导图社区 2024最新数量关系（含数字推理）
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2024最新数量关系（含数字推理）
花生十三的数量关系很通俗易懂，都是干货，没有那种长篇大论，都是满满的技巧和方法，本图还加上个人归纳而成，耗费了极大心血 ，希望对你有帮助。
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- 数量关系
- 相似推荐
- 大纲
每日总结
日期
工作日：周六日不算
画日历
倍数
有两个是X的倍数，另一个肯定是X的倍数
能用大用大的
都是a倍b倍→都是ab倍
ax+by=c
ac是z倍数→y是z倍数
分数：未知数肯定是分母倍数，结合肯定分子倍数
ax=by
x是b倍数，y是a倍数
x/y比例b/a
x是b倍数，y是a倍数
X+Y是a+b倍数
a%x=y
x是100倍数，y是a倍数
都是等号对面的系数倍数
2倍猜答案
小数：求最少→≥→进1 求最多→≤→舍去
面积
尺子量
错位排列
D2=1 D3=2 D4=9 D5=44 D6=265
坐标图：最大共同特征排除
三个数公倍数
先找其中两个，再用它和第三个找
数列
2 3 5 8
12
13
2 3 5 7 11
质数
4 6 8 9 10 12 14 15 16
合数
新数列记得与原数列对比
多级和 递推和
2 4 注意是6还是8
1 2 4 8
0 2 4 6
至少→其他尽量多
%→总数100倍数
环形排列
围成一圈
数字推理：观察答案
主题
数学运算
解题思维
方程
1||| 找等量关系
1. 已知总和
2. 已知A与B之间的关系
A比B。。。 A是B。。。 A与B。。。
通常用来减少未知数
3. 隐藏在多个条件中的不变量
不变量设X
2||| 根据等量关系设未知数→列方程
；左右相等
等量关系缺谁设谁
遇到比例设份数
3||| 解方程
总价一定，单价大的越少→总数越大
二元一次方程
数字特性
奇偶
奇±偶=奇 奇±奇=偶 奇X偶=偶 奇X奇=奇
和差同性：和奇差奇；和偶差偶
奇反偶同：和差奇，奇偶反；和差偶，奇偶同
倍数
有两个是X的倍数，另一个肯定是X的倍数
整数解时
能用大用大的
都是a倍b倍→都是ab倍
ax+by=c
ac是z倍数→y是z倍数
x/y比例a/b bx=ay
x是a倍数，y是b倍数
X±Y是a±b倍数
a%x=y
x是100倍数，y是a倍数
约至最简
分数a/b：未知数肯定是分母倍数，结合肯定分子倍数
都是等号对面的系数倍数 （ab互质）
是否倍数
2、5
看尾数
4、25
末两位
8、125
末三位
3、9
各位数之和
11
中间位是首尾相加
a（a+b）b
某数因数分解，因数都能就可以整除
尾数
结合系数，判断未知数尾数看
代入
数字特性排除选项
题干条件验证
枚举
一般正整数
三元一次方程
求部分
消元
不消要求的
消系数小的
得二元一次求解
方程有一个二元的，刚好问题问其中一元→不用消直接用
特征消元
小数
求整体
赋0
一般为X+Y+Z 且没说是正整数
1||| 令任一未知数为0
难算的，系数大的
2||| 解方程
可以是负数 小数
3||| 将解代入问题
不定方程系数轮换，问X+Y+Z→方程组相加/组数
不定方程缺1循环相加 abc bcd cda dab,问其一→ 全数相加=方程组相加/（组数-1）→-缺其一的组
4||| 题干有倍数关系
A是B的2倍
选项有倍数关系→猜
赋值法
具体数据少
赋值涉及信息量最大的条件
分数/→设分母 百分数%→整体设100 比例:→按比例赋值 倍数→一倍设10
A=BxC,只已知其中一个量具体数值→一定能赋值
工程题 路程=速度x时间 体积=底面积x高
经济题 总价=单价x件数
行程
溶液
工程问题
若干人、多少时间、完成工作
工作总量=工作效率X工作时间
赋值法
已知工作时间
几天可完成
1||| 赋值总量=时间公倍数
合成时间也要一并考虑
只有一个时间→总量=时间，效率=1
2||| 计算效率
3||| 按题目要求完成工作
已知工作效率比
3:4:5
1||| 按比例赋值效率
甲A天=乙B天，甲效率B，乙A
2||| 计算工作总量
3||| 按题目要求完成工作
不同安排不同情况
A几天工作量=B+C几天工作量
列量等式方程组
出现N个相同人/机器
赋值每人效率1
没有若干工作时间，没有效率→随便设值
中途加入/休息
工作总量拆开→工作总量=Σ各自总量
休息时对方做→(总量-休息对方做的量)/总效率=合作时间
合作完工
帮忙的没休息→总量/总效率=时间
两件事两个人做，效率不同 问最短时间
1||| 每人先做擅长的
天数里面最少的天A
2||| 先完成的帮没完成的
计算没完成工作的总量，效率
计算余量
剩余天数=余量/总效率
算出来时间有余数
看余数够不够最小效率
总需要几天，再需要几天 开工几天，接着做几天
注意问法
集合容斥
多人吃几样东西 多人做问卷调查
总-圈外=圈内=总次-重复=Σ仅一者+Σ仅二者+三者
两集合
总次-圈内=重复 A+B-(总-圈外)=ab
重复：ab
三集合
总次=圈内+重复 A+B+C=a+b+c+2(ab+bc+ca)+3abc
重复=总次-圈内 A+B+C-(总-圈外）
重复=Σ二者-三者 AB+BC+CA-abc
重复=Σ仅二者+ 2三者 ab+bc+ca+2abc
Σ仅二者=重复-2三者 A+B+C-(总-圈外）-2abc
Σ仅一者=2圈内-总次+三者 2（总-圈外）-(A+B+C)+abc
画图
题问只满足某一项的数
若干人吃若干食品，只吃一种食品的人数 几种方式搜集数据，只参加一种的人数
中心起填，由内而外
交集中心最小值
交集中心最小值=Σ各集合数-（集合个数-1）x总数 =总数-Σ（总数-各集合数）
取AB相加-总数=AB交集最小 再用AB交集当新集合+C-总数=ABC交集最小
某交集最大值
其余交集赋值0
仅二者最大值
仅二者最大值=（A+B+C-3abc-a-b-c）/2
不存在三者及一者时最多
赋值
中间起赋
经济利润
基本公式
首选方程法
赋值法
两个未知
合成△（经济利润慎用）
有合成利润率时 收入支出增长时
A +B =C 股本A+股本B=总股本 利润A+利润B=总利润 成本A+成本B=总成本 收入A+收入B=总收入 支出A+利润B=收入
a、b、c 利润率a、利润率b、总利润率 增率a、增率b、总增率
增长率
比值增长率
（a-b）/（1+b）
单价
乘积增长率
r+b+rb
总价
分批销售 部分打折 分段计费计量
首选方程法
1.问什么设什么x
盐水方程：收入=Aa+Bb
鸡兔同笼（慎用）要有A+B
最佳定价 最大收入
A元卖B件、每+a元少卖b件
排列组合
基本概念
排列
有顺序 排队 排法 顺序
轮流挑
抽+排
组合
没顺序 选 挑选 同样的
轮流挑/挑出来的排列数
抽完丢一边
从特殊入手，全部减不符
有特殊要求的先考虑
至少，否定，不能→全部减不符
特定方法
捆绑
在一起 相邻挨着
当一个
排列→乘n次捆绑内部Ann
插空
不相邻 路灯关灯
数空数
相同元素分组
名额 小球 苹果 份数
元素相同，组地位不同
组多元素少
可分0个，分类讨论，ΣC
组少元素多
隔板
n：组数 m：元素数
每份至少一个→不是→构造出是
错位排列
不能（吃）自己 拿 选 停
D2=1
D3=2
D4=9
D5=44
D6=265
递推数列
环形排列
围成一圈
分组
元素不同，组地位不同/相同
组地位相同 分三组
轮流挑组员/相同人数的组数排列
6人平均三组=
10人2233=
只有同人数能互换位置
相同小球：也要除球数Ann
组地位不同 分ABC组
轮流挑组员
6人分ABC三组=
10人2233分ABCD组=
同一集合内挑，轮流C出来的组间带排列（挑出来不同组） 不同集合内挑，轮流C出来的组内不带排列（挑出来同组）
6个挑3个分ABC组
A63=C61C51C41:C出来不同组已排列
C63A33:C出来同组未排列
定序
先全排，再除确定顺序的Ann
轮流挑相同元素→除A元素数
10球，3红3黄4绿
重复排列
可重复选
电话号码 小学去科技馆
二人同组
第一个人随意 不用管
组坑数/总坑数
比赛问题
场数
淘汰赛
场数：n-1场
轮数：2^x≥n
轮空
循环赛
积分
单循环
Cn2
双循环
2Cn2
五角星写名字连线
n：队伍数
概率
基本公式
概率=满足数/总数
概率=1-不满足概率
刮风下雨 射击打靶 比赛
分步概率=每步概率之积
事情没完
分类概率=各种情况概率之和
事情完了
P(A|B)=P(AB)/P(B)
二人同组概率=1X组坑数/总坑数
不管第一个人
多局比赛
提前赢够后不继续比
最值
至多 至少 最多 最少 至少+保证
最不利构造
至少+保证
气死
1||| 不要的统统给
2||| 要N个，先给N-1个
3||| 继续下一项
4||| 给完后+1个
数列构造 和定最值
固定总和，问某项最值
各项数量不一定不等
1||| 编号
2||| 求谁设谁
3||| 按要求+1、+2...1-、-2...完成构造
至少
其余尽量多
不等时：X+1,X+2...
可以相等时：X,X,X,Xor
至多
其余尽量少
不等时：1,2,3...
可以相等时：1,1,1,1，
4||| 求解
小数：求最少→≥→进1 求最多→≤→舍去
至少多少→每人平均则最少
反向构造
答题5道 每道对的若干 问及格至少几人
答对abc道及格 答对def道不及格
设答对x
abc x+ def（100-x）=总对数
abcdef同时取大小极值=最多或最少答对
系数 总数 极值
趣味杂题
牛吃草
边吃边增长/减少 吃草 抽水 排队 资源开采
1||| 设方程组
y=(N-x）x T 原有量=（牛数-增速）x 时间
牛效率赋值1
增速注意正负
2||| 消元求解
3||| 代入问题求答案
时间问题
下次相遇何时 几月几号是周几
星期日期
间隔天数（周期）
0+整+0
（头月尾号-起始日号）+中间月天数+（尾月号数）
开头月：剩余天数（不含第一天）（出差第一天算一天） 结尾月：几号就加几天（含结尾天） 一个月内：按开头月算法
花生
先粗算
（尾月-头月）*30
再修正
跨过的月尾+1,-2
加上日期差
尾月日期-头月日期
负数也行
工作：第一天也算
数周几
1||| 间隔天数除7得尾数
2||| 开头+尾数-7=结尾
1||| 结尾-尾数+7=开头
3||| 星期一年加一，经过闰日再加一
一个月
4周28天，4个星期x
余下天数星期几月头=月尾
第5个星期x
123号星期123=293031号星期123
5个星期123
一个周期的余数=开头(上周期结尾)=结尾(下周期开头)
闰年
整百年份要能被400整除
年龄问题
年龄差恒定
年龄增量相同
注意加和增量两倍
首选方程法
设一个x即可
每人年龄写出来
代入法
年龄平方数：9 36 64
坏钟问题
两个表，问什么时候再标准
12h一轮回
720min
求各自回准时间（720/快慢）→再求最小公倍数
每n天/每n棵树→周期n 每隔n天/每隔n棵树→周期n+1 每x米=每隔x米→周期x
一周：周期7，每七天，每隔六天
空瓶换酒
N-1个空瓶，换一份酒（不含瓶）
溶液问题
溶质=浓度x溶液
混合前后总溶质相等
合成△
A+B=C 部分+部分=整体
Aa+Bb=(A+B)c
a=x/A
分母是谁，算出来的就是谁
A +B =C 股本A+股本B=总股本 利润A+利润B=总利润 成本A+成本B=总成本 收入A+收入B=总收入 支出A+利润B=收入 男+女=总人数 分数A+分数B=总分数 入选A+落选B=总报名 工时A+工时B=总工时
a、b、c 浓度a、浓度b、总浓度 利润率a、利润率b、总利润率 人均a、人均b、总人均 增率a、增率b、总增率 平均分a、平均分b、总平均分 效率a、效率b、总效率 比例a、比例b、总比例
经济利润首选方程法设x
a，b，c→求A/B
a=x/A
分母是谁，算出来的就是谁
求人数，想盐水
合成增长率
基期量比
合成比例
量比
注意分母是谁
总量
部分量
金字塔逐级占比
合成均数
人均比
人数
合成利润率
成本比
合成效率
时间
合成溶液
溶液量
有A+B→求A,B
a，b，A/B或A,B→求c
用现期量近似代替
a，c，A/B→求b
鸡兔同笼
晴雨浇水 用水用气 分段计费计量 考试对错得分 计件报酬
Aa+Bb=总量=(A+B)c 已知a、b、总量、（A+B）求AorB
题干有倍数关系
A是B的2倍
选项有倍数关系→猜
多次蒸发/稀释
1||| 把溶质赋值浓度公倍数
2||| 溶液1=溶质/浓度1
3||| 溶液2=溶质/浓度2→得差值
4||| 溶液3=溶液2±差值
5||| 浓度3=溶质/溶液3
a克溶液+a克水→浓度1/2
试管有水，加溶液混合取出部分再倒进其他试管
+2a克水，浓度1/3
植树问题
总长间隔几米种树
线型植树
棵数（端点数）=总长/间隔+1
去两端：棵数（端点数）=总长/间隔-1
环形植树
棵数（端点数）=总长/间隔
方形也是一样
重复植树
已知新旧距离ab
求ab最小公倍数
总长/最小公倍数=段数=不用移的段数（加头尾总数要+1）
已知不用移的数
求ab最小公倍数
总长/不用移的段数（减头尾-1）=段长=ab最小公倍数
路两侧植树→X2→猜选项2倍
每n棵数/每隔n棵数
几何问题
几何计算 投影 方位、救援、角度、距离→优先跳过
内角和=(n-2)x180
圆
三角形
直角三角形： 5 12 13
a方-b方=(a+b)(a-b)
正三角形中心高2:1
行走最短距离
立方体
接近正方形最短
端点-端点最短距离：根号（最长边²+(短1+短2)²）
折返跑
建筑选址
镜像起点，连线终点
一笔画走完
连线奇点，消除奇点
2笔画→1笔画
2奇点：回不到出发点 0奇点：能回到出发点
不回到出发点
可保留2奇点（多走一段）
回到出发点
0奇点（多走2段）
平行线+三角形→优先考虑相似
相似等比例放缩：长度比n，周长比n，面积比n²，体积比n³
矩形没具体数据→设为正方形
面积
尺子量
周长一定，圆形面积最大；面积一定，圆形周长最少
行程问题
1m/s=3.6KM/H
比例法
S=VT
S1=S2，V1/V2=T2/T1
百米跑
部分修路，多的时间都在修路上
T1=T2，S1/S2=V1/V2
走了相同时间
V1=V2，S1/S2=T1/T2
等距均速
往返，上下坡
V=2V1V2/(V1+V2)
全程变速 部分变速
比例法
合成△ （知道3个V或者3个T时）
列式：S=VT+VT
用V或T做abc，求A/B
相遇追及
相遇
路程和=速度和X时间
环形相遇
反向而行
nS=(V1+V2)T
n次相遇，路程和n圈
起点不同时，把第一次相遇单独拿出来算
直线两端出发相遇
(2n-1)S=(V1+V2)T
n次相遇，路程和=(2n-1)xS
1 3 5
直线一端出发相遇
2nS=(V1+V2)T
n次相遇，路程和=2nxS
2 4 6
相遇时间 后程时间
T前/T后=S1/S2=V1/V2
追及
路程差=速度差X时间
环形追及
同向而行
nS=(V1-V2)T
n次追及，路程差n圈
起点不同时，把第一次追及单独拿出来算
快的人总跑=路程差+慢的人总跑
时钟问题
时针0.5°/min 分针6°/min
1小时2次直角，2点-4点共三次
360n=5.5T
路程和360n=6.5T
直线追及
S=(V1-V2)T
路程差S=火车长
比例法
V1/V2=T2/T1
多用的时间份数=提前走的距离
多车相遇追及
每次都只考虑两车
每次都从出发点考虑
火车过桥
总路程=桥长+车长
完全在桥上：路程=桥长-车长
两火车相遇：路程和=两车长、速度=速度和
流水行船
顺水速度=船速+水速、逆水速度=船速-水速
总数分组
问总数：余数
分几组余多少
分完还要补多少→余数相反
总数=最小公倍数*n+
余同+余
余数相同→+余数
除3余1除5余1除6余1
和同+和
除数+余数相同→+和
除7余1除6余2除5余3
差同-差
除数-余数相同→-差
除7余5除6余4除5余3
问组数：盈亏问题
人坐车 人住店 分物资
每组几人多多少 少多少
方阵问题
圈数=短边长/2
每圈人数=2（a+b）-4
外圈比内圈多8人，边长多2
考场作答
0分钟
10B、10C
1-2分钟
猜
数值选居中，尤其等差选项
问最多最少，两头选
题干有倍数，选倍数选项
10-15分钟
目标做出题量=时间/2
做特长（排列组合性价比高）
没做的题猜没选的选项
技巧
题干有倍数关系
A是B的2倍 半径直径
选项有倍数关系→猜
代入排除法
多位数
给多位数选项，满足一定条件让你求
余数
至多 至少 最多 最少
问最少从最小代入，问最多从最大代入
年龄
若干个人年龄关系
不定方程
无解代入求解
其他
周期
看商和余数
等差数列
时针0.5°/min 分针6°/min
坐标图：最大共同特征排除
因式分解
a=bc
用质数猜
2 3 5 7 11 13
平均分组 组数尽可能少
公倍数，公约数
各自有周期，求同时发生 再次重合 再次相遇 重复植树
最小公倍数=短除法除至商两两互质，除不了的直接下移，倍数乘商
最大公约数=短除法除至商互质，倍数相乘
分数/小数
乘相同数化整→求出再除
分数：分子最小公倍数/分母最大公约数
每n天/每隔n天
总量→单位量公倍数
易错点
最多栽种 最多同时
开头就有一次 +1
每n天/每n棵树→周期n 每隔n天/每隔n棵树→周期n+1
主题
数字推理
基础数列
基础数列最优先
等差数列
5,8,14,17,20,23
等比数列
2,6,8,54,162
质数数列
2,3,5,7,11,13,17,19
合数数列
4,6,8,9,10,12,14,15,16
1不是质数也不是合数
简单递推数列
和
做差后除了首位等于自己
1,1,2,3,5,8,13
1,3,4,7
4,8,12,20,32
差
20,11,9,2,7,-5,12
积
4,0.5,2,1,2,2,4
商
54,18,3,6,0.5,12
小了又变大
周期数列
4,1,6,4,1,6
对称数列
1,2,3,3,2,1
因式分解
每个数乘积
2,3,5,8
12
做差后等差
13
递推和
分数数列
大多为分数
只有一两项是分数+分子是1 →有可能是幂次数列（n^-1=1/n)
1约分
不是最简形式
2反约分
分子分母不渐变
结合答案
3分组
连分数线→分子分母分别找规律
4交叉
分子分母有关系
递推得后数
多级新数列
连一起是数列
看确定分数规律
搞不定→做积，做差
多重数列
已知项数≥6 两个括号
1||| 交叉数列
奇数项偶数项分别成规律
2||| 分组数列
奇偶项不成规律后
两两分组
已知项数为奇数（7项，9项）（偶数不是）
各组内简单加减乘除，得到新的简单数列
多重+多级
三三分组
已知8项，11项
利用两个数加减乘除倍数平方→递推第三个
多重+组内递推
幂次数列
每项均为幂次数 或幂次数附近
将每项写成幂次数（修正），从较大数入手
1/n→-1次方
1/负数→负数-1次方
三个已知项
一定是幂次数列
平方
11² = 121， 12² = 144 ，13² = 169 ，14² = 196 ，15² = 225 16² = 256， 17² = 289 ，18² = 324， 19² = 361 ，20² = 400 21² = 441 ，22² = 484， 23² = 529 ，24² = 576， 25² = 625
立方
1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125 6³=216，7³=343，8³=512，9³=729，10³=1000
多次方
2
1-2，2-4，3-8，4-16，5-32，6-64，7-128，8-256，9-512，10,-1024
3
1-3，2-9，3-27，4-81 5-243
4
1-4，2-16，3-64，4-256
5
1-5，2-25，3-125，4-625
6
1-6，2-36，3-216
多级数列
没有明显特征
相邻项有倍数关系
两两做商
相邻项无倍数关系
两两做差、做和、相乘至少两次
中间空做差：空两头减，得数拆成两个数
三项加和
项数多 比较小
得新数列
得后数
得到新数列→看新数列规律
新数列与原数列规律
递推数列
没有特征+不是多级数列
与后项比较
从大的数字结合选项看趋势
圈三法
位置相邻 较大三个数
确定加减乘除
建立等量关系
验证
做试探
按顺序，变化趋势： 加＜倍＜乘＜方
减
1||| 差
减一半
2||| 商
两两
增
1||| 加
多级数列：相加成新数列 递推数列：相加成下项
加后再倍、加一半
2||| 乘
两两
3||| 倍
倍后再加
4||| 方
幂次数列：化幂次后成新数列 递推数列：幂次后成下项
方后再加
自己
结果与后项比较 不用形成新数列
三项加和
项数多 比较小
得新数列
得后数
图形数列
九宫格
1||| 每行每列求和→定值
2||| 和不定值→递推→小数推大数
圆圈图
有中心
周围四个运算得中间
一起用
分组用（一定是对角线）
中间数值较大
+、x
中间数值较小
-、/
无中心
二数运算凑相等
对角线
横竖
特殊数列
机械数列
第一项就较大 多位数（忽大忽小）
1||| 数字加和
2||| 数字拆裂
1. 中间劈
当成两个数列分别找规律
2. 全劈
项内递推
3. 小数点当成分号
分组
各自找规律
交叉
递推后数
多级新数列
根号
不看根号
没根号的平方加根号
化最简
新数列可能=原数列
③失败
没时间
最后两道
猜
已知项奇偶特征
奇奇偶偶奇奇
奇偶偶奇偶偶
除3余数
已知项除3余数规律
大小倍数
已知项大小倍数
有时间
特殊数列
②无明显特征
1||| 两两做差、做和、相乘
多级数列
新数列找规律
2||| 看趋势
递推数列
做试探
加
乘
倍
方
结果与后项比较 不用形成新数列
3||| 圈三/两个数
得新数列
得后数
①有明显特征
基础数列
直接做
图形特征
九宫格
每行每列求和→定值
和不定值→递推→小数推大数
圆圈图
周围四个运算得中间
一起用
分组用（一定是对角线）
已知项数≥6、两个括号
多重数列
奇偶项各成规律
交叉数列
奇偶项不成规律
分组数列
两两分组
奇项数，已知7项，9项
各组内简单加减乘除，得到新的简单数列
三三分组
已知8项，11项
利用两个数加减乘除倍数平方→递推第三个
各项幂次数附近
只有三个已知项
只有一两项是分数+分子是1
幂次数列
相邻项倍数关系
多级数列
两两做商
新数列找规律
多数分数
分数数列
分子分母各自找规律
分子分母加减乘除→得后数
搞不定→做积做差
机械数列
第一项就较大 多位数（忽大忽小）
1||| 数字加和
2||| 数字拆裂
1. 中间劈
当成两个数列分别找规律
2. 全劈
项内递推
3. 小数点当成分号
分组
各自找规律
交叉
递推后数
多级新数列
根号
不看根号
没根号的平方加根号
小了又变大
做差后等差数列有负数
递推差积商
四个已知项
递推、幂次
全偶数，数字小，九九乘法
因式分解→单项间找规律
一正一负
做和