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信号与系统思维导图
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编辑于2022-06-13 13:55:04- 信息与系统
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- 大纲
信号与系统
连续信号的频域分析——傅立叶变换
基础概念
两复变函数 f1(t), f2(t) 正交
f1(t)与f2(t)的共轭相乘在t1至t2内对t积分为零
正交函数集 { gi(t), i=1,2, …, n }
完备正交函数集
定义
如果正交函数集 { gi(t), i=1,2, …, n }之外，不存在函数x(t), 满足正交的公式，则称 { gi(t), i=1,2, …, n }为正交函数集
任意信号f (t) 的完备正交函数集表示
两种常用的完备正交函数集
三角函数集
复指数函数集
基波与谐波
谐波的频率是基波的整数倍
周期信号的傅立叶级数分析
三角函数形式的傅立叶级数
周期信号的傅立叶级数展开
三角形式傅立叶级数的傅里叶系数
a0
an
bn
狄利克雷条件
(1) 在一周期内，只有有限个间断点 (2) 在一周期内，只有有限个极值点 (3) 在一周期内，信号是绝对可积
傅立叶级数的其他两种三角形式
傅立叶级数的余弦形式
傅立叶级数的正弦形式
周期信号的频谱 (频域描述）
给定{c0, cn, φn , n=1,2, …,}及基频ω1，就唯一确定了f (t)
周期信号的频谱是离散的，谱线只出现在基频的整数倍处，两谱线的间隔为ω1，信号的周期越大，谱线越靠近
指数形式的傅立叶级数
指数形式的傅立叶级数
Fn 与其他傅立叶系数的关系
周期信号的复数频谱
给定{ Fn , n∈Z }及基频ω1，就唯一确定了f (t)
帕塞瓦尔定理
周期信号的平均功率 = 各正交分量的平均功率之和
时域和频域的能量守恒
函数的对称性与付里叶级数的关系
f (t) 是偶函数
bn=0
f (t) 是奇函数
an=0
f (t) 是奇谐函数
半周期（半波）对称函数
n为偶数
n为奇数
奇谐函数的傅立叶级数中只含有奇次谐波项
傅立叶有限级数与方均误差
周期函数的傅立叶有限级数逼近
均方误差
周期矩形脉冲信号的傅立叶级数及频谱
周期矩形脉冲信号的时域描述
周期矩形脉冲信号的傅立叶级数
三角形式
复指数形式
根据Fn与a0，an, bn 的关系
根据Fn的计算公式
周期矩形脉冲信号的频谱
单边频谱
双边频谱
周期矩形脉冲信号的频谱特点
离散频谱，谱线之间间隔为ω1（＝2π/T1)
谱线的幅度按Sa(nω1 τ/ 2)包络线的规律变化
直流分量、基波及各次谐波分量的幅度正比于脉幅E和脉宽τ，反比于周期T1
包含无穷多条谱线，但能量主要集中在第一个零点之内
周期矩形信号的频谱随T1及τ的变化规律
若T1不变，在改变τ的情况
若τ不变，在改变T1时的情况
非周期信号的频谱分析——傅里叶变换
傅里叶变换
傅立叶变换引出
周期无穷大时，周期信号变为非周期信号
傅立叶反变换
傅立叶变换对
物理意义
存在的条件
典型非周期信号的频谱
矩形脉冲
单边指数信号
双边指数信号
钟形信号
符号函数
冲激函数
1
直流信号
单位阶跃函数
傅里叶变换的性质
对称性
若 F [f(t)] = F(ω)，则 F [F(t)] =2πf(-ω)
线性（叠加性）
奇偶虚实性
尺度变换特性
信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中也沿纵轴反褶。
时域中的扩展等于频域中的压缩
时域中的压缩等于频域中的扩展
时移特性
频移特性
微分性质
积分特性
卷积定理
时域卷积定理
频域卷积定理
周期信号的傅里叶变换
正弦信号的傅里叶变换
欧拉公式+频移性质
一般周期信号的傅里叶变换
如何由F0(w)求F(nw1)
F(nw1)=(1/T1)*F0(w),W=nw1
周期单位冲激序列的傅里叶变换
周期矩形脉冲序列的傅氏变换
抽样信号的傅里叶变换
抽样
抽样
利用脉冲序列 p(t)从连续信号f(t)中抽取一系列的离散样值.
抽样信号
抽样信号的傅立叶变换
理想抽样（周期单位冲激抽样）
矩形脉冲抽样
频域抽样后的时间函数
抽样定理
奈奎斯特（Nyqist）抽样率 fs 和抽样间隔Ts
抽样频率大于等于原信号最高频率的2倍
时域抽样定理
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
从Fs(ω) 无失真的恢复 F(ω)
在满足抽样定理的前提下，用矩形函数H(ω)与Fs(ω)相乘，即可无失真的获得F (ω)
对F (ω) 做傅立叶反变换，即可恢复原信号 f(t)。
频域抽样定理
与频域类似，可对比理解
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的定义、收敛域
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯正变换
拉氏逆变换
拉氏变换对
正变换
逆变换
单边拉氏变换
拉氏变换与傅氏变换的基本差别
变量性质
傅氏变换——实数
拉氏变换——复数
变换域
傅氏变换——频域
拉氏变换——复频域
拉氏变换的收敛域
使F(s)存在的s的区域称为收敛域，记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件
常用函数的拉氏变换
阶跃
1/s
指数
1/(s+a)
单位冲激
1、
tnu(t)
拉氏变换的基本性质
线性
原函数微分
原函数积分
延时
s域平移
尺度变换
初值
真分式
假分式
分解成真分式与多项式之和
终值
F(s)极点在复频域左半平面
卷积
s域微分
s域积分
拉普拉斯逆变换
F(s)的一般形式
m < n，F(s)为真分式
当m >= n，F(s)为假分式
零点与极点
z为零点
p为极点
部分分式法求拉氏逆变换
真分式
一阶极点
ki
高阶极点
非一次项
正常求
一次项
乘完分母后，先求导再代值
假分式
分解为多项式和真分式之和
按上述方法求F1(s)的拉氏逆变换f1(t)
F(s)分子中含 e-as项
e-as 项不参加部分分式分解，利用时移性质求解
用拉氏变换法分析电路、S域元件模型
用拉氏变换法分析电路的步骤
列s域方程（可以从两方面入手）
列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换
直接按电路的s域模型建立代数方程
求解s域方程。
拉氏变换
微分方程的拉氏变换
简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态值，求出元件的s域模型。
利用元件的s域模型分析电路
电路元件的s域模型
电阻
电感
电容
电路定理的推广
KVL
KCL
求响应的步骤
画0-等效电路，求起始状态
画s域等效模型
列s域方程（代数方程）
解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)
拉氏反变换求v(t)或i(t)
系统函数 H(S)
系统函数H(s)的定义
系统零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比
系统冲激响应的拉氏变换
H(s) 的求解
方法一
零状态下，画待求电路的s域模型
根据网络拓扑结构列写系统s域方程
化简得 H(s)=R(s)/E(s)
方法二
列系统微分方程→求h(t) →拉氏变换→ H(s)
H(s) 的几种情况
策动点函数：激励与响应在同一端口时
转移函数：激励和响应不在同一端口
利用H(s)求LTI系统的零状态响应
求系统函数 H(s)
任意激励信号 e(t) 的零状态响应
LTIS互联的系统函数
LTI系统的并联
LTI系统的级联
LTI系统的反馈连接
z变换, 离散系统的z域分析
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义
双边
单边
z变换的收敛域
定义
级数收敛判定方法
比值判定法
根值判定法
几类序列收敛域情况讨论
有限长序列的收敛域
n1 < 0, n2 ≤ 0 0≤ |z| < ∞
n1 < 0, n2 > 0 0 < |z| < ∞
n1 ≥ 0, n2 > 0 0 < |z| ≤ ∞
n1 = 0, n2 = 0 0 ≤ |z| ≤ ∞
右边序列的收敛域
n1 < 0, Rx1< |z| < ∞
n1 ≥ 0, Rx1 < |z|
左边序列的收敛域
n2 ≤ 0, |z| < Rx2
n2 > 0, 0 < |z| <Rx2
双边序列的收敛域
Rx1<|z|< Rx2
单边z变换的收敛域
|z| >Rx1
X(z)零极点及其与收敛域的关系
零点
使X(z)取值为0的z
极点
使X(z)取值为无穷大的z
极点均落在收敛域之外
典型序列的z变换
单位样值函数
单位阶跃序列
指数序列
斜变序列
z变换的性质
线性
位移性
双边
单边
序列线性加权
序列指数加权
初值定理（重点）
因果序列
终值定理（重点）
X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值
若极点位于单位圆上，只能位于z=1，并且是一阶极点
时域卷积定理
逆z变换
幂级数展开法
X(z)的收敛域在圆外,x(n)为右边序列
x(n)为左边序列（X(z)的收敛域在圆内）
部分分式展开法
解出X(z)
逆z变换
用z变换解差分方程
用z变换求解差分方程的步骤
对差分方程两边做单边Z变换
化简求Y(z)
逆z变换
差分方程解的检验
原方程的解
解的表达式
离散系统的系统函数H(z)
系统函数H(z)的定义
系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比
系统单位样值响应的z变换
H(z) 的求解
1） 零状态条件下，对差分方程两端做z变换 2） 化简并整理得 H(z)=Y(z)/X(z)
列系统差分方程→求h(n) →z变换→ H(z)
利用H(z)求LTI系统的零状态响应
求系统函数 H(z)
任意激励信号 x(n) 的零状态响应
由H(z)的零极点分布确定h(n)的性质
zk在单位圆内，h(n)为衰减序列
zk在单位圆外， h(n)为发散序列
zk在单位圆上且为一阶： h(n)不衰减也不发散
zk在单位圆上且为高阶： h(n)为发散序列
由H(z)判定离散系统的稳定性
离散时间系统的时域分析
离散时间信号及其描述、运算
定义
只在某些离散瞬时具有函数值的时间函数，是时间上不连续的 一个 “序列”。
离散信号x(n)的描述
表达式
x(n) = 3n + 5
逐个列出序列值
x(n)={ 3, 5, 2, -1, 5, 2, 4}
波形
单边序列：n > 0
双边序列：－∞<n < ∞
有限长序列：n1<n < n2
序列的运算
相加 z(n) = x(n) + y(n)
相乘 z(n) = x(n) . y(n)
移位 z(n) = x(n - m)
反褶 z(n) = x( - n)
下采样 z(n) = x(an) a ∈ Z+
上采样 z(n) = x(n/a) a ∈ Z+
前向差分△x(n)=x(n+1)-x(n)
后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)
累加
序列的能量
典型序列
单位样值信号
时移
抽样性
利用单位样值信号及其时移表示任意序列
单位阶跃序列
矩形序列
斜变序列
单边指数序列
正弦序列
正弦序列周期性的判别
复指数序列
离散时间系统的数学模型及其描述
离散时间系统的数学模型
差分方程
基本运算：微分，倍乘，相加
系统方框图（结构图）
延时
加法器
乘法器
线性时不变离散系统
线性
均匀性(齐次性)
叠加性
时不变性
离散系统（差分方程）的阶次
差分方程中响应信号变量的最高和最低序号差数为差分方程的阶数
线性差分方程的时域解法
迭代法
依据：差分方程本身的递推关系。
时域经典法（齐次解+特解）
齐次解
齐次方程的解
形式为Can项的组合
特征根ak 各不相同（无重根）
特解
激励信号x(n)的具体形式有关
将输入信号代入微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”，观察自由项的形式，选择相应的特解形式
把选择的特解表达式代入原差分方程，比较同类项系数求特解表达式中的待定系数，则得 特解 yp(n)
完全解＝齐次解＋特解
初始条件带入完全解求待定系数
零输入响应 + 零状态响应
零输入
输入为零，差分方程为齐次方程
零状态
初始状态为0，即
离散时间系统的单位样值响应
定义
求解
迭代法
时域经典法
约束条件：初始状态为0，即：h(n)=0, n < 0
转化激励为起始条件，即用迭代法求h(0),h(1),…,h(M)
从h(M) , …, h(1),h(0),h(-1),… 中依次取N个初始条件带入齐次解，求系数Ck
M<N
M>=N
因果性
输出变化不领先于输入变化的系统。
稳定性
卷积和
离散卷积（卷积和）定义
利用卷积和求系统的零状态响应
离散卷积的性质
卷积和计算
自变量替换，n→m
反褶 对序列之一(如x1(m)）做反褶运算
移位 对x1(－m)移位，位移量为n，左移n<0,右移n>0
相乘 x1(n-m) x2(m)
取和
连续时间系统的时域分析
系统数学模型的时域表示
输入输出描述：一元n阶微分方程
状态变量描述：n元一阶微分方程
系统分析过程
列写方程
解方程
经典法
齐次解
特解
双零法
零输入
经典法
零状态
卷积积分
变换域法
傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换
微分方程式的建立与求解
建立
系统模型
列写微分方程式
n阶线性时不变系统的描述
求解(经典法)
齐次解
方程右端为0时的解，是形如 Aeαt 函数的线性组合
特征根各不相同（无重根）：
有重根的情况下，假定 为特征方程的K重根：
一般形式，ai 为特征方程的Ki 重根
特解
形式与激励信号e(t)的具体形式有关
将输入信号代入微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”，观察自由项的形式，选择相应的特解形式。
把选择的特解表达式代入原微分方程，比较同类项系数求特解表达式中的待定系数，则得 特解 rp(t)
子主题
子主题
子主题
初始状态
带入起始条件求出系数（0＋时刻）
完全解
齐次解+特解
零输入与零状态
零输入
没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。
求解：e (t) = 0 零输入响应 具有与齐次解相同的形式， 是齐次解中的一部分。
与e(t)激励无关，只与系统的初始值有关
零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。
零状态
不考虑起始时刻系统储能的作用（ 即0－状态＝0），仅由激励信号所产生的响应。
求解：e (t)零状态响应由自由响应中的一部分和强迫响应构成
与e(t)激励有关，与系统的初始值无关
零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。
全响应
零输入响应 + 零状态响应
冲激与阶跃
冲激响应
定义
系统在单位冲激信号δ(t) 的激励下产生的零状态响应
求解
形式与齐次解相同
系数确定方法
求出 ，定A
奇异函数项相平衡法
h(t)解答的形式
与特征根有关
与n，m相对大小有关
n>m，h(t)不含δ(t)及其各阶导数
n=m，h(t)中应包含δ(t)
n<m，h(t)中应包含δ(t) 及其各阶导数
阶跃响应
定义
系统在单位阶跃信号 u(t) 的激励下产生的零状态响应，记为g (t)。
求解
经典法（齐次解＋特解）
根据 LTI 系统的微分特性和h (t)求解
卷积及其性质
定义
利用卷积求系统的零状态响应
卷积的计算
图解法说明
积分上下限和卷积结果区间的确定
积分上下限
卷积结果区间
上限为上限之和，下限为下限之和
卷积的性质
代数性质
交换律
分配律
结合律
微分和积分性质
与冲激信号的卷积
与冲激偶及阶跃信号的卷积
两冲激信号的卷积
位移性质
利用卷积的性质化简卷积运算
信号与系统分析概论
信号
信号的定义
信号是消息的表现形式与传送载体，消息则是信号传送的具体内容。
信号的描述与分类
信号的描述
描述角度
物理上： 信号是信息寄寓变化的形式
数学上： 信号是一个或多个变量的函数
形态上： 信号表现为一种波形，绘出函数的图形自变量
相关因素
时间、位移、周期、频率、幅度、相位
信号的分类
实际用途
电视信号、雷达信号、控制信号等
时间常数
确定、随机
周期、非周期
连续、离散、数字
连续：时间连续
离散：时间离散
数字：时间、幅值均离散
典型信号
指数信号
单边指数衰减信号
正弦信号
单边衰减正弦信号
复指数信号
Sa(t) 信号（抽样信号）
钟形信号（高斯信号）
奇异信号
分类
单位斜变信号
单位阶跃信号
单位冲激信号
冲激偶信号
奇异信号之间关系
求导
斜变、阶跃、冲激、冲击偶
积分
冲击偶、冲激、阶跃、斜变
信号的运算与分解
自变量变换
平移
子主题
反折
连续信号
离散信号
展缩
一般信号
f(t)→f(at)
冲激信号
一般情况
时域运算
微分、积分
相加、相乘
分解
直流、交流
奇、偶分量
脉冲分量
实部、虚部
正交函数
系统
系统的定义
系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
系统的模型与分类
模型
数学表达式
系统方框图
相加、倍乘、微积分
分类
线性、非线性
连续、离散
可逆、不可逆
因果、非因果
时变、时不变等
线性时不变系统
线性
均匀性
叠加性
判断方法
线性运算，经系统 ＝ 经系统，线性运算
时不变性
时不变性
判断方法
时移、经系统 = 经系统、再时移
微分特性
因果系统
定义
系统在某一时刻t0的响应只与t<=t0时刻的输入有关。
判断方法
输出不超前于输入
对常系数线性微分方程描述的系统，若满足： t <t0 时，不存在任何激励； t0时刻起始状态为零；则系统具有因果性
因果信号
t<0,e(t)=0
系统分析方法
建立系统模型
输入－输出描述法
着眼于激励e(t)与响应r(t)的关系，并不关心系统内部变量的情况
便于研究单输入/单输出系统
一元n 阶微分方程
状态变量分析法
不仅可以给出系统的响应，还可以提供系统内部变量的情况
便于研究多输入/多输出系统
n 元一阶微分方程组
系统模型的求解
时域
求解微分（差分）方程或矩阵方程
卷积
变换域
连续系统：傅立叶变换，S 拉普拉斯变换
离散系统： Z变换, 离散傅立叶变换