数量关系

军队文职 公务员 事业单位 数量关系知识梳理，这张思维导图讲所有涉及到的内容做了整理，值得看看。

数量关系 （10题）

• 数字推理
  • 做题方法：猜证结合
  • 基础数列
    • 等差数列
      • 相邻数字之间差相等
    • 等比数列
      • 相邻数字之间商相等
    • 质数数列
      • 只有1和它本身两个约数的自然数叫质数
      • 2，3，5，7，11，13，17，19，……
    • 合数数列
      • 除了1和它本身外还有其他约数的自然数叫合数
      • 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，……
      • 注：0和1既不是质数又不是合数
    • 周期数列
      • 数字或符号之间存在周期性循环
      • 5，2，0，5，2，0，5，2，0，……
    • 简单递推数列
      • 递推和、递推差、递推积、递推商
      • 递推和例子：1，2，3，5，8，13，……
  • 特征数列
    • 多重数列
      • 题型特征
        • 项数多（≥7项，含所求项）
      • 解题思路
        • 先交叉（奇偶）
          • 先看奇数项和偶数项有没有规律
        • 再分组（两两分、三三分）
          • 分完之后寻找加减乘除的规律
      • 注意
        • 交叉时优先考虑（）所在组
        • 8项或10项，先交叉，交叉不行考虑两两分组
        • 9项或12项，先交叉，交叉不行考虑三三分组
    • 幂次数列
      • 题型特征
        • ①本身是幂次数
          • 4、9、16
        • ②附近有幂次数
          • 7、26、63
      • 解题思路
        • ①普通幂次：直接转换为aⁿ找规律
        • ②修正幂次：转化为aⁿ±修正项
      • 前提：熟悉幂次数
      • 平方数
        • 11²=121
          • 12²=144
            • 13²=169
              • 14²=196
        • 15²=225
          • 16²=256
            • 17²=289
              • 18²=324
        • 19²=361
          • 21²=441
      • 立方数
        • 2³=8
          • 3³=27
            • 4³=64
              • 5³=125
                • 6³=216
        • 7³=343
          • 8³=512
            • 9³=729
              • 11³=1331
      • 高次方数：
      • 注意点
        • 普通幂次
          • 优先还原唯一变化的幂次数
          • （尽量避开1、64、81）
            • 1ⁿ=1，nº=1
        • 修正幂次
          • 高频数字（60多、20多）
            • 64、25、27
    • 分数数列
      • 题型特征：全部或大部分是分数
        • 分数个数≥2个
      • 解题思路
        • 先观察分子、分母是否有递增或递减的趋势
        • ①是：先分开看，再一起看
        • ②否：先反约分，再重复①
          • 反约分从卡在两个正常分数中间的数入手考虑
          • 大通分：分子和分母，尤其是分母易找公倍数的时候
          • 大通分是反约分的一种特例，对所有数据通分
    • 图形数阵
      • 题型特征：无心圆、有心圆、方阵（九宫格或十六宫格）
      • 无心圆
        • 横向、纵向、对角线交叉找相等
      • 有心圆
        • 凑中心
      • 考虑加减乘除，有倍数优先倍数，无倍数优先交叉
      • 方阵
        • 有大数横向、纵向凑大数，否则加和
          • 大数：每一行或每一列同一位置的较大的数
  • 非特征数列
    • 多级数列
      • 题型特征
        • ①倍数关系明显
        • ②无明显特征，变化趋势平缓
          • 100以内或100多一点儿的数
      • 解题思路
        • ①两两作商（找倍数关系）
        • ②作差（一次、二次）、作和
      • 注意：作差、作商保持方向一-致
    • 递推数列
      • 题型特征：无明显特征、非多级数列
      • 解题思路：
        • 圈仨数（建议不大不小）
          • 减少猜证过程
        • 找规律（和、倍、积、方）
          • 结合选项考虑，差距小考虑和、倍，差距大考虑积方
          • 差距小：提干或选项中的数≤3位
          • 差距大：提干或选项中的数≥4位
        • 做验证
      • 注意：多级不行再考虑递推
• 数学运算
  • 一、计算问题
    • 基础运算
      • 1、尾数法
        • +-×方
        • 适用：选项尾数不同
        • 应用：取末一-位计算
      • 2、基础公式
        • ①交换律：a×b×c=a×c×b，a+b+c=a+c+b
        • ②分配律：ac+bc=（a+b）c
        • ③平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）
      • 3、定义新运算
        • 特征：出现新符号、新规则
        • 方法
          • 模仿新规则计算（先括号、再乘除、最后加减）
    • 等差数列
      • 特征：相邻两项的差相等
      • 公差：d
        • 首项：a1
          • 末项：an
            • 前n项和：Sn
      • 通项公式
      • 求和公式
      • 中项求和公式
        • • n为奇数
          • n为偶数
  • 二、工程问题
    • 三量关系
      • 总量（w）=效率（p）×时间（t）
    • 1、给完工时间型
      • 题型特征：给多个完工时间
      • ①赋总量（完工时间的公倍数）
      • ②算效率：效率=总量÷时间
      • ③根据工作过程列式求解
      • 找最小公倍数
        • 将较大的数扩大倍数
        • 短除法——分解到两两之间除了1，没有其他公约数为止
    • 2、给效率比例型
      • 题型特征
        • ①直接给效率的比例关系：甲乙的效率之比为3：2（1、5倍，3/2、多50%）
        • ②间接给
          • 甲4天的工作量等于乙3天的工作量（_C作量相同）
          • 甲完成工作时，乙只完成一半（时间相同）
          • 工作总量相同时，效率和时间呈反比
        • ③特殊型一给多个人多台机器
          • 50个工人；36台收割机（每人/机器效率相同）
          • 赋值每个人/每台机器效率为1）
      • ①赋效率（按比例赋值）
      • ②算总量：效率×时间=总量
      • ③根据工作过程列式求解
      • [补充]比例型倍数特性
        • 特征：出现分数、百分数、比例、倍数，优先考虑倍数特性
        • • ①A事物是m的倍数
          • ②B事物是n的倍数
          • ③A+B是m+n的倍数
          • ④A-B是m-n的倍数
    • 3、给具体数值型
      • 题型特征：具体效率或工作量
      • ①设未知数
      • ②根据工作过程列方程
  • 三、行程问题
    • 三量关系
      • 路程（s）=速度（v）×时间（t）
    • 1、基础行程
      • （1）公式：路程=速度×时间（方程法）
        • 单位换算：1m/s=3、6km/h
      • （2）火车过桥/隧道
        • 火车过桥：路程=桥长+火车长
        • 火车完全在桥上：路程=桥长-火车长
    • 2、流水行船
      • • ……①
      • • ……②
      • • （①+②）÷2
      • • （①-②）÷2
      • 注
        • ①静水速度=船速、漂流速度=水速
        • ②S=V顺×T顺，S=V逆×T逆
    • 3、相遇追及
      • （1）直线相遇
        • 描述：甲乙两人从A、B两地同时出发，相向而行
        • 公式
          • S和=（V₁+V₂）×t
          • S和：相遇过程中，两人所走的路程加和
      • （2）直线追及
        • 描述：甲乙两人从A、B两地同时出发，同向而行
        • 公式
          • S差=（V₁-V₂）×t
          • S差：追及开始时两人相距的路程
      • （3）环形
        • 环形相遇
          • 描述：甲乙两人在环形跑道、上同时同点出发，背向而行
          • 公式
            • S和=（V₁+V₂）×t
            • 相遇1次，S和=1圈
            • 相遇2次，S和=2圈
            • 相遇n次，S和=n圈X每圈长度
              • 每相遇1次，合跑一圈
        • 环形追及
          • 描述：甲乙两人在环形跑道上同时同点出发，同向而行
          • 公式
            • S差=（V₁-V₂）×t
            • 追上1次，S差=1圈
            • 追上2次，S差=2圈
            • 追上n次，S差=n圈X每圈长度
              • 每追上1次，多跑一圈
  • 四、经济利润问题
    • 基础经济
      • 易混淆概念
        • ①进价=成本
        • ②定价≠售价
          • 定价：30元（标牌价）
          • 售价：24元（实售价）
          • 注：不打折、不提价，定价=售价
      • 公式
        • ①利润=售价-成本
          • →列方程常用
        • • →与资料分析区分
        • ③售价=成本×（1+利润率）
          • →题干日常表述
        • • →打几折就是按照原价的百分之几十出售
        • ⑤总利润=总收入-总成本=单利×数量
          • →涉及到数量
      • 方法
        • （1）给具体带单位的数值
          • 设未知数→找等量关系→列方程、解方程
          • 注：涉及多个主体/多个时间/多个概念，可列表梳理
        • （2）无具体带单位的数值（给比例求比例）
          • 赋值法
            • 优先赋成本：10/100
            • 提到销量再赋量：10/100
    • 分段计费
      • 1、特征
        • 每一段的收费价格不同
          • 例如：出租车的费用、水费、电费、停车费、税费等
      • 2、方法
        • ①先分段计算
        • ②再汇总求和
    • 函数最值（套路）
      • 1、特征
        • 单价和销量此消彼长，求何时总价/总利润最高?
      • 计算方法（两点式）
        • ①设提/降价次数为x，列方程→总价=单价×销量=（）×（）
        • ②令两括号为0，解
          • →x1=
            • x2=
  • 五、排列组合与概率
    • 排列组合
      • 问：有多少种情况?
      • 1、分类分步
        • 分类相加
          • →要么…要么…
            • （每一类都可以完成）
        • 分步相乘
          • →既…又…
            • （都发生才算完成）
      • 2、排列与组合斗
        • 组合：从n个不同的元素中选出m个元素作为一组。
        • 排列：从n个不同的元素中选出m个元素，按照一定的顺序进行排列。
        • 排列→与顺序有关
        • 组合→与顺序无关
        • [判定标准]
          • 从选定主体当中任意挑出两个，调换顺序
          • 对结果有影响，与顺序有关（A）
          • 对结果无影响，与顺序无关（C）
        • 计算
          • 排列数
            • 常用
          • 组合数
            • 常用
      • 3、捆绑法-要求相邻
        • ①先捆：把相邻的元素捆绑起来（注意内部有无顺序）
        • ②再排：将捆绑后的看成一个整体，进行后续排列
      • 4、插空法-要求不相邻
        • ①先排：先安排其他没有要求的元素，形成若干个空位（注意空位个数）
        • ②再插：再将不相邻的元素插入到符合条件的空位中去
    • 概率问题
      • 问：某事件发生的概率是多少?
      • 1、给情况求概率
        • 没给某事件的概率
        • 基本公式
      • 2、给概率求概率
        • 已知某事件的概率
        • 分类相加：P=P1+P2+P3（要么…要么…）
        • 分步相乘：P=P1×P2×P3（既…又…）
      • 逆向思维：概率=1-不满足条件的概率
  • 六、几何问题
    • 公式运用类
      • 1、规则图形
        • 直接用公式求解
        • 平面图形
          • 周长
          • 面积
        • 立体图形
          • 表面积
          • 体积
      • 2、不规则图形
        • ①转化为规则图形（切割、平移），再用公式
        • ②实在不好转化，可以用S（总）-S（规则）来求。
    • 结论技巧类
      • 1勾股定理：a2+b2=c2
        • ①常用勾股数：（3，4，5）（6，8，10）（5，12，13）
        • ②特殊直角三角形
      • 2、底相同的三角形，面积之比=高之比；高相同的三角形，面积之比=底之比
      • 3、相似三角形
        • 特征：对应角相等，对应边成比例
        • 结论：
          • 对应边之比=相似比
          • 面积之比=相似比平方
  • 七、最值问题
    • 最不利构造
      • 特征
        • 至少…才能保证…
      • 思路
        • 保证数=最不利数+1
          • （反着来，想想最倒霉，再加1）
      • （1）至少…保证有n个相同
        • 方法：要保证相同的（至少）n个，应每种情况各取（n-1）个。（如果有不够n-1的有多少取多少），最后再加1。
        • 不够，全给你；够，少一个气死你
      • （2）最不利构造-结合排列组合
        • ①先搞定情况数
        • ②保证数=（n-1）X情况数+1
    • 数列构造
      • 特征
        • 和一定，求某个量的最大/最小值（和定最值）
      • 思路
        • 排序定位→求谁设谁→反向构造→加和求解
        • ①排序定位
          • 一般从多到少
        • ③反向构造
          • 求某量最大，其他尽可能小，优先构造最小
          • 求某量最小，其他尽可能大，优先构造最大
          • 注意：看题干是否有"各不相同”；没说，默认可以相同
        • ④加和求解
          • 若结果不为整数，反向取整
          • 问”最少分几个”，向多取整；
          • 问”最多分几个”，向少取整。