导图社区 高中数学必修一
高中最新教材,《高中数学必修第一册》(即《普通高中教科书·数学·A版·必修第一册》的简称)是2019年6月人民教育出版社出版的图书,由人民教育出版社、课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编写,供高中一年级使用
编辑于2022-09-02 17:55:55 江苏省高 中 数 学 必 修 一 A版
第一章 集合与常用逻辑用语
集合的有关概念
一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称 集)
构成两个集合的元素是一样的,则称这两个集合是相等的
集合元素的特性
确定性:集合确定,则一个元素是否属于这个集合是确定的
互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复
无序性:集合中元素的位置是可以改变的,改变位置不影响集合
集合的表示方法
列举法
将集合中的元素一一列举出来{a,b,c.....}
描述法
将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{x|x=5n+2,n∈Z}
集合的分类
有限集
有限个元素的集合
无限集
无限个元素的集合
空集
不含任何元素的集合
集合中特殊数集的表示方法
正整数集:N+
整数集:Z
有理数集:Q
实数集:R
自然数集:N
集合间的基本关系
包含关系”子集“
对于两个集合A与B,如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作 A⊆B(或 B⊇A) ,读作“A含于B”(“或B包含A”)
相等关系
集合A是集合B的子集,且B是A的子集,此时A和B的元素是一样的,集合A=集合B,记作A=B
真子集
对于两个集合A与B,如果A⊆B,并且 A不等于B,我们就说集合A是集合B的真子集,记作A⫋B
空集
不含任何元素的集合称为空集,记作 ∅
集合的基本运算
交集:集合论中,设A,B是两个集合,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B。
并集:给定两个集合A,B,把他们所有的元素合并在一起组成的集合,叫做集合A与集合B的并集,记作A∪B,读作A并B。
相对补集:若A和B 是集合,则A 在B 中的相对补集是这样一个集合:其元素属于B但不属于A,B - A = { x| x∈B且x∉A}。
绝对补集:若给定全集U,有A⊆U,则A在U中的相对补集称为A的绝对补集(或简称补集)
子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集,若a∈A,均有a∈B,则A⊆B。
必要条件与充分条件
必要条件与充分条件
一般地,”若P,则q“,是真命题时,称q是p的必要条件,p是q的充分条件
充要条件
如果能从命题p推出命题q,而且也能从命题q推出命题p ,则称p是q的充分必要条件,且q也是p的充分必要条件
全称量词与存在量词
短语”所有的“”任意一个“在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号表示
短语”存在一个“”至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号∃表示
第二章 一元二次函数、方程和不等式
等式性质与不等式性质
比较两个实数的大小
作差法

作商法

比较两个代数式的大小
作差
变形
判断差的符号
作出结论
不等式的性质
对称性

传递性

可加性

可乘性

同向可加性

同向可乘性

可乘方性

一元二次不等式
概念
我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,例如

二次函数的零点

二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

一元二次方程的解法步骤

求出相应的一元二次方程的根
利用二次函数的图像与X轴的交点确定一元二次不等式的解集
基本不等式
若a>0,b>0

最值定理
如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值
如果积xy等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值
利用基本不等式求最大(小)值
积定和最小,和定积最大
应用基本不等式求最值需满足”一正二定三相等“
两数都是正数(两数都为负数时可提取负号)
必须有定值(有时需配凑、拆分凑出定值)
两数能够相等
构造定值条件的通常技巧
加项变换
拆项变换
统一换元
平方后利用基本不等式
重要不等式
若a,bR,则+2ab,当且仅当a=b时等号成立
第三章 函数概念与性质
函数的概念及其表示
函数
设A、B是非空的实数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.
定义域
x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
区间
设a,b是两个实数,a<b,满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]
设a,b是两个实数,a<b,满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b)
设a,b是两个实数,a<b,满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示为[a,b)或(a,b]
构成函数的三要素
定义域
对应关系
值域
函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数
函数的表示法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
图像法
用图象表示两个变量之间的对应关系
幂函数

是幂函数的底数,幂函数的系数是1, 比如2不是幂函数
指数可以是任意实数

函数的基本性质
单调性
函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性
一次函数:
k>0,单调递增,增函数
k<0,单调递减,减函数
若k=0,则y=b,无单调性
二次函数:
反比例函数:
k>0,y随x增大而减小
k>0,y随x增大而增大
最大(最小)值
若函数f(x)在(a,b]上为增函数,在[b,c)上为减函数,则f(x)在(a,c)上有最大值f(b)
若函数f(x)在(a,b]上为减函数,在[b,c)上为增函数,则f(x)在(a,c)上有最小值f(b)
奇偶性
奇函数
f(x)=f(-x),关于轴对称
偶函数
f(-x)=-f(x),关于原点对称
若定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数
第四章 指数函数与对数函数
指数函数
指数的运算性质
当a>0,b>0时





定义

图像
性质
非奇非偶函数
定点(0,1)
注意
任何两个底数互为倒数函数的指数函数的图像关于y轴对称
当a>1时,指数函数的图像呈上升趋势 当0<a<1时,指数函数的图像呈下降趋势
应用
底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性解决
底数不同,指数相同:利用指数函数的图像解决
底数不同,指数不同:采用介值法(常取中间值)
对数函数
对数式的计算公式










指数式与对数式转化


定义
图像
性质
定点(1,0)
非奇非偶函数
第五章 三角函数
角的定义
平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角
角的分类
按照旋转方向
正角
负角
零角
按照终边位置
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
度量角的两种制度
角度制
弧度制
诱导公式
公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin(2kπ+α)=sinα k∈z
cos(2kπ+α)=cosα k∈z
tan(2kπ+α)=tanα k∈z
公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin(π+α)=-sinα k∈z
cos(π+α)=-cosα k∈z
tan(π+α)=tanα k∈z
公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
弧长与角的换算
1°=π/180°,1rad=180°/π
一周是360度,也是2π弧度,即360°=2π.
弧长公式
L=n× π× r/180,L=α× r
(n是圆心角度数,r是半径,L是圆心角弧长,α是圆心角度数)
扇形面积公式
S=LR/2
(R是扇形半径,L是扇形对应的弧长)
三角函数的定义域、值域
y=sinα
定义域是R,值域[-1,1]
y=cosα
定义域是R,值域[-1,1]
y=tanα
定义域是α≠kπ+π/2
区间是(kπ-π/2,kπ+π/2)
值域是R
三角函数的单调性
正弦函数
y=sinx在[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z,上是增函数;
在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Z,上是减函数;
三角函数y=sin x,它的定义域为全体实数,值域为[-1,1]
余弦函数
y=cosx在[2kπ,2kπ+π],k∈Z,上是减函数;
在[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z,上是增函数;
余弦函数的定义域是整个实数集,值域是[-1,1];
余弦函数是周期函数,其最小正周期为2π。