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数量关系

本思维导图是对公考数量关系知识点的汇总，主要包括：⒉.数字特性；3.方程法；4.十字交叉法；5.假设法；6.利润问题；7.工程问题；8.行程问题；9.容斥原理；10.排列组合等内容。

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编辑于2021-10-09 10:47:48

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23.过河问题

M个人过河,船上能载N个人,需要a个人划船,则过河需要（M-a)/(N-a)次。

24.比赛问题

（1）淘汰赛基础知识

N个选手之间两两进行比赛，输掉即淘汰出局，每一轮淘汰一半选手，直至最后产生冠军。

每场比赛淘汰掉一个选手，每淘汰一人需要进行一场比赛。

如果出现奇数个选手，则有一人轮空直接进入下一轮。

N个选手进行淘汰赛，决出冠军、亚军需要进行N-1场比赛。

N个选手进行淘汰赛，决出冠军、亚军、季军，需要进行N场比赛。

（2）双循环赛基础知识

单循环赛，每支队伍都要和其他每个队伍进行一场比赛，N支队伍的总场次为C下N上2次

双循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛（分为主场和客场）N支队伍的总场次为A上N下2次

25.日期问题

闰年判别法：四年一闰，百年不闰，四百年再闰，3200年再不闰

2月：闰年29天，平年28天

同月同日星期数=当日星期数+经历年份数+经历闰日数

若2020.1.1是周三，则2021.1.1是3+1+1周五

再过N天星期数=当日星期数+天数/7的余数

11.概率问题

（1）等可能概率事件P=满足条件的情况数/总的情况数

（2）反面思维P=1-P不发生的概率

（3）分步概率P=每一步概率的乘积

（4）分类概率P=每一类概率的和

（5）两个事件是独立的，则A事件和B事件同时发生的概率为Pa*Pb

12.最值问题

(1)最不利构造（抽屉原理）

题型特征：至少……才能保证……

解题方法：（1）找出最不利情况：尽量避免题干要求的情况发生的情况下取到最多

（2）在最不利情况下加1，即为题干所求答案

（2）数列构造

题型特征：总数确定，问最多/最少/排名第N的……最多/最少

解题思路

（1）排序定位：所有元素进行排序，确定所求对象

（2）构造数列：根据所求对象要求，确定其他元素大小规律

（3）方程求解：所有元素求和，确定所求对象数值

13.平面几何

（1）三角形

S=1/2ah=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA

(2)梯形

S=1/2(a+b)h

(3)平行四边形

S=ah

(4)圆形C=2Πr=Πd、S=Πr平方=1/4Πd平方

（5）扇形S=n/360°Πr平方

（6）球体S=4Πr平方V=4/3Πr立方

（7）圆柱体S=2Πr平方+2Πrh V=Πr2h

(8)圆锥体=1/3Sh=1/3Πr平方h S=Πr平方+1/2（2Πrl)

(9)几何问题

平面几何中，若周长一定，越接近于圆，面积越大

平面几何中，如面积一定，越接近于圆，周长越小

立体几何中，若表面积一定，越接近于球，体积越大

立体几何中，若体积一定，越接近于球，表面积越小

14.溶液问题

（1）基本关系式：浓度=溶质/溶液=溶质/(溶质+溶剂）

（2）常用方法：方程法，赋值法，十字交叉法

15.共变问题

（1）有——无：牛吃草问题/抽水渗水/结账/买票

初始量=单位时间减少量*时间-单位时间增长量*时间=（单位时间减少量-单位时间增长量）*时间

（2）有——无：牛吃草（草枯竭型）

初始量=单位时间减少量*时间+单位时间草减少量*时间=（单位时间牛吃减少量+单位时间草减少量）*时间

（3）无——有逆水行船/逆行扶梯

初始量=单位时间增长量*时间-单位时间减少量*时间=（单位时间增长量-单位时间减少量）*时间

（4）无——有：顺流划船/顺行扶梯

初始量=单位时间内增长量*时间+单位时间增长量*时间=（单位时间增长量+单位时间增长量）*时间

16.方阵问题

（1）总数为N*N

相邻两层元素个数相差8个（N大于等于4）

相邻两层每边的元素相差两个

最外层元素个数4N-4

元素总个数=（最外层/4-1）的平方

（2）最外层边长为N的M层中空方阵元素总个数=N平方-（N-2M）平方=4M（N-M)

（3）N*N的方阵去掉M行M列去掉的元素个数=N平方-（N-M)平方=2MN-M平方

17.钟表问题

（1）快慢问题（比例法）

（2）角度问题 V时=0.5°/分 V分=6°、分

18.余数问题

（1）余同取余，最小公倍数做周期

N/3余1，N/4余1，N/5余1，N为几？余数相同为1 N=1+[3，4，5]n=1+60n

(2)和同加和，最小公倍数做周期

N/4余3，N/5余2，N/6余1，N为几 4+3=7，5+2=7，6+1=7除数加余数=相同数N=7+[4，5，6]n=7+60n

(3)差同减差，最小公倍数做周期

N/3余1，N/4余2，N/5余3，N为几 3-1=2，4-2=2，5-3=2除数-余数=相同数N=-2+【3，4，5】n=-2+60n

(4)上面三个都不满足，即一般情况下

层层推进法N/3余2，N除7余3，N除11余4N为几

第一步：除3 余2 N=2+3n {2，5，8，11，14，17，。。。}

第二步：除3余2，除7余3 N=17+[3,7]n=17+21n {17,38,59....}

第三步：除3余2，除7余3，除11余4 N=59+[3,7,11]n=59+231n

19.周期问题

（1）每隔N天=每N+1天

（2）最小公倍数做周期

20.植树问题

（1）封闭植树问题——核心公式

棵数=段数=总长/间距

总长=段数*间距=棵树*间距

（2）开放植树问题——核心公式

棵数=段数+1=总长/间距+1

总长=段数*间距=（棵数-1）*间距

21.空瓶换酒

N个空瓶换1瓶酒，则N个空瓶=1空瓶+1酒，故有（N-1)空瓶=1酒（不含空瓶）

故M个空瓶最多可换M/(N-1）酒（结果为小数时，取整数部分）

22.图像问题

y=x

定义域：R

值域：R

奇偶性：奇函数

定义域：R

值域：【0，+无穷）

奇偶性：偶函数

定义域：R

值域：R

奇偶性：奇函数

y=1/x

定义域：{x|x∈R且x≠0}

值域：{y|y∈R且y≠0}

奇偶性：奇函数

28.集中问题

小半进一步

27.煎饼问题

当N>1时，又N个饼，需N分钟（一个饼两面，一面一分钟，一个锅放两个饼）

26.天平问题

利用天平从3的N次方个物品中，选出有差异的瑕疵品，至少需要称量N次

29.装卸问题

把车装满，人数从多到少，和为所求

30.约数倍数

(1)正因数的个数如何求？正因数的和如何求？

200=2的3次方*5的2次方；200的正因数的个数为（3+1）*（2+1）=12个；200的正因数的和为（1+2+2的平方+2的3次方）*（1+5+5的平方）=365

（2）平方数的正因数的特点

4的正因数：124；9的正因数：139；一个平方数一定有奇数个正因子，一个正整数有及数个正因数则一定是平方数。

31.数列

（1）基本数列

做商：数列有明显倍数关系

做差：数列无明显倍数关系，且变化趋势明显（递增/递减，注意隔项做差）

做和：数列大小交叉变化/数列变化趋势不平缓（两项无规律时，三项做和）

做积：数列出现少量分数，且做积可以消去

（2)多级数列

基于基本数列，分布运算推算（即做完和商积差之后的数列仍要再做积商和差才有规律）

（3）幂次数列

数列幂次数明显，考虑幂次数列（4，9，16，25，36，49）

每个数都在幂次附近波动，考虑幂次修正

数列出现n分之一考虑负幂次

（4）多重数列

项数较多考虑多重数列（即1357有规律，2468有规律）

分组数列考虑组内运算

（5）非整数数列

对带根号的数、分数，进行改写寻找规律

对小数，用小数点隔开，前后寻找规律

（6）特殊数列

考虑位置变化，数字拆分，数字内寻找规律

对称数列

多位数，可拆分与不可拆分

数位变化

2.数字特性

（1）奇偶特性

加减法

奇数+奇数=偶数

偶数+偶数=偶数

奇数+偶数=偶数

乘法

奇数*奇数=奇数

奇数*偶数=偶数

偶数*偶数=偶数

重要结论

N个整数的积为奇数，则这N个数为奇数

N个整数的积为偶数，则至少一个为偶数

两个整数和为奇数（偶数）则两个整数差为奇数（偶数）

一个整数数乘以奇数的奇偶性与原整数的奇偶性一致

乘方不改变奇偶性

具体应用

求差找和，求和找差

方程中判断某个变量奇偶性

（2）整除特性

基本性质

如果a能同时被b和c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除

如果a和b能同时被c整除，那么a+/-b也能被c整除

一个数能被2和5整除，当且仅当最后一位数能被2和5整除

一个数能被4（或25）整除，当且仅当末两位数能被4（或25）整除

一个数能被8（或125）整除，当且仅当末三位数能被8（或125）整除

一个数能被7或13整除，当且仅当其末三位与末三位之前的数字之差能被7或13整除

一个数字能被11整除，当且仅当其奇数位数字与偶数位数字之和的差能被11整除

（3）男生：女生=M:N（M，N互质)

男生是M的倍数

女生是N的倍数

男生+女生是M+N的倍数

男生-女生是M-N的倍数

男生*女生是M*N的倍数

3.方程法

（1）常规方程

使用条件：有等量关系存在（A比B小3；加比乙多5）

未知数：1.有限设小，2.优先设整，3.优先设求

（2）不定方程

定义：未知数的个数多余方程个数，且未知数受到某些限制的方程或方程组

技巧：整除性质，余数性质，奇偶性质，尾数性质，赋值整体替换，带入排除

4.十字交叉法

（1）应用范围

加权平均问题：Aa+Bb=（A+B)r

子主题

5.假设法

（1）适用范围：主要解决一直总量、总数，两个部分平均值问题，求两部分具体数量问题

（2）具体操做：假设全是其中一部分，求出该部分总量，找出与实际总量差距，根据矛盾点成因，确定另一部分总量

6.利润问题

（1）基本关系式

总成本=单个成本*进口量；总售价=单价*销售量；利润=售价-成本；总利润=总售价-总成本

售价=成本+利润=成本（1+利润率）

（2）两期对比型

题干特点：描述前后两期售价、成本、利润、利润率之间的变化关系，通常涉及两种变化之间的等量关系

解题思路：数据列表——找出等量关系——列方程求解

（3）统筹优化型

题干特点：问题为“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、等表述

解题思路

列方程——根据二次函数极值进行求解

综合分析各种情况选出最优方案

（4）分段计算型

题干特点：题干中会出现：超出部分按某个标准算

解题思路：确定不同阶段价格——分段直接计算/列方程求解

7.工程问题

（1）基本公式方法

基本公式：工作量=工作效率*工作时间

基本方法：赋值法、方程法

（2）赋值总量类型

题干特点：给出不同对象完成总量的时间

赋值总量：设总量为不同时间的公倍数，通常为最小公倍数

解题思路：赋值总量——判断效率——列式求解

（3）复制效率类型

题干特点：给出不同对象效率之间的比例关系

赋值效率：按照比例关系赋值效率，通常为其自身

解题思路：赋值效率——判断总量——列式求解

（4）具体数值型

题干特点：总量，时间，效率中至少给出两者的具体数值

赋值效率：按照比例关系赋值效率通常为其本身

解题思路：三量关系——列式求解

8.行程问题

（1）初等行程问题

路程=速度*时间S=vt

常用比例关系

时间相同S1:S2=v1:v2

速度相同S1:S2=t1:t2

路程相同v1:v2=t2:t1

等距离求平均速度

等时间求平均速度

(2)相遇追击

相遇问题：路程和=速度*相遇时间

追及问题：路程差=速度差*追击时间

（3）环行线追击相遇

环线N次相遇：S和=N*环线长度

环线N次追击：S差=N*环线长度

（4）两端多次相遇

1次相遇：S和=AB,S甲=AC,S乙=BC

2次相遇：S和=3AB,S甲=3AC,S乙=3BC

N次相遇：S和=（2N-1)AB,S甲=（2N-1)AC,S乙=(2N-1)BC

(5)流水行船

顺流速度=静水船速+水流速度

逆流速度=净水船速-水流速度

净水船速=（顺流速度+逆流速度）/2

水流速度=（顺流速度-逆流速度）/2

9.容斥原理

（1）两集合

标准公式AUB=A+B-A交B=总-都不（A交B加了两次）

总=都不+AUB

（2)三集合

标准公式：AUBUC=A+B+C-A交B-A交C-B交C+A交B交C=总-都不

重要公式：AUBUC=A+B+C-(2)-2(3)=(1)+(2)+(3)=总-都不

（3）交集至少问题

A1交A2……交An至少=A1交A2……An-(n-1)全

10.排列组合

（1）原理

加法原理：分类

乘法原理：分步

（2）组合

有多少种选择

(3)排列

有多少种选择+选择排序

全排列

圆桌全排列

(4)不相邻问题插空法

甲乙

(5)排普通——放特殊——排特殊

（6）相邻问题——捆绑法

A、B、C、D（甲、乙）

（7）相同元素分配问题——隔板法

四个小球分给甲乙至少人手一个

七个相同小球分给甲乙丙至少人手一个

(8)错位重排问题——公式法

四个厨师做四道菜后相互品尝每人不能品尝自己做的菜，有多少种方式9种

元素个数1、2、3、4、5方法数0、1、2、9、44

（9）分组分配问题——去重复

4本不同的书给甲乙每人至少一本，两人数量不同，几种方式？

4本不同的数分给2人数量相同几种方式

(10)矩阵问题——分步法

甲乙两人选择位置，两人不能处于同一行或同一列

(11)最短路径问题——标号法/组合法

标号法

组合法：一个4步，选两步横