导图社区 粉笔980数量关系
粉笔980数量关系的思维导图，整理了代入排除法、倍数特性法、方程法、工程问题、经济利润问题、行程问题、几何问题、排列组合及概率、容斥问题等知识内容，一起来学习吧！
社区模板帮助中心，点此进入>>
党章建设思维导图
国考地理高频考点知识汇总
公考言语理解与表达-选词填空
公务员省考图形推理
法理学笔记
公考申论命题点
法理学
国考判断课总结【注意】
我的行测痛点
公务员考试：申论
数量关系
备考策略
对应一个题，先识别再想方法
代入排除法
问题1：什么时候代入（两个维度）
题型
年龄问题
识别：题干涉及年龄
常识：结婚生子的年龄，必须符合法定婚龄（男不得早于22岁，女不得早于20岁)
多位数问题
识别：研究数位上数字之间关系
常识：位数对调往往是考查的重点
余数问题
识别：题干中出现“剩”“余”字样
不定方程问题
列示发现，未知数个数>方程个数，无法求解
选项
选项信息充分
识别：即选项带入后，可以验证题目中所有条件，一般问法中有“分别”、“各”的字样
选项为一组数
选项可以转化为一组数
剩二代一，必得答案
问题2：怎么用
先排除，再代入
先排除（数字特性：尾数、倍数、奇偶、大小）
再代入
最值
（1）问最大多少，先从最大的选项开始代
（2）问最小多少，先从最小的选项开始代
从简
（1）简单条件
（2）简单选项
注意：代入过程中，遇到不符合题意的就排除，满足题目所有要求的就选择
倍数特性法
整除型®余数型®比例型
题型1：整除型（平均分配）
整除的基础知识
若A=B*C，B、C均为整数，则A是B的整数倍，也是C的整数倍
若A是B的整数倍，A是C的整数倍，则A是B*C的整数倍（B、C互质）
整除的判定方法（只关注怎么用即可）
能被2、5整除®看最后一位
能被4整除®看最后两位
能被8整除®看最后三位
能被3、9整除®看各数位上数字之和
能被6、12、18等整除®因式分解两个互质的数相乘的形式
识别：问题、题干中。存在平均分配（整数倍）
方法：优先利用倍数特性分析
题型2：余数型（平均分配后，有多有少）
识别：平均分配后，有多有少
方法：转化成“整除”®多几个，减掉；少几个，加上，俗称“多退少补”
题型3：比例型
识别：出现比例，求具体数，优先考虑倍数特性
方法
（1）看问法®直接看问题的主体
（2）化比例®找和其相关的比例
“无脑方法”：谁比谁，就谁除以谁，分母不动，分子：多®加，少®减
（3）验选项®通过倍数验证选项
方程法
普通方程®不定方程
普通方程设未知数的技巧
（1）设小不设大®避免分数计算
（2）设比例数®避免分数计算
（3）设关联多的®方便列式
（4）尽量求谁设谁®避免掉坑
注：做题时会出现冲突，灵活应对。方便即可
不定方程的解题方法
通过列式，得到一个不定方程
直接考虑数字特性
建议顺序：尾数®倍数®奇偶®代入
如何看尾数？识别：ax+by=M，当a或b尾数是0或5时，考虑尾数
如何看倍数？识别：ax+by=M，当a或b与M有公因子时，考虑倍数特性
如何看奇偶？识别：ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性
通过列式，得到两个不定方程
一定要看所设未知数是否必须为整数
是®消元法，转化成一个不定方程，分析数字特性
否®赋0法，让其中一个未知数为0，解出其他未知数
拓展：“假设法”巧解方程组
假设法
工程问题
学习要点：基础工程（给具体量、给完工时间、给效率比例）®牛吃草
工程问题的三量关系：总量=效率*时间
（1）给出具体的总量或者效率®列方程即可
（2）只给出时间，并且是多个完工时间®赋值总量
（3）只给出时间，并且给出效率比例®赋值效率
一般工程问题中，都会给出时间，考试形式分为
题型1：具体量型
给出总量或效率的具体值
方法：方程法
题型2：完工时间型
给了两个及以上的完工时间
题型3：效率比例型
给出效率之间的比例
给效率比例的不同形式
直接型
间接型
特殊型
§题型4：牛吃草
公式：原有的草量=（牛吃的-草长的）*天数
识别
（1）排比句：几头牛吃几天、几头牛吃几天，问：几头牛吃几天
（2）有增长：草在生长
（3）有消耗：牛在吃
常见于：经典牛吃草、检票口检票、抽水机抽水、资源开采
解题方法
方程法：根据原草量相等，设草每天生长的量为X，列方程、解方程
公式：原草=（牛-草）*时间
拓展：万能解题模板
经济利润问题
学习要点：基础经济®分段计价®函数最值
题型1：基础经济
公式
方法选择
题型·2：分段计价
识别：水电费、出租车费、税费等，不同阶段计费标准不同
（1）找到分段点
（2）分别计算
（3）汇总加和
考法：给总量求费用、给费用求总量
题型3：函数最值
识别：售价/利润与数量此消彼长，求最值
（1）设提/降价次数为x，列式
（2）式子为0，求解x1、x2
（3）平均数时，为最值
行程问题
学习要点基础行程®相对行程
基础行程
三量关系
公式：路程=速度*时间
一个量不变，另外两个量存在的正反比关系
（1）路程不变，速度与时间成反比
（2）速度不变，路程与时间成反比
（3）时间不变，路程与速度成反比
火车过桥
相对行程
高频考点
考点一：直线相遇
考点二：直线追及
考点三：环形相遇
考点四：环形追及
考点五：直线多次相遇
考点六：流水行船
直线相遇
识别：两人从两地相向而行
公式：S相遇=（v1+v2）*时间
注：相遇路程为在相遇过程中两人走的路程之和
直线追及
识别：两人从两地同向而行
公式：S追及=（v大-v小）*时间
注：追及路程为在运动前，两人原始相距的距离
环形相遇
识别：环形跑道，同点背向而行
注：每相遇一次所走的路程和（S相遇）均为环形跑道1圈的距离
环形追及
识别：环形跑道，同点同向而行
注：每追上一次所走的路程和（S追及）均为环形跑道1圈的距离
直线多次相遇
同端
识别：两人从同地同向而行，多次相遇
公式：S相遇=速度之和*时间=2nSAB
两端
识别：两人从两地相向而行，多次相遇
公式：S相遇=速度之和*时间=（2n-1）SAB
流水行船
导入
船在水中走，船速为v船，水速为v水
从上游到下游，顺流而下的速度v顺水=v船+v水
从上游到下游，逆流而上的速度v逆水=v船-v水
静水中船走的速度为v船
木块在水中漂流的速度为v水
几何问题
学习要点：基础公式®三角形®常考结论
基础公式（重难点公式）
三角形相关
勾股定理
积累：记住（3、4、5）*n、（5、12、13）*n
特殊三角形三边关系
方位图
经验：一般求长度，需要构造直角三角形，运用勾股定理
几何常考结论
相似比例
相似比：长度比等于相似比，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方
均值定理
（a+b）为定值，a=b时，a*b最大®长方形周长一定，为正方形时，面积最大
a*b为定值，a=b时，（a+b）最小®长方形面积一定，为正方形时，周长最小
最短路径
平面
两点同侧®求在直线一点到同侧的两点的距离之和最短
方法：将其中一点镜像对称，与另外一点两线，使三点共线
立体
求立体图形表面上两点的最短距离
方法：将立体图形展开放在同一平面，连线计算
排列组合及概率
排列组合
学习要点：基础概念®特殊题型
基础概念
排列（A）：与顺序有关（不可互换）
组合（C）：与顺序无关（可以互换）
分类分步
分类：用加法，要么……要么……（”或“的关系，多者选其一）
分步：用乘法，既……又……（”且“的关系，同时满足）
做题逻辑
考查考生最基本的banshi，如何思考、安排工作
先进行全面分析（分类），再逐一（分步）完成工作
经典题型的解题方法
枚举法
特征：题干要求凑特定的数字（10个以内），或者选项情况数较少
方法：从大到小，依照次序，不重不漏
捆绑法
特征：必须相邻（在一起）
先捆：把相邻的元素捆绑在一起，注意内部有无顺序
再排：将捆绑后的看成一个整体，进行排列
插空法
特征：不能相邻（不在一起）
先排：先安排可以相邻的元素，形成若干空位
再插：将不相邻的元素插入到空位中
隔板法
特征：N个相同的元素，分给M个不同的主题，要求每个主体至少分得一个
（1）N个元素至少有（N-1）个空位，分M堆需要（M-1）个板子
（2）至少分一个共有
概率
学习要点：已知情况®已知概率
给情况求概率
公式：概率=满足/全部
注：正难则反，满足概率=1-不满足概率
技巧：先算全部，从月份角度结合选项看是否能够排除，甚至选择答案
给概率求概率
方法：分类加和、分步相乘
技巧：尾数法速算
正面分类>3，正难反易
容斥问题
学习要点：两集合®三集合
两集合
三集合
标准公式
特征：分别给出两两交集
非标准公式
特征：统一给出只满足两者
如何区别标准与非标？
标准
总数=A+B+C+都不-AÇB-AÇC-BÇC+AÇBÇC
识别：分别给出两两交集（既……又……）
非标
总数=A+B+C+都不-满足两项-2*满足三项
识别：统一给出只满足两者（参加两项、喜欢两种）
求交集最小（补充）
多集合反向构造
识别：都、至少……
公式法：题目所给、所求都是公式中的一部分
画图法：出现”只A“®三步走
（1）画图®几个集合，画几个圈
（2）标数字（从交集标、不重不漏）®从交集标，不重不漏
（3）加和®根据选项，观察尾数
