导图社区 行测数量关系
行测考试范围内,针对行测考试中数量关系的必考题型和高频考点的总结和归纳。计算方法(两点式):y=(a-x)*(b+x),设提价次数为x(1)根据问题列方程,写成两括号相乘的形式;(2)令总价/总利润为0,解得。
编辑于2022-07-30 20:52:01方法精讲-数量
代入排除法
什么时候用
看题型
涉及到年龄的问题
余数:出现"剩"、"余"、"缺"等关键词
一个数,除以7余3,除以8余4,问这个数是几?
不定方程:未知数个数多于方程个数。
eg: 3x+2y=10
看选项
选项信息充分(可以将选项任意代入条件):选项为一组数(问法:分别/各)
剩两项:只代一项
怎么用
先排除:奇偶、倍数、尾数
再代入
从简原则:好算的数、整0的数具有天然的优越性
最优原则:问最大的就代最大的数;问最小的就代最小的数
倍数特征法
整除型:如果 A=B*C(B、C 均为整数),那么 A 能被 B 整除,且 A 能被 C 整除。
eg:15=5*3,15 能被 5 整除,也能被 3 整除
余数型:若总数=ax+b,则(总数-b)能被 a 整除,a、x 均为整数
比例型:若A/B=m/n(m 与 n 最简分数,不能继续约分) (1)A 是 m 的倍数 (2)B 是 n 的倍数 (3)A+B 是 m+n 的倍数 (4)A- B 是 m-n 的倍数
eg:已知某班:男/女=3/5(最简分数),人数一定是整数,则男生为 3 份、 女生为 5 份,则: (1)男生人数是 3 的倍数。 (2)女生人数是 5 的倍数。 (3)全班人数(男生+女生)是 8 的倍数。 (4)男女生人数差(女生-男生)是 2 的倍数。
题干特征:分数、比例、百分数、倍数
对象特征:描述对象为不可分割的整体,整数才有意义
方程法
普通方程——设未知数
设小不设大(减少分数计算)
设中间量(方便列式)
求谁设谁(避免陷阱)
出现比例设份数
不定方程
形式:ax+by=M,考虑奇偶、倍数、尾数、代入
奇偶特性:拓 5:3x+4y=25,x=?(x、y 均为正整数)。 A.2 B.3 C.4 D.5
4y 是偶数,25 是奇数,则 3x 是奇数,x 一定是奇数,排除 A、C 项。 剩余 B、D 项,剩二代一,代入 B 项,满足则选,不满足则直接选 D 项。x=3 时, 9+4y=25→4y=16→y=4,满足,
倍数特性: a 或 b 与 M 有公因子时,考虑倍数特性 拓 6:7x+3y=60,y 最大为多少?(x、y 均为正整数且不为 0)。 A.12 B.13 C.16 D.18
要 y 最大,则 x 要尽量小,3y 和 60 都是 3 的倍数,则 7x 一定是 3 的 倍数[或者 7x=60-3y=3*(20-y),故 7x 一定是 3 的倍数],7 不是 3 的倍数,说 明 x 是 3 的倍数。x=3、6、9……,x 越小越好,则代入 x=3,7*3+3y=60→y 最 大 13,对应 B 项。
尾数特性:当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时,考虑尾数。利用尾数的唯一 性、有限性,任何数乘以“尾数 0 的数”,得到的尾数都是 0,任何数乘以“尾数 5 的数”,得到的尾数均为 0 或 5。 引例 3:37x+20y=271,x=?(x、y 均为正整数)。 A.1 B.3 C.2 D.4
20 的尾数为 0,271 尾数为 1,尾数 1+尾数 0=尾数 1,则 37x 的尾数为 1,代入选项,只有 B 项乘以 37 的尾数为 1,对应 B 项。
形式:ax+by+cz=M,1 个方程 3 个未知数,倍数
比如苹果 4 元/个,西 瓜8元/个,草莓7元/个,一共花了40元,设分别卖了x、y、z个,列式:4x+8y+7z=40。 发现 4x、8y、40 均是 4 的倍数,故 7z 一定是 4 的倍数,7 不是 4 的倍数,故 z 一定是 4 的倍数。
不定方程组::a1x+b1y+c1z=M,a2x+b2y+c2z=N
未知数一定是整数:先消元转化为不定方程,再按不定方程求解
未知数可以是小数(单价和时间)
凑系数
赋零法:赋其中 1 个未知数为零,进而快速计算出其他未知数
排列组合与概率
排列组合
基础概念
分类:要么...要么...,”或“的关系;多着选其一。相加
分步:先...后...,”且“的关系;同时选择。相乘
排列:与顺序有关(A) 组合:与顺序无关(C)
判定标准:从选出的主体中任意的挑出两个,调换顺序: (1)对结果有影响,与顺序有关(A) (2)对结果无影响,与顺序无关(C)
计算方式: (1)排列(A):与顺序有关,A(n,m)=从 n 开始往下乘 m 个数 (2)组合(C):与顺序无关,C(n,m)=分子 A(n,m)/分母 A(m,m)=从 n 开始往下乘 m 个数/从 m 开始往下乘 m 个数
经典题型
枚举法:限定条件下的做事,往往资源有限 (1)凑数字(钱数) (2)情况少(看选项,一般少于 10)
捆绑法(相邻): 1.题目要求一部分主体必须在一起,需要先将要求在一起的部分排列,然后视为一个主体,和其他主体排列。先……后……,用乘法。 2.灵魂:先内部(相邻)小元素排,再大主体排 3.进一步解释: (1)先捆:把相邻的元素捆绑起来,注意内部有无顺序 (2)再排:将捆绑后的“胖子”看成一个元素,进行后续排列
插空法(不相邻): 1.题目要求一部分主体不能在一起,就需要先排列其他主体,然后把不能在一起的主体插空。先……后……,用乘法。 2.特征:不相邻(不在一起) (1)先排:先安排其他可以相邻的元素,形成若干个空位 (2)再插:将不相邻的元素插入到空位中
环形排列: 结论:n 个人进行环形排列,有 A(n-1,n-1)种排法
概率问题
概率(可做可猜): 1.给情况求概率:概率=满足要求的情况数/总的情况数,是分式的形式,分子、分母可能存在约分,分子是考官的要求,分母是总的情况数,先算分母。 (1)分类用加法:P=P1+P2+……+Pn。 (2)分步用乘法:P=P1*P2*……*Pn。 2.逆向思维:正难反易,P=1-反面情况概率。
跟屁虫问题:当考查只是两个人在一起(一排)求概率时,先放一个(任意放:必然事件,概率为 1),再从满足条件中放另一个(从满足条件中去放)
容斥原理问题
两集合公式:A+B-A∩B=总-A、B 都不满足个数
三集合标准型:A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都不满足个数
三集合非标准型:A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不满足个数
几何问题
公式运用
周长: (1)正方形周长:C 正方形=4a。 (2)长方形周长:C 长方形=2*(a+b) (3)圆形周长:C 圆=2πr。 (4)弧长:360°对应整个周长 2πr,问 n°对应弧长,弧长=比重*周长=n°/360°*2πr
面积: (1)S 正方形=a²。 (2)S 菱形=对角线乘积/2。 (3)S 长方形=ab。 (4)S 平行四边形=ah。 (5)S 三角形=1/2*ah。 (6)S 梯形=1/2*(a+b)*h。 (7)S 圆=πr²。 (8)S 扇形=n°/360°*πr²。
表面积: (1)S 正方体=6a²。 (2)S 长方体=2ab+2bc+2ac。上,下、左,右、前,后分别相等。 (3)S 球=4πr²。 (4)S 圆柱=2πr²+2πrh。圆柱的表面积由上表面积、下表面积、侧表面积构成,上表面积=下表面积=πr²,侧表面积=圆的周长*高=2πrh。
体积: (1)V 正方体=a³。 (2)V 长方体=abc。 (3)V 柱体=Sh。圆柱棱柱都一样。 (4)V 椎体=1/3*Sh。圆锥棱锥都一样。占柱体的 1/3。 (5)V 球=4/3*πr³。
几何最值理论
立体类: (1)立体图形中,若表面积一定,越接近于球,体积越大。 (2)立体图形中,若体积一定,越接近于球,表面积越小。
平面类: (1)平面图形中,周长一定,越接近于圆,面积越大。 (2)平面图形中,面积一定,越接近于圆,周长越小。
特殊矩形:正方形是最接近圆的长方形 (1)四边形周长一定时,正方形面积最大。 (2)四边形面积一定时,正方形周长最小。
三角形相关
基础知识:两边之和大于第三边;两边之差小于第三边
勾股定理
特殊勾股数: ①常考点:a²+b²=c²、特殊三角形三边关系。 ②常考勾股数:(3、4、5)、(6、8、10)、(5、12、13)。
特殊角三边比例: ①30°角的直角三角形:短直角边是斜边的一半;长直角边是短直角边的 √3倍 ②等腰直角三角形:斜边是直角边的√2倍 ③猜题:如果涉及 30°、60°,大部分会涉及到√3,可以猜√3;如果涉 及 45°、75°,75°可以转化为 45°,大部分猜√2,正确率在 50%以上
正六边形考查方式: (1)每条边相等。 (2)每个内角 120°。 (3)对角连线(过中间点),由 6 个等边三角形构成
面积相关:底相同的三角形,面积比等于高之比 (1)如△ABC 和△ABD,高分别为 h1和 h2,S△=1/2*底*高,S△ABC=1/2*AB*h1; S△ABD=1/2*AB*h2,则 S△ABC/S△ABD=h1/h2 (2)如果高相同,S2=1/2*底 1*h,S2=1/2*底 2*h,则 S1/S2=底 1/底 2。
行程问题
普通行程
基本公式:S=V*T
火车过桥模型
车头未上桥至车位完全下桥, 火车完全通过桥走的路程:S 路程=S 桥+S 车
即火车尾刚上桥,到火车头刚下桥, 火车完全在桥上走的路程S 路程=S 桥-S 车
等距离平均速度
平均速度=总路程/总时间
等距离平均速度公式:V=2V1V2/(V1+V2)
适用场景:直线往返(来回路程均是 S)、上下坡往返(一个坡去时速度是V1,回时速度是 V2;多个坡去时路程是 S1,上坡速度是 V1,下坡速度是 V2,回时路程是 S2,上坡速度是 V1,下坡速度是 V2,S 上=S 下=S1+S2)
注意: 1、问的是什么:单程或双程 2、时间坑:是否有停留
相对行程
直线相遇——同时相向(面对面)而行
公式:S 相遇=(V1+V2)*T=V 和*T。S 相遇就是两人走的路程之和(共同走 的距离)。做题时一步到位,S 相遇=V 和*T。
直线追及——两人同时同向而行
公式:S 追及=(V1-V2)*T=V 差*T。S 追及是追及刚开始时两人相差的距离(多 走的距离)。做题时一步到位,S 追及=V 差*T。
环形相遇——同点相向出发,环形相向即相遇
(1)公式:S 和=V 和*T 遇 (2)相遇 1 次,S 和=1 圈;相遇 2 次,S 和=2 圈;相遇 N 次,S 和=N 圈。 (3)本质:每一次相遇到下一次相遇期间,两人走的路程和是一圈。 (4)同点相向出发,N 次 N 圈。
环形追及——同点同向出发
(1)公式:S 差=(V1-V2)*T=V 差*T 追 (2)追上 1 次,S 差=1 圈;追上 N 次,S 差=N 圈。 (3)本质:每追上一次,速度快的人比速度慢的人又多走了 1 圈(套了1圈) (4)环形追及同点同向出发,N次N圈
流水行船
1.V 顺=V 船+V 水 ① 坐船顺流而下 2.V 逆=V 船- V 水 ② 坐船逆流而上 3.②-①得:V 船=(V 顺+V 逆)/2,①-②得:V 水=(V 顺-V 逆)/2。 4. V 静(静水中速度):V 船(静水中船速); V 漂(纸船在水里漂,类似漂流瓶):V 水
复杂相遇(直线两端出发多次往返迎面相遇)
两端出发:两端出发相遇,两人出发点间的距离为S 第一次相遇,共走 1S; 第二次相遇,共走 3S; 第 n 次相遇,共走(2n-1)*S=(V1+V2)*T
同端出发: 第一次相遇,共走2S 第二次相遇,共走4S 第 n 次相遇,共走 2nS=(V1+V2)*T
工程问题
给完工时间型
例题
方法
赋总量(完工时间的公倍数)
算效率:效率=总量/时间
根据工作过程列方程
找公倍数训练:短除法(最外侧的数相乘即为最小公倍数)
给效率比例型
例题
方法
赋效率(满足比例即可)
算总量:总量=效率*时间
根据工作过程列式求解
效率比例的形式
直接给
间接给:工作量相等,效率与时间成反比
给具体单位型(效率或总量)
方法: 1、设未知数 2、根据工作过程找等量关系列方程
牛吃草
公式:y=(N-x)*T y:代表原有存量的消耗量(比如:原有草量份被吃完) N:促使原有存量消耗的变量(比如:牛数) x:存量的自然生长速度(比如:草长速度) T:时间
 考法:牛吃草、树木砍伐、河道挖沙、进出水、窗口排队
经济利润问题
基础经济
公式
利润=售价-进价 增长量=现期-基期
利润率=利润/进价
售价=进价*(1+利润率) 现期=基期+增长量 现期=基期*(1+r)
售价=进价+利润
总价=单价*数量
总利润=单个利润*数量=总售价-总进价
解题思路
方程法:有具体钱数和具体量
赋值法
分段计费
先按标准分开
计算之后汇总
函数最值
题型特征:单价和销量此消彼长,问何时总价/总利润最高
计算方法(两点式):y=(a-x)*(b+x),设提价次数为x (1)根据问题列方程,写成两括号相乘的形式 (2)令总价/总利润为0,解得x1、x2 (3)当x=(x1+x2 )/2时,取得最值
特殊最值情况
若长方形的三边之和为定值,则长宽比为2:1时,面积最大
间隔增长率: 2021-2022年增长率为r1 ,2020-2021年增长率为r2 。2020年的量为A,则 2021年=A* (1+r2 ) 2022年=A* (1+r2 )* (1+r1 ) 2021年较2020年增长率 r间=r1+r2+r1*r2
三量关系A=B*C: A 的增长率为 rA,B 的增长率为 rB,C 的增长率为 rC, 则 rA=rB+rC+rB*rC
(1)总利润=单利*数量:(1+r 总利)=(1+r 单利)*(1+r 数量), r 总利=r 单利+r 数量+r 单利*r 数量 (2)总价=单价*数量:(1+r 总价)=(1+r 单价)*(1+r 数量), r 总价=r 单价+r 数量+r 单价*r 数量
a+b=定值,a=b时,a、b最大
整除判定法
口诀法(3、4、5、9)
3/9 看各位数字之和能否被3/9整除
2/5 看数字末一位能否被2/5整除
4/25 看数字末两位能否被4/25整除
8/125 看数字末三位能否被8/125整除
拆分法(常用于7、11、13)
一个数=接近且明显能被整除的数±零头,只看零头
判断 623 能否被 7 整除,623=630-7,630、7 均能被 7 整除,则 623 一定能被 7 整除
因式分解(复杂倍数,常用于6、12、18)
因式分解成两个互质(互质指两数没有公约数)的数,同时满足能被这两个数整除