数量关系-超格理论实战笔记

这是一篇关于数量关系-超格理论实战笔记思维导图，2027年超格理论实战知识点、例题，根据超格高照老师授课内容整理，已完结。把数量关系划分为倍数特性、方程问题、星期日期周期问题、工程问题、几何问题、经济问题、容斥原理、最值问题八大板块。倍数特性包含整除型、余数型、比例型、增长率型、给定公式型，配套对应的读题思路；方程问题分为普通一元方程、多元方程、不定方程、不定方程组；星期日期周期问题涵盖周期余数、周期相遇、星期日期计算；工程问题分出具体单位、完工时间、效率比例、统筹工程、牛吃草五类题型。几何问题包含基础知识点、三角形、最短路径、几何最值、同比例放缩、几何最优构造；经济问题有基础经济、分段计费、经济函数最值、经济函数图形；容斥原理包含两集合、三集合、画图法、容斥结合不定方程求最值、容斥搭配周期；最值问题包含最不利构造、构造数列、多集合反向构造、最值临界思维，同时标注容斥原理优先用公式，复杂情况画图辅助解题。整套体系完整，清晰划分题型，方便考生分类刷题、总结解题套路。

数量关系

• 1. 倍数特性
  • ①看问题确定主体 ②找题干中与主体有关信息 ③找不到再整体看
  • （一）整除型
    • 题型识别：题目中存在平均分配、整数倍
    • 解题方法：若A=B×C（BC均为整数），那么，A能被B整除，且A能被C整除
    • 口诀法（常用于3459）
      • 3/9 → 看各位数字之和能否被3/9整除
        • 弃三法弃九法（加到3、9就省略）
        • eg：12345 1+2=3，删除 3→跳过（直接不看） 4+5=9，删除
      • 2/5 → 看数字末一位能否被2/5整除
      • 4/25 → 看数字末两位能否被4/25整除
      • 8/125 →看数字末三位能否被8/125整除
    • 拆分法（没口诀，常用于7、11、13）
      • 一个数=接近且明显能被整除的数±零头，只看零头
      • 例：623÷7=7×90-7。零头为7
    • 因式分解 （复杂倍数，常用于6、12、18、24等）
      • 因式分解成两个互质（互质指两数没有公约数）的数，同时满足能被这两个数整除。
      • 解释说明：12=3×4✅️=2×6❌️（26之间还有2为公约数）
      • eg：12=3×4 →352÷12=352÷3÷4 →÷3使用口诀法
    • 举个栗子
  • （二）余数型（均分思想，多退少补）
    • 题型识别：每人均分多几个，少几个
    • 解题方法：若总数= ax + b，则（总数 -b ）能被a整除。（a、x均为整数）
      • 举个栗子
    • 余数定理：余同加余，和同加和，差同减差；公倍数做周期
      • （1）余同加余，例如“一个数除以7余1，除以6余1，除以5余1” ，可见，所得余数恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1；
      • （2）和同加和，例如“一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3” ，可见，除数与余数的和相同，取此和8，被除数的表达式为210n+8；
      • （3）差同减差，例如“一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1” ，可见，除数与余数的差相同，取此差4，被除数的表达式为210n-4；
      • 注意：前面的210是5、6、7的最小公倍数，此即为公倍数做周期
      • 举个栗子
  • （三）比例型
    • 题型识别：分数、比例、百分数、倍数
    • 对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义。人、车、年龄等
    • 当m、n互为质数，即最简分数时
      • a:b=m:n：a是m的倍数，b是n的倍数，a±b是m±n的倍数
    • eg： 男：女=7:3（最简分数）。男生是7的倍数，女生是3的倍数，全班人数是10的倍数，男女生人数差是4的倍数
    • 扩展知识：最简分数 3与4之间没有公约数，因此互为质数（最简分数） 12与18之间有公约数6，因此不是最简分数
  • （四）增长率型
    • 题型识别：基期、现期、增长率、增长量（资料分析的表述特征）
    • 解题方法：转化为比例型作答
    • 举个栗子：普通增长率
    • 举个栗子：混合增长率
    • 举个栗子
  • （五）给定公式型
    • 题型识别：题目中给出公式，需要运用所给公式进行解答
    • 举个栗子
• 2. 方程问题
  • 1. 普通方程：一个未知数X
    • 设未知数技巧
      • （1）求谁设谁（2）设中间量（3）设比例数（4）设小不设大
    • 列方程
      • 技巧：约分→让大数变小数
    • 解方程
      • （1） 好解就解，快速解方程
      • （2） 不好解，别瞎解，代入
    • 举个栗子
      • 举个栗子
  • 2. 普通方程：多个未知数
    • 普通方程式：设多个未知数，求未知数比例
      • 举个栗子
    • 方程组：抓住问题消元求解，不好解就代入
      • 举个栗子
  • 3. 不定方程
    • 普通不定方程（两个未知数，一个方程式）
      • 方法一：奇偶特性
        • eg：3x+4y=25 25为奇数，4y一定为偶数，则3x一定为奇数，排除后没有答案就代入
        • 举个栗子
      • 方法二：倍数特性
        • ax+by=M，当a或b与M有公因子时
        • eg：7x+3y=60 3与60有公因子3，7x=60-3y。60-3y一定是3的倍数，则x一定是3的倍数，排除后没有答案就代入
      • 方法三：尾数法
        • ax+by=M，当a或b尾数是0时
        • eg：37x+20y=271 20y尾数一定为0,则37x尾数需为1，x的尾数一定为3。
      • 方法四：代入法
        • 举个栗子
      • 快速技巧：此消彼长。eg：当问y最大时，y最大，x尽量的小
    • 多个未知数的不定方程（三个未知数，一个方程式）
      • 解题方法：倍数特性+代入
      • 举个栗子
  • 4. 不定方程组（三个未知数，两个方程式）
    • 考法1：整数型：未知数一定是整数
      • 先消元转化为不定方程，再按不定方程求解
      • 举个栗子
    • 非限定整数型：未知数可以是小数（单价/时间）
      • 凑系数（不好想）
      • 赋零法：其中一个未知数为0（谁不好算谁为零）
      • 举个栗子
• 3. 星期日期周期问题
  • 1. 周期余数
    • 题型特征：出现循环或周期，问多少个（往往数据很多或者数字很大，找规律即可
    • 解题思路
      • （1） 找周期：确定周期的起点和长度
      • （2） 算余数：总数÷周期长度=几个周期……余数（n）
      • （3） 做等价：第几个：余几除几（无余数，周期最后一个）
    • eg：123123123………… 周期是3，第100个数为100÷3=33……1（第100个数为1）
  • 2. 周期相遇
    • 题型特征：出现多个小周期，求再次相遇
    • 解题思路
      • 最小公倍数相遇
        • eg：A每3天锻炼一次，B每4天锻炼一次……12天相遇
        • 【补充】最小公倍数： 最外侧所有数相乘
    • 注意：每隔 N 天 = 每 N+1 天
      • 工作4天休息1天→周期为5
        • eg：A每隔3天锻炼一次，B每隔4天锻炼一次……20天相遇
      • 星期问题，遇到周期为7，则每次相遇的星期数相同
    • 举个栗子
    • 举个栗子
  • 3. 星期日期问题
    • 基础知识
      • 大月31天（一三五七八十腊），小月30天，2月28/29天
      • 平闰年判定
        • 平年365天（2月28天），闰年366天（2月29天）
        • 年份能被4整除的为闰年（2024、2028），否则为平年，整百的年份需要被400整除（2000）
        • 整年推断：过一个平年星期数加1，过一个闰年星期数加2（可以简记为52周01天，闰年02天）
      • 12生肖：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴酉鸡、戌狗、亥猪（本命年以12为周期）
    • 题型特征：给出一段时间内有若干个周几，推算某一天为周几
      • 补充：“一个自然月内最多有……”，这个自然月按照31天计算
    • 解题思路
      • 结论：平年星期数+1，闰年星期数+2，大月星期数+3，小月星期数+2
      • 同一个星期数，日期差为7的倍数
        • eg：2号是星期二，则9号是星期二（9-2=7），16号是星期二（16-2=14=2×7）
      • 间隔月转化为同月做差
        • 【补充】天数问题:只顾一头
          • 6月29日至7月6日为7天：1（6月30日）+6（至7月6日）=7（不加6月29日）
          • 3月31日至10月1日共184天：30+31+30+31+31+30+1=184（不加3月31日）
        • 举个栗子
      • 大月+3，小月+2
        • 原理：间隔的日期除以7得到的余数，余数是几就加几 大月：31÷7=4…3，小月：30÷7=4…2
        • eg：若5月31日是星期日 6月30是星期二（星期日+2），7月31是星期五（星期二+3），8月31是星期一（星期五+3）
        • eg：若5月20日是星期日 6月20是星期二（间隔30天+2），7月31是星期五（间隔31天+3），8月31是星期一（间隔30天+3）
      • 每连续7天必有周一到周日各1天 每连续28天必有四周，必有周一到周日各4天
        • 日期与星期有对应
          • 除7看余数
        • 日期与星期没有对应
          • 天数÷7后的余数n，可以放在月首也可以放在月尾
            • 月前=月后：月首n天=月尾n天
          • eg：一个月有31天，剩余周二周三周四，n=3，可以推出： 1日是周二，2日是周三，3日是周四 29日是周二，30日是周三，31日是周四
          • eg：一个月有30天，剩余周二周三，n=2，可以推出： 1日是周二，2日是周三 29日是周二，30日是周三
          • 举个栗子
      • 举个栗子
• 4. 工程问题
  • 题型一：具体单位型
    • 题型识别：有具体的效率或者总量（总量=效率×时间，W=P×T）
    • 解题方法：列方程，根据问题求
    • 举个栗子
  • 题型二：完工时间型
    • （一）普通完工型
      • 题型特征：多个主体的完工时间（eg：多个主体完工需要多长时间）
      • 解题方法：
        • 第一步：赋值总量（公倍数）
        • 第二步：求效率
        • 第三步：列表或列方程求解（推荐列表）
      • 举 个 栗 子
    • （二）工程费用
      • 题型特征：有工期时间的限制（eg：要求在X天完工，至少需要多少费用）
      • 解题方法：费用最小，让便宜的工作最久
        • 什么是便宜：每份工作量最便宜（将费用除以速度，得到1速度的单价） eg： 照照一天搬3块砖1200元（400元/砖），上岸一天搬2块砖1000元（500元/砖），照照更便宜（400＜500）
      • 举个栗子
    • （三）周期循环工程
      • 题型特征：循环工作
      • 解题方法：确定周期
      • 举个栗子
  • 题型三：效率比例型
    • 题型特征：题目中存在效率比例信息
      • 方式一：直接给
        • eg：甲：乙=3:4
        • eg：甲的效率是乙的2.5倍→甲：乙=5:2
        • eg：甲的效率比乙的效率高25%→甲：乙=4:3
        • 举个栗子
      • 方式二：间接给：通过工作量
        • eg：甲4天的工作量等于乙3天的工作量→甲：乙=3:4
        • eg：甲乙两个工程队合作完成某工程需36天，若甲工程队先做10天，剩下工程两队合作30天完成 36甲+36乙=10甲+30甲+30乙→甲：乙=3:2
        • 举个栗子
      • 方式三：给具体人数或机器数
    • 解题方法：赋值效率or 赋值比值
  • 题型四：统筹工程问题
    • 题型特征：两人完成不同的工作，要求时间最少or工作量最大
    • 解题方法：
      • 第一步：列表梳理每人的工作效率
      • 第二步：计算每件事的效率比，尽量把每件事交给效率较快的人
        • 情况一：各自擅长
        • 情况二：相对擅长
      • 第三步：结合题干数据解题
      • 无脑方法：抓住问题，找一个相对效率高的做
    • 举个栗子
  • 题型五：牛吃草
    • 常考话题：牛吃草、资源消耗、窗口服务、排队问题
    • 公式：y=(N-x)×T
      • 考法
        • 题目：一片草地每天都以平均速度生长，已知这片草地可以供25头牛吃12天，或者供40头牛吃6天
        • 考法①：草的生长速度：y=(25-x)12=(40-x)6→x=?(求x）
        • 考法②：这片草地的草量：y=(25-10)12=?（求y）
        • 考法③：这片草地可以供30头牛吃多少天：180=（30-10）T→求T
        • 考法④：草地上有28头牛，需要多少天，原有草地剩40%：180×50%=(28-10)T→求T
        • 考法⑤：要想可持续发展（草永远吃不完），每天最多放多少头牛？→当N=T时
    • 举个栗子：牛吃草
    • 举个栗子：排队问题
    • 举个栗子：资源消耗问题
• 5. 几何问题
  • 一、 基础知识
    • 多边形内角和=（n-2）×180°
    • 拉窗帘原理：底固定高相同面积不变（适用于平行四边形、梯形、三角形）
  • 二、 三角形
    • 基础知识
    • 考法一览
      • 题型一：直角三角形
        • 举个栗子
      • 题型二：角度（正弦、余弦、正切、余切）
      • 题型三：坐标构造
      • 题型四：三角形同底或同高（蝴蝶定理）
        • 蝴蝶定理
          • 一个四边形ABCD，对角线AC和BD相较于O 结论： ①S头×S尾=S翅×S翅 ②S左=S右（当AD//BC时）
        • 举个栗子
        • 举个栗子
  • 三、 最短路径
    • 考察方式：求AB两点到直线距离之和最短
    • 解题原理：两点之间线段最短
    • 解题技巧：两点异侧，直接连线；两点同侧，镜面对称后连线
  • 四、 几何最值理论
    • 立体最值
      • 立体图形中若表面积一定，越接近于球体积越大； 立体图形中若体积一定，越接近于球表面积越小。
    • 平面最值
      • 平面图形中周长一定越接近于圆，面积越大； 平面图形中面积一定越接近于圆，周长越小。
    • 长方形最值
      • 四边形周长一定时，正方形面积最大； 四边形面积一定时，正方形周长最小。
  • 五、 同比例放缩
    • 若将一个图形尺度变为原来的N倍
  • 六、 几何最优构造
    • 当a>b>c时，截面最大的情况（越接近正方形越大）→斜切长边不动，两条短边凑成尽量长的边。面积=
• 6. 经济问题
  • 一、基础经济
    • 题目特征：进价、利润、利润率、售价……
    • 公式
      • （1） 进价（成本）+利润=售价【基期+增长率=现期】
      • （2） 利润率=利润÷成本
      • （3） 进价×（1+利润率）=售价【基期×（1+r）=现期】
      • （4） 总价=单价×数量
      • （5） 定价×折扣=售价
    • 解题思路
      • （1） 若只有单价商品，优先切入点为进价； 若出现多价商品，优先切入点为商品数量
      • （2） 若出现折扣，一定要注意区分价格
    • 解题方法
      • （1） 资料分析解决经济利润问题
        • 利用：基期、现期、增长量、增长率关系
        • 线段法混合思想：利润率=利润÷成本
        • 连续涨价或跌价：r间=r1+r2+r1r2
        • A=B×C
      • （2） 方程法
        • 题型特征：有具体钱数
        • 方法
          • 列表
          • 设未知数
          • 根据钱数或者等量列式子
      • （3） 赋值法
        • 给比例求比例（好算的数）
        • 三量关系只知其一
          • 总价=单价×数量
          • 总量=效率×时间
          • 路程=速度×时间
        • 操作方式
          • 根据条件对成本或者售价进行赋值即可
          • 商品数量由比例优先赋值数量的个数
  • 二、分段计费
    • 题型特征：计费规则达到分段点后变为不同费用
      • eg：……规定：1300元以内的部分……，超出1300元部分……
    • 解题方法：先分段再汇总
      • 注：先定位分段点，讨论费用涉及哪几个分段
      • 注：设未知数时，不要设总长度为x，设最后一段为x更容易求解
  • 三、经济函数最值
    • 普通型
      • 题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总收入/总利润最高
      • 计算方法（两点式）
        • y=(a-x)(b+x)
        • 设次数，列方程，写成两括号相乘的形式
        • 求出使方程等于0解的X1、X2
        • 求出X=(X1+X2)/2时y的值
    • 函数最值变形（数形结合）
  • 四、经济函数图形
• 7. 容斥原理
  • 题型一：两集合
    • 两集合公式：A+B-A∩B=总-都不
      • 举个栗子
  • 题型二：三集合
    • 题型识别：分别给出两两集合的交集 标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=总=都不
    • 非标准型： 满足两项的为abc 满足三项的为d
      • 题型识别：出现满足两个条件 注：只满足两个条件的才符合
        • A+B+C-满足两项-满足三项×2=总-都不
        • 举个栗子
      • 题型识别：至少满足两个条件 满足两个条件+满足三个条件
        • A+B+C-至少满足两项-满足三项=总-都不
        • 举个栗子
    • 【提速技巧】尾数法：左是左，右是右，要想快，先消负
      • 举个栗子
  • 题型三：画图法
    • 能用公式用公式，不能用则画图
    • 题型识别：只参加A但不参加B；或者缺少带公式必要的数据
    • 解题方法：
      • 第一步：画圆圈
      • 第二步：标数字（从里到外，注意去重）
      • 第三步：列算式
    • 举个栗子
    • 举个栗子
  • 题型四：求最值（容斥原理结合不定方程）
    • 方法：此消彼长
    • 举个栗子
  • 题型五：容斥原理和周期结合
    • 注：求A、B、A∩B时，取整即可
    • 举个栗子
• 8. 最值问题
  • 一、 最不利构造
    • 识别：至少……保证……
    • 方法：答案=最不利情形+1，要保证同种情况至少n个，应每种情况各取（n-1)个，最后再+1
    • 注：如果有不够n-1的情况，有多少取多少，最后再加1
    • 题型一：普通最不利构造
    • 题型二：最不利构造and排列组合结合（枚举或者简单排列组合）
  • 二、 构造数列
    • 题型识别：某个主体……最……（①最……最……②排名第几……最……）
    • 方法
      • 构造一个名次，求谁设谁，反向推其他，加和求解
      • 注意：
        • 主体个数是否相同
        • 答案是非整数时，反向取整
      • 第一步：构造名次
      • 第二步：求谁设谁
      • 第三步：反向推其他（多向多的看，少向少的看）
      • 第四步：加和求解（不得尾数法）
    • 题型一：普通构造数列
      • 举个栗子：求第四重设第四重
      • 举个栗子：求最少设最少
    • 题型二：总量未知，构造数列
  • 三、 多集合反向构造
    • 题型识别：都满足的最少/至少
    • 解题思路
      • 思路一：反向（都不满足）→加和→作差
        • 注：一般当题目为至少有……都……
      • 思路二：（A1+A2+A3+……+An）-（n-1）×总量
  • 四、 最值临界思维
• 9. 等差等比问题
  • 等差数列
    • 基础知识
      • 无中项用
        • 有中项优先用（可做可猜）
          • =平均数×n
      • • n为奇数项时，为（n+1）/2
        • n为偶数项时，可看做中间两项，即
      • 若a1、a2、a3既为等差数列有为等比数列→a1=a2=a3
    • 常考题型
      • 大数列公差
        • 题型识别：季度数列、五年规划数列 、星期数列
        • 解题方法：问大数列用大数列，问小数列用小数列
        • 季度数列
        • 五年规划数列
        • 星期数列
      • 综合应用
  • 等比数列
    • 基础知识
• 10. 行程问题
• 11. 排列组合
• 12. 概率问题
• 13. 年龄问题
• 14. 溶液问题
  • 解题方法
    • 公式法
      • 溶液=溶质＋溶剂
      • 溶质＝溶液×浓度
    • 线段法
      • 部分写两边，整体写中间
      • 距离和量呈反比
      • 注意：当存在多个字母、出现分数、蒸发时，不适用线段法
      • 举个栗子
    • 提速方法
      • （1）等量溶液混合，浓度居中（两浓度的平均值）
      • （2）等浓度的溶液混合，浓度不变
  • 考法展示
    • 等量变化类：蒸发稀释类
      • 题型识别：溶质不变
        • 稀释：溶液为……n%，加一定量的水，浓度为m%，再加入等量的水，浓度为？
        • 蒸发：溶液为……n%，蒸发一定量的水，浓度变为m%，再蒸发等量的水，浓度为？
      • 解题方法
        • （1）列表（溶质＝溶液×浓度）
        • （2）赋值溶质（浓度的公倍数即可）
        • （3）求加入蒸发水的量
    • 反复操作
• 15. 计数问题