一元函数积分学

一元函数积分学知识总结，包括它的概念+性质、计算、应用【几何】、应用【积分等式+不等式】、应用【物理】等。

一元函数积分学

• • 概念+性质
    • 祖孙三代奇偶性
      • 一般：函数与其导数奇偶性相反
      • 函数与其导数周期相同
      • 函数与其积分有一点特殊
        • 主要是偶函数与其积分
    • 积分比大小
      • 用几何意义
      • 用保号性
    • 定积分定义
      • 基本形【可以凑 i/n】
      • 放缩形【不能凑 i/n】
      • 变量形
      • 写成加和的形式（∑）－弄清楚积分范围－找区间划分－找积分变量值
    • 反常积分敛散判断
      • 概念
      • 判别
        • 【要求】积分只有一个瑕点
        • 判断的标尺【P函数】
        • 注意变通,和P函数"速度"一样的量
  • 计算
    • 基本积分公式
    • 不定积分计算
      • 凑微分
      • 换元法
        • 三角积分中的万能代换
      • 分部积分
      • 有理函数积分
        • 分一次因式和二次因式
    • 定积分计算
      • 区间再现公式
      • 点火公式
      • 三角积分等式
      • 区间化简公式
      • 对称积分（奇偶性）
      • 分部积分中的升降阶
      • 分段函数定积分
      • 变限积分
      • 反常积分
  • 应用【几何】
    • 研究对象（略）
    • 研究内容
      • 面积（直角坐标+极坐标）
      • 旋转体体积（X轴、Y轴、X=a、Y=b）
        • 无数个小圆柱体积之和
      • 平均值
      • 平面曲线弧长
        • 直角坐标
        • 参数方程
        • 在X轴方向的投影，将它还原为原来的弧长
        • 极坐标方程
          • 微小直角三角形构成弧长微元
      • 旋转曲面面积
        • 无数个空间微小圆环构成的空间曲面（面积微元=弧长×环周长）
      • 形心公式
      • 截面积已知的立体体积
  • 应用【积分等 式+不等式】
    • 积分等式
      • 常用积分等式
      • 特殊积分等式求特殊积分等式 （一般是周期+奇偶性）
      • 积分形式的中值定理
    • 积分不等式
      • 用函数单调性【辅助函数构造－证明】
        • 有一种非常重要的方法叫: 上限变量化或者下限变量化
      • 处理被积函数
        • 保号性
          • 换元+区间化简
        • 拉格朗日中值定理
          • 多用于一阶可导的条件
        • 泰勒公式
          • 多用于出现“两阶导数存在” 展开为带拉格朗日余项的式子 展开之后舍掉二阶导数（放缩） 再进行相应的积分
        • 放缩法
          • 与保号性结合
        • 分部积分
          • 一般用于积分函数复杂，不可以直接积分时使用
      • 夹逼定理
        • 一般用于：被积函数复杂，不可以直接积分，但是又要求求解关于积分的某一种极限时使用
      • 分段积分！！！
        • 积分与数列相联系，通常结合单调性使用！
  • 应用【物理】