天数。
作答
(20x10-24x6)÷(10-6)=14(份) 20x10-14x10=60 (份) 60÷(18-14)=15(天) 答:可供18头牛吃15天。
点拨
每天生长的草的份数=份数差÷天数差; 吃的天数=原有的份数÷每天实际减少的份数。
第44讲 容斥问题
问题
在一个整体中存在若干个集合,集合与集合之间存在重复出现的情况。
典例
一次小测试,全班36人冲,做对第一题的有21人,做对第二题的有18人,每人至少做对一题,两题都做对的有多少人?
画图
根据题意,用两个存在重叠部分的图形分别表示做对第一题的人和做对第二题的人,重叠部分就是两题都做对的人。
思考
由上图可知,21+18=39(人),比总人数多,因为两题都做对的学生被重复计算了一次,因此只要用39减去总人数就是两题都做对的人数。
作答
21 + 18-36=3 (人) 答:两题都做对的有3人。
点拨
两题都做对的人数=第一题做对的人数+第二题做对的人数-全班总人数。
第45讲 逻辑椎理问题(三)
问题
题目中存在错误信息,需要运用逻辑推理的方式进行解答。
典例
知识竞赛上,小明、小华、小强三人中,一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌。胡老师猜测:小明得金牌;小华不得金牌;小强不得铜牌。结果胡老师只猜对了一个,那么三人各得到什么奖牌?
画图
思考
假设“小明得金牌”猜对,可得小华得金牌,小强得铜牌,连线如图1,得金牌的有两人,存在矛盾;假设“小华不得金牌"猜对,可得小明不得金牌,小强得铜牌,此时小华和小明都只能得银牌,连线如图2,存在矛盾;假设“小强不得铜牌”猜对,可得小明不得金牌,小华得金牌,此时小强只能得银牌,小明得铜牌,连线如图3,假设成立。
点拨
逐一假设其中一个猜测正确,通过连线分析,排除存在矛盾的假设,最终找到正确答案。
第46讲 行程综合问题(一)
问题
信息中有可以求出路程、时间或速度的隐藏条件。
典例
甲、乙两列火车同时从A地开往B地,甲车9小时可以到达,乙车比甲车每小时多行驶24千米,比甲车提前2小时到达。求A、B两地间的距离。
画图
思考
乙车比甲车提前2小时到达,也就是乙车行驶完全程需要9-2=7(时),当乙车到达B地时,比甲车多走了24x7=168(千米),甲车走完这段路还需要2小时,由此可得甲车的速度,进而求出A、B两地间的距离。
作答
24x (9-2)=168(千米) 168÷2x9=756 (千米) 答:A、B两地间的距离是756千米。
点拨
通过快车提前到达的时间和两车的速度差可以求出慢车还剩的路程, 根据慢车走这段路用的时间,即可求出慢车的车速,进而求出全程的距离。
第47讲 比例问题(一)
问题
已知总数和其中两组部分量的比,求某个部分量。
典例
小红、小新和小明一起集邮,小红与小新邮票数的比是3:4小新与小明邮票数的比是6:5。三人一共有62枚邮票,小明有多少枚邮票?
画图
两组比中都有小新,可以根据比的基本性质,找到两个比中小新所占份数的最小公倍数,使小新所占的份数相同,进而得到三人邮票数的连比。
思考
由上图可知,小红的邮票数:小新的邮票数:小明的邮票数=9:12:10
作答
小红的邮票数:小新的邮票数:小明的邮票数=9:12:10 62÷(9+12+10)x10=20(枚) 答:小明有20枚邮票。
点拨
根据比的基本性质将两组比化成连比,进而找到部分量与总量之间的关系。
第48讲 比例问题(二)
问题
题目中存在等量关系,可以转换成比的形式。
典例
六年级参加数学竞赛的学生共有38人,其中,男生人数的3/4与女生人数的5/6相等。六年级参赛的男生、女生各有多少人?
画图
思考
作答
点拨
第49讲 利润问题
问题
根据商品的成本、售价、利润之间的关系,求其中的未知量。
典例
成功文具店进了200个笔记本,进价是每个5元,按:40%的利润定价。当售出160个后,文具店进行促销,把余下的笔记本按定价的60%出售。文具店售完这批笔记本可以获得利润多少元?
画图
根据题目信息可知,有160个笔记本是以5x(1+40%)=7(元)出售的;有200-160=40(个)笔记本是按照(7x60%)元出售的,由此画出如下线段图。
思考
先求出两部分一共售出的钱数,再减去总成本,即可求出总利润。
作答
5x (1+40%)=7(元) 160x7+(200-160)x(7x60%)-200x5=288(元) 答:文具店售完这批笔记本可以获得利润288元。
点拨
当商品分多个售价销售时,要算清楚每个售价对应的销量。
第50讲 纳税问题
问题
已知收入、个税免征额、税率等,求应纳税额。
典例
王叔叔这个月的工资是7200元,扣除5000元的个税免征额后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税,他这个月应该缴纳个人所得税多少元?
画图
思考
由上图可知,应纳税所得额为7200-5000=2200(元),根据“应纳税额=应纳税所得额x税率”,可以求出王叔叔应纳税2200x3%=66(元)。
作答
(7200-5000)x3%=66 (元) 答:他这个月应该缴纳个人所得税66元。
点拨
先明确应纳税所得额是多少,再利用公式进行计算。
第51讲 储蓄问题
问题
已知本金、利率、利息、存期之间的关系,求其中的未知量。
典例
陈叔叔把20000元存人银行,存期为五年定期,当时的年利率是2.65%。到期后,陈叔叔有多少元利息?
画图
思考
由上图可知,陈叔叔的本金是20000元,每年的利息为本金的2.65%,存期为5年,根据“利息=本金x利率x存期”,可知到期后,陈叔叔有20000x2.65%x5=2650(元)利息。
作答
20000x2.65%x5=2650 (元)答:到期后,陈叔叔有2650元利息。
点拨
先明确本金、利率和存期分别是多少,再利用“利息=本金x利率x存期”求出到期后可以得到的利息是多少。
第52讲 浓度问题
问题
将两种不同浓度的溶液混合成新浓度的溶液,求两种溶液所需的量。
典例
将浓度为20%的盐水与浓度为5%的盐水混合,配制成浓度为15%的盐水600克,需要浓度为20%的盐水和浓度为5%的盐水各多少克?
画图
用十字交叉法表示出浓度为20%的盐水、浓度为5%的盐水和混合溶液的浓度。
思考
由上图可知,浓度为20%和5%的盐水与混合溶液的浓度差分别为5%和10%,因此需要的浓度为20%的盐水和浓度为5%的盐水的质量比就是10%:5%,再根据混合溶液的质量即可求出结果。
作答
点拨
利用十字交叉法求出所需要的两种溶液的质量之比是解题的关键。
第53讲 概率问题
问题
已知几种情况出现的可能性大小相同,求某一事件发生的概率。
典例
有三辆行驶的汽车,它们经过某十字路口时,可能直行,也可能向左转或向右转。如果这三种情况出现的可能性大小相同,那么这三辆汽车经过这个十字路口时,全部直行的概率是多少?
画图
思考
由上图可知,经过这个十字路口时,每辆车都有3种可能出现的情况,从而得出所有可能出现的情况有3x3x3=27(种),全部直行的情况只有1种,由此计算出全部直行的概率。
作答
点拨
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的m可能性都相等,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率为m/n
第54讲 流水行船问题
问题
物体在水流或风中运动的问题。
典例
甲、乙两港口之间的河长168千米,一艘货船从甲港开往乙港,顺水行驶6小时到达,从乙港返回甲港,逆水行驶8小时到达。这艘货船在静水中的船速是多少?这条河的水速是多少?
画图
思考
先根据“路程÷时间=速度”分别求出顺水速度和逆水速度,再利用“船速=(顺水速度+逆水速度)÷2”和“水速=(顺水速度-逆水速度)÷2”分别求出船速和水速。
作答
(168÷6+168÷8)÷2=24.5 (千米/时) (168÷6-168=8)÷2=3.5(千米/时) 答:这艘货船在静水中的船速是24.5千米/时,这条河的水速是3.5千米/时。
点拨
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
第55讲 发车问题
问题
关于汽车间距、速度、发车的时间间隔之间关系的问题。
典例
乐乐在一条马路上骑行,速度是2米/秒,路上不断迎面遇到公交车,已知公交车的速度是10米/秒,每隔5分钟发一辆车。乐乐每隔多少秒会和公交车相遇一次?
画图
思考
乐乐从与公交车1的相遇点出发,与公交车2相向而行,根据“相遇时间=路程和÷速度和”可知,乐乐与公交车2的相遇时间=相邻两车的间距÷乐乐与公交车的速度和。
作答
5分钟=300秒 300x10=3000(米) 3000÷ (10+2)=250 (秒) 答:乐乐每隔250秒会和公交车相遇一次。
点拨
将“车与人迎面走”的问题转化为相遇问题理解。
第56讲 工程问题(一)
问题
关于工作总量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。
典例
加工一批零件,甲、乙两人合作30天可以完成,他们共同做了6天后,甲休息了,由乙继续做了40天才完成。如果这批零件由甲单独做,需要多少天完成?
画图
思考
作答
点拨
求出乙单独做的工作量是解题关键。
第57讲 工程问题(二)
问题
关于工作总量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。
典例
某项工程,甲队单独完成需要10天,乙队单独完成需要15天,丙队单独完成需要20天。开始时三支工程队一起做,中途因工作需要,甲队撤走了,结果一共用了6天完成这项工程。甲队实际工作了多少天?
画图
思路
画一条线段表示工作总量,虽然甲队中途撤出,但是乙队和丙队从头干到了尾,也就是乙队和丙队都工作了6天,由此求出乙队和丙队一共完成的工作量。 用工作总量“1”减去乙队和丙队一共完成的工作量就是甲队完成的工作量,根据“工作总量÷工作效率=工作时间”求出甲队的工作时间。
作答
点拨
明确乙队和丙队从头干到了尾,由此求出两队的工作总量。
第58讲 鸽巢问题
问题
几只鸽子飞进若干个鸽巢里,求总有1个鸽巢里至少飞进的鸽子数量。
典例
4只鸽子飞进3个鸽巢里,总有1个鸽巢里至少飞进了几只鸽子?
画图
思路
假设每个鸽巢里先飞进了1只鸽子,那么3个鸽巢就飞进了3只鸽子,还剩下1只鸽子。无论剩下的1只鸽子飞进哪一个鸽巢,都总有1个鸽巢里有1+1=2(只)鸽子。
作答
4÷3=1(只)......1(只) 1+1=2(只) 答:总有1个鸽巢里至少飞进了2只鸽子。
点拨
m只鸽子任意飞进n个鸽巢里(m和n是非零自然数,且2n>m>n),总有1个鸽巢里至少飞进了2只鸽子。
第59讲 扶梯问题
问题
关于人和扶梯共同运动的行程问题。
典例
商场的自动扶梯由下往上匀速运行。兄妹两人从底端乘自动扶梯上楼,他们觉得扶梯运行的速度太慢,就在运行的扶梯上向上行走。哥哥每秒向上走2级台阶,妹妹每秒向上走1级台阶,结果哥哥用了20秒到达楼上,妹妹用了30秒到达楼上。当扶梯静止时,扶梯的可见台阶有多少级?
画图
当人顺着扶梯的运动方向走台阶时,人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度,由此分别画出哥哥和妹妹上行速度的示意图。
思考
因为两人走的是同一个自动扶梯,所以他们从下到上上升的高度是相同的,因此两人上升的台阶数也是相同的,这个台阶数就是扶梯静止时的可见台阶数。设扶梯的运行速度为x级/秒,根据“哥哥走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数=妹妹走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数"列出方程,求出结果。
作答
解:设扶梯的运行速度为x级/秒。 20x(2+x)=30x(1+x) 40 +20x=30 +30x x=1 20x(2+1)=60 (级)或30x(1+1)=60(级) 答:当扶梯静止时,扶梯的可见台阶有60级。
点拨
当人顺着扶梯的运行方向走时,扶梯静止时的可见台阶数=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数=时间x人的速度+时间x扶梯速度=时间x(人的速度+扶梯速度)。
第60讲 行程综合问题(二)
问题
两个或多个对象之间的多次相遇问题。
典例
甲、乙两车分别从相距400千米的A、B两地同时出发,相向而行,甲、乙两车的速度比是3:5,它们分别到达对方的出发地后立即返回自己的出发地。两车第一次的相遇点与第二次的相遇点相距多少千米?
画图
思考
由图可知,两车从出发到第二次相遇共走了3个全程,因为时间相同,所以速度比等于路程比,可以分别求出第一次相遇时慢车(甲车)行驶的路程和第二次相遇时慢车(甲车)行驶的路程,进而求出两次相遇点的 距离。
作答
点拨
两车多次相遇时,可以先确定它们的路程和一共是几个全程,再进行计算。