考研数学高数基础16学霸笔记

这是一篇关于考研数学高数基础16学霸笔记的思维导图，主要内容有1.概念⒉性质3.计算4.两类曲线积分的关系(了解)。

考研数学高数基础16学霸笔记

高数基础16 曲线积分（数学一）

一、第一类曲线积分

标量

特点是出现ds，即对弧长进行积分

1.概念

这里的密度是线密度

物理意义虽然是标量但是计算结果仍有正负之分

物理意义

曲线段物体的质量

2.性质

（1）基本性质

（2）普通对称性（偶倍奇零）

（3）轮换对称性

3.计算

升级难度(参数方程变非参数方程)

利用求偏导思想将x、y其一当成参数

升级难度(普通参数方程变极坐标)

利用极坐标系与直角坐标系之间的转换关系来化归为参数方程

二、第二类曲线积分

矢量

1.概念

物理意义

变力沿着曲线做功

对力和位移均进行正交分解

2.性质

（1）基本性质

积分方向变化后需要加上负号

（2）普通对称性

3.计算

（1）参数法

（2）积分与路径无关

内容

单连通域

就是可以一笔画下来的线条(不允许有交叉)所包含的区域

在此基础上哪怕是多在别处点上一个点就算是复连通域

相关充要条件

充要条件的推导原理

由此产生的解题方法

原函数法(找出始末代入原函数求解)

利用积分与路径无关性质来改变积分路径

经典例题

解题分析及步骤

该题不方便寻找原函数，因此采纳改变积分路径的方法

先求偏导数来证明它满足积分与路径无关的条件

画出一个包含始末位置的单连通域，排除掉函数不连续的点

选定路径开始积分

难度升级(暗含需要排除掉不连续的点)

补充知识点 x<0，则等号右边加负号

应用

解全微分方程

理论知识

x0、y0是下限代入的任意点，一般都是(0,0);(0,1);(1,0)

典型例题

（3）格林公式

三条件——封闭、连续、正向

内容

注意

可以想象着就像沿着操场逆时针跑步，左手指向D区域内部，则就是正方向

意义

解决闭区域上的积分问题

典型例题

补线类型

注意

使用格林公式前需要补齐成为封闭区域

挖点类型

结果往往与π有关

注意

里面的小圆保持顺时针方向是为了让左手保持指向区域D(D是排除原点的)

前边部分能使用格林公式是因为可以将D看成是一笔画下来但是内圈与外圈之间往返的路径做功抵消所以被擦去了

后边部分可以使用格林公式是因为分母被“消灭”了

消除了原点对分母的影响

升级难度(分母变化)

分母是个椭圆

4.两类曲线积分的关系(了解)

补充知识点

方向余弦

概念理解

就是一个向量与三个坐标轴正方向的夹角的余弦值

计算方法

也就是单位化的过程