导图社区 大学数学微积分上册第2-4章知识点总结
可去间断点:该点函数左、右极限存在且相等但该点函数无定义、跳跃间断点:该点函数左、右极限存在但不相等
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大学数学微积分上册第2-4章知识点总结
极限与连续
数列的极限
数列极限的定义
注: (1)ε具有任意性/相对固定性和完全独立性; (2)N依赖于ε,不唯一
严格的ε -N定义
发散(不收敛)的定义
数列极限的等价定义
压缩映像原理
无穷小和无穷大
注:无穷小量和无穷大量均为数列而非一个数
无穷小量
无穷大量
数列极限的性质和运算法则
性质
唯一性, 有界性, 保序性, 保号性, 归并性, 不等式性质等
运算法则
四则运算
数列极限存在的判别法
夹逼定理(迫敛性)
######
归并定理(及推论)
数列收敛的充要条件是所有子列均收敛于同一极限(可以是无穷)
单调有界性定理
单调有界数列必存在极限
函数的极限
函数极限的定义(ε-δ语言)
函数在一点的极限
函数在无穷远处的极限
函数极限的性质、运算法则与判别法
唯一性, 局部有界性, 局部保号性, 局部保序性
四则运算, 复合运算
判别法
Heine归并定理
类比数列的夹逼定理
单调有界函数单侧极限存在定理
两个重要的函数极限
#####
常用形式
无穷小的比较
高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小
函数的连续性
函数连续的定义
点连续(间断、间断点)
单侧连续(左连续、右连续)
区间连续(区间内每一点都连续)
函数间断点的分类
第一类间断点:函数左、右极限均存在
可去间断点:该点函数左、右极限存在且相等但该点函数无定义
跳跃间断点:该点函数左、右极限存在但不相等
第二类间断点:函数左、右极限至少有一个不存在
无穷间断点:该点函数左(右)极限为无穷
震荡间断点:x趋近该点时函数值在两个不同数之间不断变动无限次,无极限
函数连续的性质与运算
一切初等函数在其定义域上均连续
四则运算(同函数极限)
复合运算
反函数连续性定理
闭区间上连续函数的性质
有界性定理
最值定理
注: 区间为开区间或区间内有间断点,该定理都未必成立
零点存在性定理
介值性定理
推论:连续函数把闭区间映射为闭区间
导数与微分
导数
导数的概念与定义
称此极限值为函数y=f(x)在点处的导数(微商)
单侧导数: 左导数、右导数
可导与连续的关系: 可导必连续
导数的运算法则
四则运算法则
对数求导法
幂指函数或函数表达式为若干个因子乘积时使用
复合函数的导数
链式法则
反函数求导
隐函数与参数方程的求导
隐函数求导
参数方程求导
极坐标方程求导
高阶导数
定义
若在I上连续, 则称f(x)在I上n阶连续可导
高阶导数存在则低阶导数一定存在,且具有一定的连续性
几个常用的基本初等函数的n次导数公式
运算法则和莱布尼茨公式
隐函数和参数方程表示函数的高阶导数
微分
概念
微分与导数的关系
可微与可导互为充要条件
微分的运算法则
四则运算(同导数)
微分的几何意义
微分的应用
近似计算
无擦汗估计
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
费马定理
驻点:导数等于零的点(横坐标)
罗尔中值定理
注: (1)条件充分而非必要 (2)可推广到[a,+∞)
推论:若函数在某区间上连续可导,且在该区间上导函数不为零,则该函数在该区间上为单射,且必存在反函数
拉格朗日中值定理
注:是罗尔定理的推广形式
常用表达方式
柯西定理
导函数的两个性质
达布定理(导函数的介值性定理)
导函数的极限与连续性定理
导函数的极限
导函数的连续性定理
设f(x)∈D(a,b),则(a,b)内的点要么是f'(x)的连续点,要么是f'(x)的第二类间断点
洛必达法则
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泰勒公式
带皮亚诺余项的n阶泰勒公式
五个基本公式
带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
泰勒公式的应用
求函数极限
确定函数无穷小的阶数
用于近似计算和函数值估计
计算函数在一点的高阶导数
研究函数形态和高阶导数的介值性问题
利用导数研究函数性态
函数的单调性、极值与最值、凸性与拐点
区分: (1)极值的第一、第二判别法 (2)凸性的第一、第二判别法
函数的渐近线
函数作图
(1)单调区间与极值点:求f'(x)
(2)凸性区间与拐点:求f''(x)
(3)渐近线
(4)分区间的依据
(5)图上标注:极值点坐标、拐点坐标、渐近线方程
平面曲线的曲率
曲线弧长概念及其微分
曲率和曲率公式