导图社区 有理数（一）
初一数学有理数题型分类总结：负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值。 绝对值性质与几何意义是重难点，其中零点分段法很重要。数轴动点问题是难点
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初一数学有理数及其运算，知识点和题型详细，有理数包含证书和分数，0既不是正数也不是负数，欢迎大家学习。
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有理数（一）
正负数
概
正
像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。正数都大于0。
负
像-1、-3.12、、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。负数都<0
⚠️
0既不是正数，也不是负数。
相反意义的量
正负数可表示相反意义的量
例
+5℃和-3℃
3楼和-1楼
南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。
条件
属性相同
身高增高3cm和体重减少2kg
意义相反
南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向东3km表示为-3km。
有具体的量，量可以不相等
节约5吨和浪费7吨√
收入增加10元和收入减少8元√
有理数
概念
整数与分数统称为有理数。
小数划入分数
只要能写成分数的数都是有理数
补
小数
有限小数√
0.5=½
无限小数
无限循环小数√
0.3……=⅓
无限不循环小数（无理数）
π、π/2
分类（先按定义再按符号）
整数
正整数
0
自然数
负整数
分数
正分数
负分数
分类（先按符号再按定义）
正有理数
负有理数
非负|整数
(正整数和零)
非正|整数
(负整数和零)
非负数
(正数和零)
非正数
(负数和零)
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线。（解释三要素的意思）
特点
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
所有的有理数都可以表示在数轴上，但数轴上的点不都代表有理数
数轴的画法
画直线
正方向
原点（不一定在正中间）
单位长度（要一致，看最大的数，要标注）
题型
比大小
数轴的折叠
将一条数轴翻折，若表示某两个数的点重合，则折痕在这两个点的正中间，折痕所代表的数为这两数的平均数
遮盖
之间的整数有±1，0，2
动点问题
知识点
表示点A到点C的距离
|A-C|
动点的表示
a向右运动100到达b
b=a+100
a向左运动100到达c
c=a-100
求两点间的中点
两点所表示的数相加的和除以2
倒数
乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数
互为倒数的两个数的符号相同
倒数等于他本身的
1、-1
相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0。
补充
强调性质(质/奇/自然数/有理数)
强调关系(倍数/倒数/相反数)
几何意义
一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。（画图说明）
性质
互为相反数的两个数和为0
求一个数的相反数
只要在这个数的前面添上“－” 号即可。
使符号变相反
3：-3
-2：2
a:-a
-x:x
a+b:-(a+b)=-a-b
去括号时，括号前面是负号（相当于减号）所以也要变号
括号前是负号，去掉负号和括号，括号里的数全变相反数（括号里的符号全变相反）
最终就是所有符号变相反
a-b+c-d:-a+b-c+d
a-b: -a+b=b-a
技巧：求减法算式的相反数只把被减数与减数位置调换即可
多重符号的化简
例子解释
-+----+-+--7
奇负偶正
不看+看-
8个-所以是7
a-(b+a)
b前面的是-+所以最后是-；a前面的是-+所以最后是-
=a-b-a
或者利用去括号法则
a-(-b+a)
=a+b-a
a+(-b+a)
=a-b+a
绝对值
数a的绝对值记作|a|。数a所对应的点到原点的距离称为该数的绝对值
非负性，|a|＞0
若a,b,c为整数，且|a-b|+|c-a|=1,试求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值
若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0
若|a|=|b|，则a=b或a=-b
|a|=|-a|
应用：去绝对值
先定符号
零点分段法
步骤
令绝对值=0，求x的取值
将所求零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来
每一段讨论原式子的正负性，去绝对值（分类讨论）
化简|x-1|+|x+2|-|2x-4|
1，-2，2
画图分段讨论（注意放=）
x≤-2
-2＜x≤1
1＜x≤2
x＞2
若||x-1|-2|+|x+1|的值是一个定值，求x的取值范围
1，-1，3，
注意每个绝对值都要等于0
分数绝对值
a>0 =1
a<0 =-1
点到原点的距离（非负性）
用到数轴
|-5|
几何意义：-5到原点的距离
（画图表示）
|-5|=5
|6|
|x|
|5-1|
|x-1|
谁减谁就是谁到谁的距离
|-5|=|-5-0|
|x+2|
=|x-(-2)|
总结
|x-y|
x到y的距离
|x+y|
x到-y的距离
应用（求最值）
绝对值和求最小值
引入
abcde5个村间修邮局，修哪里使邮局到各个村距离之和(是和)最短
画图
到ae则ae之间最短，到bd则bd之间最短……
奇数个点修在中间的点，偶数个点修在中间一段(包括端点)
注意是中间的点不是中心
试求|x-2|+|x+4|+|x-5|+|x-6|的最小值
-4,2,5,6从小到大排列，偶数个取中间段包括端点
代入2或5求最小值
求2|x-1|+|x-2|的最小值
|x-1|+|x-1|+|x-2|
1，1，2所以取1求最值
求|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+|x-4|的最小值
1，2，2，3，3，3，4所以取3求最值
求|x-1|+|2x-1|的最小值
|x-1|+2|x-½|
½，½，1所以取½求最值
绝对值之差求最值
|x-1|-|x-2|
当x≥2时
2-1=1
当1＜x＜2时
2x-3
当x≤1时
-1
结论
|x-a|-|x-b|
最大值
|a-b|
最小值
-|a-b|
已知-5≤x≤7/9，求x取何值时|x-1|-|x+3|取最大值与最小值
一段所代表的长度（注意设置）
0代表的点
