行测数量关系

行测考试范围内，针对行测考试中数量关系的必考题型和高频考点的总结和归纳。计算方法（两点式）：y=（a-x）*（b+x），设提价次数为x（1）根据问题列方程，写成两括号相乘的形式；（2）令总价/总利润为0，解得。

方法精讲-数量

• 代入排除法
  • 什么时候用
    • 看题型
      • 涉及到年龄的问题
      • 余数：出现"剩"、"余"、"缺"等关键词
        • 一个数，除以7余3，除以8余4，问这个数是几？
      • 不定方程：未知数个数多于方程个数。
        • eg: 3x+2y=10
    • 看选项
      • 选项信息充分（可以将选项任意代入条件）：选项为一组数（问法：分别/各）
      • 剩两项：只代一项
  • 怎么用
    • 先排除：奇偶、倍数、尾数
    • 再代入
      • 从简原则：好算的数、整0的数具有天然的优越性
      • 最优原则：问最大的就代最大的数；问最小的就代最小的数
• 倍数特征法
  • 整除型：如果 A=B*C（B、C 均为整数），那么 A 能被 B 整除，且 A 能被 C 整除。
    • eg:15=5*3，15 能被 5 整除，也能被 3 整除
  • 余数型：若总数=ax+b，则（总数-b）能被 a 整除，a、x 均为整数
  • 比例型：若A/B=m/n（m 与 n 最简分数，不能继续约分） （1）A 是 m 的倍数 （2）B 是 n 的倍数 （3）A+B 是 m+n 的倍数 （4）A- B 是 m-n 的倍数
    • eg：已知某班：男/女=3/5（最简分数），人数一定是整数，则男生为 3 份、 女生为 5 份，则： （1）男生人数是 3 的倍数。 （2）女生人数是 5 的倍数。 （3）全班人数（男生+女生）是 8 的倍数。 （4）男女生人数差（女生-男生）是 2 的倍数。
    • 题干特征：分数、比例、百分数、倍数
    • 对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义
• 方程法
  • 普通方程——设未知数
    • 设小不设大（减少分数计算）
    • 设中间量（方便列式）
    • 求谁设谁（避免陷阱）
    • 出现比例设份数
  • 不定方程
    • 形式：ax+by=M，考虑奇偶、倍数、尾数、代入
      • 奇偶特性：拓 5：3x+4y=25，x=？（x、y 均为正整数）。 A.2 B.3 C.4 D.5
        • 4y 是偶数，25 是奇数，则 3x 是奇数，x 一定是奇数，排除 A、C 项。 剩余 B、D 项，剩二代一，代入 B 项，满足则选，不满足则直接选 D 项。x=3 时， 9+4y=25→4y=16→y=4，满足，
      • 倍数特性： a 或 b 与 M 有公因子时，考虑倍数特性 拓 6：7x+3y=60，y 最大为多少？（x、y 均为正整数且不为 0）。 A.12 B.13 C.16 D.18
        • 要 y 最大，则 x 要尽量小，3y 和 60 都是 3 的倍数，则 7x 一定是 3 的 倍数[或者 7x=60-3y=3*（20-y），故 7x 一定是 3 的倍数]，7 不是 3 的倍数，说 明 x 是 3 的倍数。x=3、6、9……，x 越小越好，则代入 x=3，7*3+3y=60→y 最 大 13，对应 B 项。
      • 尾数特性：当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时，考虑尾数。利用尾数的唯一 性、有限性，任何数乘以“尾数 0 的数”，得到的尾数都是 0，任何数乘以“尾数 5 的数”，得到的尾数均为 0 或 5。 引例 3：37x+20y=271，x=？（x、y 均为正整数）。 A.1 B.3 C.2 D.4
        • 20 的尾数为 0，271 尾数为 1，尾数 1+尾数 0=尾数 1，则 37x 的尾数为 1，代入选项，只有 B 项乘以 37 的尾数为 1，对应 B 项。
    • 形式：ax+by+cz=M，1 个方程 3 个未知数，倍数
      • 比如苹果 4 元/个，西 瓜8元/个，草莓7元/个，一共花了40元，设分别卖了x、y、z个，列式：4x+8y+7z=40。 发现 4x、8y、40 均是 4 的倍数，故 7z 一定是 4 的倍数，7 不是 4 的倍数，故 z 一定是 4 的倍数。
  • 不定方程组：：a1x+b1y+c1z=M，a2x+b2y+c2z=N
    • 未知数一定是整数：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解
    • 未知数可以是小数（单价和时间）
      • 凑系数
      • 赋零法：赋其中 1 个未知数为零，进而快速计算出其他未知数
• 排列组合与概率
  • 排列组合
    • 基础概念
      • 分类：要么...要么...，”或“的关系；多着选其一。相加
      • 分步：先...后...，”且“的关系；同时选择。相乘
    • 排列：与顺序有关（A） 组合：与顺序无关（C）
    • 判定标准：从选出的主体中任意的挑出两个，调换顺序： （1）对结果有影响，与顺序有关（A） （2）对结果无影响，与顺序无关（C）
    • 计算方式： （1）排列（A）：与顺序有关，A（n,m）=从 n 开始往下乘 m 个数 （2）组合（C）：与顺序无关，C（n,m）=分子 A（n,m）/分母 A（m,m）=从 n 开始往下乘 m 个数/从 m 开始往下乘 m 个数
  • 经典题型
    • 枚举法：限定条件下的做事，往往资源有限 （1）凑数字（钱数） （2）情况少（看选项，一般少于 10）
    • 捆绑法（相邻）： 1.题目要求一部分主体必须在一起，需要先将要求在一起的部分排列，然后视为一个主体，和其他主体排列。先……后……，用乘法。 2.灵魂：先内部（相邻）小元素排，再大主体排 3.进一步解释： （1）先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序 （2）再排：将捆绑后的“胖子”看成一个元素，进行后续排列
    • 插空法（不相邻）： 1.题目要求一部分主体不能在一起，就需要先排列其他主体，然后把不能在一起的主体插空。先……后……，用乘法。 2.特征：不相邻（不在一起） （1）先排：先安排其他可以相邻的元素，形成若干个空位 （2）再插：将不相邻的元素插入到空位中
    • 环形排列： 结论：n 个人进行环形排列，有 A（n-1,n-1）种排法
  • 概率问题
    • 概率（可做可猜）： 1.给情况求概率：概率=满足要求的情况数/总的情况数，是分式的形式，分子、分母可能存在约分，分子是考官的要求，分母是总的情况数，先算分母。 （1）分类用加法：P=P1+P2+……+Pn。 （2）分步用乘法：P=P1*P2*……*Pn。 2.逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率。
    • 跟屁虫问题：当考查只是两个人在一起（一排）求概率时，先放一个（任意放：必然事件，概率为 1），再从满足条件中放另一个（从满足条件中去放）
• 容斥原理问题
  • 两集合公式：A+B-A∩B=总-A、B 都不满足个数
  • 三集合标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都不满足个数
  • 三集合非标准型：A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不满足个数
• 几何问题
  • 公式运用
    • 周长： （1）正方形周长：C 正方形=4a。 （2）长方形周长：C 长方形=2*（a+b） （3）圆形周长：C 圆=2πr。 （4）弧长：360°对应整个周长 2πr，问 n°对应弧长，弧长=比重*周长=n°/360°*2πr
    • 面积： （1）S 正方形=a²。 （2）S 菱形=对角线乘积/2。 （3）S 长方形=ab。 （4）S 平行四边形=ah。 （5）S 三角形=1/2*ah。 （6）S 梯形=1/2*（a+b）*h。 （7）S 圆=πr²。 （8）S 扇形=n°/360°*πr²。
    • 表面积： （1）S 正方体=6a²。 （2）S 长方体=2ab+2bc+2ac。上，下、左，右、前，后分别相等。 （3）S 球=4πr²。 （4）S 圆柱=2πr²+2πrh。圆柱的表面积由上表面积、下表面积、侧表面积构成，上表面积=下表面积=πr²，侧表面积=圆的周长*高=2πrh。
    • 体积： （1）V 正方体=a³。 （2）V 长方体=abc。 （3）V 柱体=Sh。圆柱棱柱都一样。 （4）V 椎体=1/3*Sh。圆锥棱锥都一样。占柱体的 1/3。 （5）V 球=4/3*πr³。
  • 几何最值理论
    • 立体类： （1）立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。 （2）立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。
    • 平面类： （1）平面图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大。 （2）平面图形中，面积一定，越接近于圆，周长越小。
    • 特殊矩形：正方形是最接近圆的长方形 （1）四边形周长一定时，正方形面积最大。 （2）四边形面积一定时，正方形周长最小。
  • 三角形相关
    • 基础知识：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
    • 勾股定理
      • 特殊勾股数： ①常考点：a²+b²=c²、特殊三角形三边关系。 ②常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）。
      • 特殊角三边比例： ①30°角的直角三角形：短直角边是斜边的一半；长直角边是短直角边的 √3倍 ②等腰直角三角形：斜边是直角边的√2倍 ③猜题：如果涉及 30°、60°，大部分会涉及到√3，可以猜√3；如果涉 及 45°、75°，75°可以转化为 45°，大部分猜√2，正确率在 50%以上
    • 正六边形考查方式： （1）每条边相等。 （2）每个内角 120°。 （3）对角连线（过中间点），由 6 个等边三角形构成
    • 面积相关：底相同的三角形，面积比等于高之比 （1）如△ABC 和△ABD，高分别为 h1和 h2，S△=1/2*底*高，S△ABC=1/2*AB*h1； S△ABD=1/2*AB*h2，则 S△ABC/S△ABD=h1/h2 （2）如果高相同，S2=1/2*底 1*h，S2=1/2*底 2*h，则 S1/S2=底 1/底 2。
• 行程问题
  • 普通行程
    • 基本公式：S=V*T
    • 火车过桥模型
      • 车头未上桥至车位完全下桥， 火车完全通过桥走的路程：S 路程=S 桥+S 车
      • 即火车尾刚上桥，到火车头刚下桥， 火车完全在桥上走的路程S 路程=S 桥-S 车
    • 等距离平均速度
      • 平均速度=总路程/总时间
      • 等距离平均速度公式：V=2V1V2/（V1+V2）
      • 适用场景：直线往返（来回路程均是 S）、上下坡往返（一个坡去时速度是V1，回时速度是 V2；多个坡去时路程是 S1，上坡速度是 V1，下坡速度是 V2，回时路程是 S2，上坡速度是 V1，下坡速度是 V2，S 上=S 下=S1+S2）
      • 注意： 1、问的是什么：单程或双程 2、时间坑：是否有停留
  • 相对行程
    • 直线相遇——同时相向（面对面）而行
      • 公式：S 相遇=（V1+V2）*T=V 和*T。S 相遇就是两人走的路程之和（共同走 的距离）。做题时一步到位，S 相遇=V 和*T。
    • 直线追及——两人同时同向而行
      • 公式：S 追及=（V1-V2）*T=V 差*T。S 追及是追及刚开始时两人相差的距离（多 走的距离）。做题时一步到位，S 追及=V 差*T。
    • 环形相遇——同点相向出发，环形相向即相遇
      • （1）公式：S 和=V 和*T 遇 （2）相遇 1 次，S 和=1 圈；相遇 2 次，S 和=2 圈；相遇 N 次，S 和=N 圈。 （3）本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。 （4）同点相向出发，N 次 N 圈。
    • 环形追及——同点同向出发
      • （1）公式：S 差=（V1-V2）*T=V 差*T 追 （2）追上 1 次，S 差=1 圈；追上 N 次，S 差=N 圈。 （3）本质：每追上一次，速度快的人比速度慢的人又多走了 1 圈（套了1圈） （4）环形追及同点同向出发，N次N圈
    • 流水行船
      • 1.V 顺=V 船+V 水 ① 坐船顺流而下 2.V 逆=V 船- V 水 ② 坐船逆流而上 3.②-①得：V 船=（V 顺+V 逆）/2，①-②得：V 水=（V 顺-V 逆）/2。 4. V 静（静水中速度）：V 船（静水中船速）； V 漂（纸船在水里漂，类似漂流瓶）：V 水
  • 复杂相遇（直线两端出发多次往返迎面相遇）
    • 两端出发：两端出发相遇，两人出发点间的距离为S 第一次相遇，共走 1S； 第二次相遇，共走 3S； 第 n 次相遇，共走（2n-1）*S=（V1+V2）*T
    • 同端出发： 第一次相遇，共走2S 第二次相遇，共走4S 第 n 次相遇，共走 2nS=（V1+V2）*T
• 工程问题
  • 给完工时间型
    • 例题
    • 方法
      • 赋总量（完工时间的公倍数）
      • 算效率：效率=总量/时间
      • 根据工作过程列方程
    • 找公倍数训练：短除法（最外侧的数相乘即为最小公倍数）
  • 给效率比例型
    • 例题
    • 方法
      • 赋效率（满足比例即可）
      • 算总量：总量=效率*时间
      • 根据工作过程列式求解
    • 效率比例的形式
      • 直接给
      • 间接给：工作量相等，效率与时间成反比
  • 给具体单位型（效率或总量）
    • 方法： 1、设未知数 2、根据工作过程找等量关系列方程
  • 牛吃草
    • 公式：y=(N-x)*T y：代表原有存量的消耗量（比如：原有草量份被吃完） N：促使原有存量消耗的变量（比如：牛数） x：存量的自然生长速度（比如：草长速度） T：时间
      •  考法：牛吃草、树木砍伐、河道挖沙、进出水、窗口排队
• 经济利润问题
  • 基础经济
    • 公式
      • 利润=售价-进价 增长量=现期-基期
      • 利润率=利润/进价
      • 售价=进价*（1+利润率） 现期=基期+增长量 现期=基期*（1+r）
      • 售价=进价+利润
      • 总价=单价*数量
      • 总利润=单个利润*数量=总售价-总进价
    • 解题思路
      • 方程法：有具体钱数和具体量
      • 赋值法
  • 分段计费
    • 先按标准分开
    • 计算之后汇总
  • 函数最值
    • 题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高
    • 计算方法（两点式）：y=（a-x）*（b+x），设提价次数为x （1）根据问题列方程，写成两括号相乘的形式 （2）令总价/总利润为0，解得x1、x2 （3）当x=（x1+x2 ）/2时，取得最值
• 特殊最值情况
  • 若长方形的三边之和为定值，则长宽比为2:1时，面积最大
  • 间隔增长率： 2021-2022年增长率为r1 ，2020-2021年增长率为r2 。2020年的量为A，则 2021年=A* (1+r2 ) 2022年=A* (1+r2 )* (1+r1 ) 2021年较2020年增长率 r间=r1+r2+r1*r2
  • 三量关系A=B*C： A 的增长率为 rA，B 的增长率为 rB，C 的增长率为 rC， 则 rA=rB+rC+rB*rC
  • （1）总利润=单利*数量：（1+r 总利）=（1+r 单利）*（1+r 数量）， r 总利=r 单利+r 数量+r 单利*r 数量 （2）总价=单价*数量：（1+r 总价）=（1+r 单价）*（1+r 数量）， r 总价=r 单价+r 数量+r 单价*r 数量
  • a+b=定值，a=b时，a、b最大
• 整除判定法
  • 口诀法（3、4、5、9）
    • 3/9 看各位数字之和能否被3/9整除
    • 2/5 看数字末一位能否被2/5整除
    • 4/25 看数字末两位能否被4/25整除
    • 8/125 看数字末三位能否被8/125整除
  • 拆分法（常用于7、11、13）
    • 一个数=接近且明显能被整除的数±零头，只看零头
      • 判断 623 能否被 7 整除，623=630-7，630、7 均能被 7 整除，则 623 一定能被 7 整除
  • 因式分解（复杂倍数，常用于6、12、18）
    • 因式分解成两个互质（互质指两数没有公约数）的数，同时满足能被这两个数整除