大学数学微积分上册第2-4章知识点总结

可去间断点：该点函数左、右极限存在且相等但该点函数无定义、跳跃间断点：该点函数左、右极限存在但不相等

大学数学微积分上册第2-4章知识点总结

• 极限与连续
  • 数列的极限
    • 数列极限的定义
      • 注: (1)ε具有任意性/相对固定性和完全独立性; (2)N依赖于ε,不唯一
      • 严格的ε -N定义
      • 发散(不收敛)的定义
      • 数列极限的等价定义
      • 压缩映像原理
    • 无穷小和无穷大
      • 注:无穷小量和无穷大量均为数列而非一个数
      • 无穷小量
      • 无穷大量
    • 数列极限的性质和运算法则
      • 性质
        • 唯一性, 有界性, 保序性, 保号性, 归并性, 不等式性质等
      • 运算法则
        • 四则运算
    • 数列极限存在的判别法
      • 夹逼定理(迫敛性)
        • ######
      • 归并定理(及推论)
        • 数列收敛的充要条件是所有子列均收敛于同一极限(可以是无穷)
      • 单调有界性定理
        • 单调有界数列必存在极限
  • 函数的极限
    • 函数极限的定义(ε-δ语言)
      • 函数在一点的极限
      • 函数在无穷远处的极限
      • 无穷小和无穷大
    • 函数极限的性质、运算法则与判别法
      • 性质
        • 唯一性, 局部有界性, 局部保号性, 局部保序性
      • 运算法则
        • 四则运算, 复合运算
      • 判别法
        • Heine归并定理
        • 夹逼定理(迫敛性)
          • 类比数列的夹逼定理
        • 单调有界函数单侧极限存在定理
    • 两个重要的函数极限
      • #####
        • 常用形式
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    • 无穷小的比较
      • 高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小
  • 函数的连续性
    • 函数连续的定义
      • 点连续(间断、间断点)
      • 单侧连续(左连续、右连续)
      • 区间连续(区间内每一点都连续)
    • 函数间断点的分类
      • 第一类间断点：函数左、右极限均存在
        • 可去间断点：该点函数左、右极限存在且相等但该点函数无定义
        • 跳跃间断点：该点函数左、右极限存在但不相等
      • 第二类间断点：函数左、右极限至少有一个不存在
        • 无穷间断点：该点函数左(右)极限为无穷
        • 震荡间断点：x趋近该点时函数值在两个不同数之间不断变动无限次，无极限
    • 函数连续的性质与运算
      • 一切初等函数在其定义域上均连续
      • 运算法则
        • 四则运算(同函数极限)
        • 复合运算
        • 反函数连续性定理
    • 闭区间上连续函数的性质
      • 有界性定理
      • 最值定理
        • 注: 区间为开区间或区间内有间断点,该定理都未必成立
      • 零点存在性定理
      • 介值性定理
        • 推论:连续函数把闭区间映射为闭区间
• 导数与微分
  • 导数
    • 导数的概念与定义
      • 称此极限值为函数y=f(x)在点处的导数(微商)
      • 单侧导数: 左导数、右导数
      • 可导与连续的关系: 可导必连续
    • 导数的运算法则
      • 四则运算法则
        • ######
      • 对数求导法
        • 幂指函数或函数表达式为若干个因子乘积时使用
      • 复合函数的导数
        • 链式法则
      • 反函数求导
        • ######
      • 隐函数与参数方程的求导
        • 隐函数求导
        • 参数方程求导
        • 极坐标方程求导
    • 高阶导数
      • 定义
        • ######
        • 若在I上连续, 则称f(x)在I上n阶连续可导
      • 性质
        • 高阶导数存在则低阶导数一定存在，且具有一定的连续性
      • 几个常用的基本初等函数的n次导数公式
        • ######
      • 运算法则和莱布尼茨公式
        • ######
      • 隐函数和参数方程表示函数的高阶导数
  • 微分
    • 概念
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    • 微分与导数的关系
      • 可微与可导互为充要条件
        • #####
    • 微分的运算法则
      • 四则运算(同导数)
    • 微分的几何意义
    • 微分的应用
      • 近似计算
      • 无擦汗估计
• 微分中值定理与导数的应用
  • 微分中值定理
    • 费马定理
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      • 驻点：导数等于零的点（横坐标）
    • 罗尔中值定理
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      • 注： （1）条件充分而非必要 （2）可推广到[a,+∞）
      • 推论：若函数在某区间上连续可导，且在该区间上导函数不为零，则该函数在该区间上为单射，且必存在反函数
    • 拉格朗日中值定理
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      • 注：是罗尔定理的推广形式
        • 常用表达方式
    • 柯西定理
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  • 导函数的两个性质
    • 达布定理（导函数的介值性定理）
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    • 导函数的极限与连续性定理
      • 导函数的极限
        • ######
      • 导函数的连续性定理
        • 设f(x)∈D(a,b),则(a,b)内的点要么是f'(x)的连续点，要么是f'(x)的第二类间断点
  • 洛必达法则
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  • 泰勒公式
    • 带皮亚诺余项的n阶泰勒公式
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        • 五个基本公式
    • 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
      • #####
        • 五个基本公式
    • 泰勒公式的应用
      • 求函数极限
      • 确定函数无穷小的阶数
      • 用于近似计算和函数值估计
      • 计算函数在一点的高阶导数
      • 研究函数形态和高阶导数的介值性问题
  • 利用导数研究函数性态
    • 函数的单调性、极值与最值、凸性与拐点
      • 区分： （1）极值的第一、第二判别法 （2）凸性的第一、第二判别法
    • 函数的渐近线
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    • 函数作图
      • （1）单调区间与极值点：求f'(x)
      • （2）凸性区间与拐点：求f''(x)
      • （3）渐近线
      • （4）分区间的依据
      • （5）图上标注：极值点坐标、拐点坐标、渐近线方程
  • 平面曲线的曲率
    • 曲线弧长概念及其微分
    • 曲率和曲率公式