高中数学必修一

高中最新教材，《高中数学必修第一册》（即《普通高中教科书·数学·A版·必修第一册》的简称）是2019年6月人民教育出版社出版的图书，由人民教育出版社、课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编写，供高中一年级使用

高 中 数 学 必 修 一 A版

• 第一章 集合与常用逻辑用语
  • 集合的有关概念
    • 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称 集)
    • 构成两个集合的元素是一样的，则称这两个集合是相等的
  • 集合元素的特性
    • 确定性：集合确定，则一个元素是否属于这个集合是确定的
    • 互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复
    • 无序性：集合中元素的位置是可以改变的，改变位置不影响集合
  • 集合的表示方法
    • 列举法
      • 将集合中的元素一一列举出来{a,b,c.....}
    • 描述法
      • 将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x|x=5n+2，n∈Z}
  • 集合的分类
    • 有限集
      • 有限个元素的集合
    • 无限集
      • 无限个元素的集合
    • 空集
      • 不含任何元素的集合
  • 集合中特殊数集的表示方法
    • 正整数集：N+
    • 整数集：Z
    • 有理数集：Q
    • 实数集：R
    • 自然数集：N
  • 集合间的基本关系
    • 包含关系”子集“
      • 对于两个集合A与B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作 A⊆B（或 B⊇A） ，读作“A含于B”（“或B包含A”）
    • 相等关系
      • 集合A是集合B的子集，且B是A的子集，此时A和B的元素是一样的，集合A=集合B，记作A=B
    • 真子集
      • 对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且 A不等于B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B
    • 空集
      • 不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅
  • 集合的基本运算
    • 交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。
    • 并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
    • 相对补集：若A和B 是集合，则A 在B 中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A = { x| x∈B且x∉A}。
    • 绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集）
    • 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，若a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
  • 必要条件与充分条件
    • 必要条件与充分条件
      • 一般地，”若P，则q“，是真命题时，称q是p的必要条件，p是q的充分条件
    • 充要条件
      • 如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件
  • 全称量词与存在量词
    • 短语”所有的“”任意一个“在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示
    • 短语”存在一个“”至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示
• 第二章 一元二次函数、方程和不等式
  • 等式性质与不等式性质
    • 比较两个实数的大小
      • 作差法
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      • 作商法
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    • 比较两个代数式的大小
      • 作差
      • 变形
      • 判断差的符号
      • 作出结论
    • 不等式的性质
      • 对称性
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      • 传递性
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      • 可加性
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      • 可乘性
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      • 同向可加性
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      • 同向可乘性
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      • 可乘方性
        • 
  • 一元二次不等式
    • 概念
      • 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，例如
        • 
    • 二次函数的零点
      • 
    • 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
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    • 一元二次方程的解法步骤
      • 
      • 求出相应的一元二次方程的根
      • 利用二次函数的图像与X轴的交点确定一元二次不等式的解集
  • 基本不等式
    • 若a>0,b>0
      • 
    • 最值定理
      • 如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
      • 如果积xy等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
    • 利用基本不等式求最大（小）值
      • 积定和最小，和定积最大
      • 应用基本不等式求最值需满足”一正二定三相等“
        • 两数都是正数（两数都为负数时可提取负号）
        • 必须有定值（有时需配凑、拆分凑出定值）
        • 两数能够相等
      • 构造定值条件的通常技巧
        • 加项变换
        • 拆项变换
        • 统一换元
        • 平方后利用基本不等式
    • 重要不等式
      • 若a,bR,则+2ab,当且仅当a=b时等号成立
• 第三章 函数概念与性质
  • 函数的概念及其表示
    • 函数
      • 设A、B是非空的实数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，x∈A.
    • 定义域
      • x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
    • 值域
      • 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
    • 区间
      • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]
      • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）
      • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
    • 构成函数的三要素
      • 定义域
      • 对应关系
      • 值域
    • 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数
    • 函数的表示法
      • 解析法
        • 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
      • 列表法
        • 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
      • 图像法
        • 用图象表示两个变量之间的对应关系
  • 幂函数
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    • 是幂函数的底数，幂函数的系数是1， 比如2不是幂函数
    • 指数可以是任意实数
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  • 函数的基本性质
    • 单调性
      • 函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性
      • 一次函数：
        • k>0,单调递增，增函数
        • k<0,单调递减，减函数
        • 若k=0，则y=b,无单调性
      • 二次函数：
      • 反比例函数：
        • k>0,y随x增大而减小
        • k>0,y随x增大而增大
    • 最大（最小）值
      • 若函数f(x)在（a,b]上为增函数，在[b,c)上为减函数，则f(x)在（a,c)上有最大值f(b)
      • 若函数f(x)在（a,b]上为减函数，在[b,c)上为增函数，则f(x)在（a,c)上有最小值f(b)
    • 奇偶性
      • 奇函数
        • f(x)=f(-x),关于轴对称
      • 偶函数
        • f(-x)=-f(x),关于原点对称
      • 若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数
• 第四章 指数函数与对数函数
  • 指数函数
    • 指数的运算性质
      • 当a>0,b>0时
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    • 定义
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    • 图像
    • 性质
      • 非奇非偶函数
      • 定点（0，1）
    • 注意
      • 任何两个底数互为倒数函数的指数函数的图像关于y轴对称
      • 当a>1时，指数函数的图像呈上升趋势 当0<a<1时，指数函数的图像呈下降趋势
    • 应用
      • 底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性解决
      • 底数不同，指数相同：利用指数函数的图像解决
      • 底数不同，指数不同：采用介值法（常取中间值）
  • 对数函数
    • 对数式的计算公式
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    • 指数式与对数式转化
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    • 定义
    • 图像
    • 性质
      • 定点（1，0）
      • 非奇非偶函数
• 第五章 三角函数
  • 角的定义
    • 平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角
  • 角的分类
    • 按照旋转方向
      • 正角
      • 负角
      • 零角
    • 按照终边位置
      • 第一象限角
      • 第二象限角
      • 第三象限角
      • 第四象限角
  • 度量角的两种制度
    • 角度制
    • 弧度制
  • 诱导公式
    • 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
      • sin（2kπ+α）=sinα k∈z
      • cos（2kπ+α）=cosα k∈z
      • tan（2kπ+α）=tanα k∈z
    • 公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
      • sin（π+α）=－sinα k∈z
      • cos（π+α）=－cosα k∈z
      • tan（π+α）=tanα k∈z
    • 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系
      • sin（－α）=－sinα
      • cos（－α）=cosα
      • tan（－α）=－tanα
  • 弧长与角的换算
    • 1°=π/180°，1rad=180°/π
      • 一周是360度，也是2π弧度，即360°=2π.
  • 弧长公式
    • L=n× π× r/180，L=α× r
      • （n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数）
  • 扇形面积公式
    • S=LR/2
      • （R是扇形半径，L是扇形对应的弧长）
  • 三角函数的定义域、值域
    • y＝sinα
      • 定义域是R，值域[-1,1]
    • y＝cosα
      • 定义域是R，值域[-1,1]
    • y＝tanα
      • 定义域是α≠kπ+π/2
      • 区间是(kπ-π/2,kπ+π/2)
      • 值域是R
  • 三角函数的单调性
    • 正弦函数
      • y=sinx在[2kπ-π/2，2kπ+π/2]，k∈Z，上是增函数；
      • 在[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]，k∈Z，上是减函数；
      • 三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]
    • 余弦函数
      • y=cosx在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，上是减函数；
      • 在[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z，上是增函数；
      • 余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；
      • 余弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。