亿图脑图MindMaster考研数学一高等数学知识点及常用方法
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考研数学一高等数学知识点及常用方法
自己考研期间整理的数学一高等数学部分的知识点、常见题型以及常用方法，大家也可以用于备考复习。
编辑于2023-05-01 18:51:26 河南- 相似推荐
- 大纲
高等数学
函数
知识点
函数概念
定义与常用函数
复合函数
反函数
基本初等函数
定义
幂、指、对、三角、反三角
共有性质
连续性；在定义域内连续
初等函数
定义
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数。
共有性质
连续性：在其定义区间内连续
函数性态
研究性态首先确定函数的定义域
单调性
定义
判定
定义判定
导数与单调性的关系
单调增/减判定
单调不增/不减判定
奇偶性
定义
具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称
性质
图像对称
如果奇函数在原点有定义，则f（0）=0
函数0点泰勒展开式中没有偶次项，偶函数0点泰勒展开式没有奇次项
判定
定义法
2.原函数与导函数奇偶性的关系
设f(x)可导，则
连续的奇函数其原函数都是偶函数 连续的偶函数其原函数只有一个是奇函数
3.常用的奇函数、偶函数
奇偶性在各章节的应用
在研究以下问题时候首先看一下函数在研究区间有没有奇偶性
周期性
定义
判定
1.用定义
2.可导的周期函数，其导函数还是周期函数
3.
4.常见周期函数
有界性
定义
判定
1.常见有界函数
1.定义判定
2.
3.
4.
拉格朗日中值定理证明
瑕点
考题
题型1：复合函数
题型2：函数性态
极限
知识点
极限的定义
数列极限定义
定义
n趋近+∞的数列极限
含义
函数极限定义
自变量趋于无穷大时的函数极限
自变量趋于有限值的函数极限
定义
必要条件
极限存在的必要条件是：至少存在一个x0的去心邻域，在该邻域内f(x)处处有定义
左右极限与函数极限存在的充要条件
左极限
右极限
定理：函数极限存在的充要条件是:左右极限均存在且相等
极限的基本性质
数列极限的基本性质
极限的唯一性
收敛数列的有界性
收敛数列的保号性
数列极限保序列值：如果数列极限=A且A>0(或<0) → 存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0(或Xn>0)
收敛数列与其子数列极限的关系
函数极限的基本性质
函数极限的局部有界性
若极限存在，则在该极限的定义中能管到的范围内函数有界
这条性质不能反着用
保号性
极限保函数值：不带等号，相应极限范围中才成立
函数值保极限:必须带等号，范围，必须在条件中说明极限存在
保序性
应用场景
极限存在且≠0联想到这个性质
复合函数的极限

函数极限与数列极限的关系
极限值与无穷小的关系
极限存在准则
夹逼准则
单调有界准则
无穷小
无穷小的概念
无穷小的比较
无穷小的性质
有限个无穷小的和仍是无穷小
有限个无穷小的积仍是无穷小
无穷小量与有界量的积仍是无穷小
无穷大
无穷大的概念
无穷大的比较
>n!>指数>幂函数>对数
无穷大与无穷小的关系
考题
题型1：极限的概念、性质、存在准则p12
题型2：求极限
函数极限p20
等价无穷小代换
泰勒公式
洛必达
化简方法
极限非零因子极限可以先算、有理化、变量代换
洛必达
抓大头
分子分母同除以分子分母中最高阶无穷大
通分化成0/0
适用于分式差
根式有理化
适用于根式差
提取无穷因子，然后用等价代换、变量代换、泰勒公式
化成、
三部曲
写标准型
求极限
写结果
改写成指数用洛必达
这两种极限一定是幂指函数，方法是改写成指数形式，从而化成型极限
数列极限p30
不定式极限
同函数不定式极限求法，只是不能用洛必达
n项和数列极限
夹逼原理
变化部分最大值与主体部分相比是次量级
定积分定义
变化部分最大值与主体部分相比是同量级
提可爱因子
级数求和
n项连乘积的数列极限
夹逼原理
取对数化成n项和
递推关系定义的数列
证明数列收敛并求解
法1：先证数列极限存在（单调有界准则），再对递推式两边取极限
单调性证明方法
通用
要求数列不变号
有界性证明方法
法2：先求后证（压缩映射法）
总结：首先判断数列在I上有无单调性，有单调性用法1，不单调用法2
判定有无单调性：数列的函数f(xn)在I上单调增，则数列单调，且单调性取决于X1与X2的大小关系;f(xn)在I上单调减，则数列不具有单调性
题型3：确定极限中的参数p38
题型4：无穷小量阶的比较f(x)是x趋近0时的无穷小量p40
洛必达法则-求导定阶
f'(x)是x的k阶无穷小，那么f(x)是x的k+1阶无穷小量
等价无穷小代换
泰勒公式
变限积分
连续
知识点
连续的概念
连续
充要条件：
左连续
右连续
间断点及其类型
间断点的概念
间断点的分类
分类依据是左右极限是否都存在
左右极限都存在
第一类间断点
可去间断点
左右极限存在且相等
跳跃间断点
左右极限都存在但不相等
左右极限至少有一个不存在
第二类间断点
无穷间断点
左右极限至少有一个为无穷
振荡间断点
连续函数的性质
连续函数的和差积商以及复合仍是连续函数，
基本初等函数和初等函数的连续性
有界性：
最值性：在该闭区间上一定能取到最大值和最小值
介值性：且f(a)≠f(b),对于f(a)与f(b)之间的任一数C，至少存在一个
推论：该函数在闭区间上可以取到介于最小值和最大值之间的任何值
零点定理：且f(a)f(b)<0,则必存在
考题
题型1：讨论连续性及间断点类型p45
题型2：闭区间上的连续函数的证明题p47
特点是：证明在区间上存在一点
一元函数导数微分的 概念与计算
知识点
导数概念
导数的定义，是个极限
等价定义式
子主题
子主题
左导数与右导数的定义
导数存在的充要条件：f(x)可导
微分的概念
一元函数一点处可微充要条件
在这一点可导
导数与微分的几何意义
导数的几何意义
曲线y=f(x)在一点处切线的斜率
微分的几何意义
曲线y=f(x)的切线上的增量
连续、可导、可微的关系
求导方法
求导公式
求导法则
有理运算法则
复合函数求导法

隐函数求导法
知道确定的函数关系y=f(x)是由方程F（x,y）=0所确定的可导函数
方程两边对自变量求导
写成F（x,y）=0，
反函数的导数
参数方程求导法
函数的确定方式
一阶导数
二阶导数
对数求导法
表达式由多个因式的乘除、乘幂构成或者是幂指函数，则可将函数取对数，然后两边对x求导
高阶导数
定义
常用公式
考题
题型1：导数与微分的概念p53
利用导数定义求极限
利用导数定义求导数
利用导数定义判断函数的可导性
题型2：导数的几何意义p60
题型3：导数与微分的计算
复合函数求导法
隐函数求导法
参数方程求导法
反函数求导法
对数求导法
高阶导数
带公式
求几个低阶，归纳n阶导数
利用泰勒级数或泰勒公式
一元函数导数与微分 的应用
一元函数微分的应用
知识点
微分中值定理
罗尔定理
若y=f(x)满足以下条件
1.在【a,b】上连续
2.在（a,b）内可导
3.f(b)=f(a)
则在（a,b）内至少存在一点
拉格朗日定理
若y=f(x)满足以下条件
1.在【a,b】上连续
2.在（a,b）内可导
概要
柯西定理
若f(x) g(x)满足以下条件
1.在【a,b】上连续
2.在（a,b）内可导
3.g '(x)≠0
概要
大条件都是：设f(x)在【a,b】上连续
泰勒定理
泰勒定理
麦克劳林公式
初等函数的麦克劳林公式
四个中值定理之间的关系

极值与最值
函数的极值（x0点的某邻域内）
极值的概念
定义
函数在闭区间上的极值，只能在开区间取得，端点处不能取得极值
若函数在闭区间上的最大值（或最小值）在开区间上某点取得，那么函数在该点处必定取得极大值（或极小值）
极值的必要条件
函数在一点处可导并且该点为极值点，则该点的导数为0
极值的充分条件
第一充分条件
函数在x0的某去心邻域内可导， 而在x0处一阶导数为0（在x0处可导）或者在该点连续（在x0处不可导）
x0的左右邻域导函数变号则是极值点
x0的左右邻域导函数不变号则不是极值点
第二充分条件
一阶导数=0，二阶导数≠0，则在该点极值，但是不满足该条不能判定不是极值点
第三充分条件
1阶到n-1阶导数全部为0，n阶导数不为0，则
n为偶数
x0处取得极值
n为奇数
x0处不取得极值
连续函数闭区间【a,b】最值
1.求出开区间内的驻点和不可导点 2.求出函数在断点a、b处的函数值 3.比较以上函数值
闭区间上的连续函数，在开区间内仅有唯一极值点，若在该点函数取得极大值，则他也是f(x)在闭区间【a,b】上的最大值，极小值同理
曲线的凹向与拐点
曲线的凹向（区间I）
定义
函数在区间I上连续
判定
若函数在区间I上二阶导数≥0（≤0），笑脸判别法
曲线的拐点
定义
连续曲线在一点（x,y）邻近两侧凹凸性相反，则该点（x,y）为曲线的拐点
必要条件
函数在一点处二阶可导，且该点为函数的拐点，则该点处的二阶导数为0
充分条件
第一充分
如果函数在x0的某去心邻域内二阶可导， 而在x0处连续或者二阶导数为0
二阶导数在x0处左右两侧变号，则这一点为函数拐点； 两侧同号不是函数拐点
第二充分
函数在x0处二阶导数为0，且在x0处三阶可导
该点处三阶导数不为0则该点是曲线的拐点； 若该点三阶导数仍为0，则该方法无法判定该点是否为拐点
第三充分
2阶到n-1阶导数都为0，但n（n≥3）阶导数不为0
n为奇数时
该点是拐点
n为偶数时
该点不是拐点
偶数极值，奇数拐点
曲线的渐近线
水平渐近线
分左右极限，如果A不同就是有两条水平渐近线
铅直渐近线
分左右极限
斜渐近线
分左右极限
在同一侧，水平渐近线和斜渐近线不能同时存在
平面曲线的曲率
曲率的定义
曲率的计算
曲线由直角坐标方程给出
曲线由参数方程给出
曲率圆与曲率半径
题型
题型1：函数的单调性、极值、最值
单调性
极值
最值
题型2：曲线的凹向、拐点、渐近线以及曲率
曲线的凹向
拐点
渐近线
曲率
题型3：方程的根的存在性及个数
存在性
零点定理
罗尔定理
根的个数
单调性
罗尔定理推论
题型4：证明函数不等式
单调性
最大最小值
拉格朗日中值定理
出现函数值的差，或者能够变形成为函数值的差（比如ln比值形式的函数）
泰勒公式
凹凸性
证明之前先确定函数的定义域并考察函数的奇偶性！
微分中值定理有关的证明题
微分等式证明
单中直
双中值
微分不等式证明
单中值
一元函数积分学
不定积分
知识点
两个基本概念
原函数
不定积分
原函数的存在性
f(x)在区间I上连续，则f（x）在区间I上必有原函数
f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数
不定积分的性质
基本积分公式
三种主要积分法
第一类换元法（凑微分法）
第二类换元法
三种常用的根号下的变量代换
分部积分
u\v函数的选择
多项式函数与三角函数或者指数函数相乘
把多项式以外的部分凑进微分号里
多项式函数与对数函数或者反三角函数
把多项式函数凑进微分号里
指数函数与三角函数相乘
连续两次将指数函数凑进微分号里分部积分还原，求得原不定积分
三类常见可积函数积分
有理函数积分
一般方法
部分分式法
特殊方法
加项减项拆
凑微分
降幂
三角有理式积分
万能代换
特殊方法
三角变形
换元 R（sinx,cosx）
关于sinx是奇函数
凑f(cosx)d(cosx)
关于cosx是奇函数
凑f(sinx)d(sinx)
关于sinx,cosx 都是偶函数
凑f(tanx)d(tanx)
分部
简单无理函数积分
一次分式的根式，令整个根式=t 化成有理函数积分进行计算
题型
题型1:计算不定积分
题型2:不定积分杂例
定积分
知识点
定积分的概念
定义
定积分的几何意义
【0，1】上的定积分
可积性判定
必要条件
定积分存在，则函数f(x)在【a,b】上有界
充分条件
f(x)在闭区间上连续，则定积分必定存在
f(x)在闭区间有界，且只有有限个间断点，则定积分必定存在
f(x)在闭区间上只有有限个第一类间断点，则定积分必定存在
定积分的计算
牛顿-莱布尼茨公式
换元积分法
分部积分法
利用奇偶性和周期性
利用公式
变上限积分
定义
连续性
若f(x)在【a,b】上可积，则变限积分在【a,b】上连续
可导性
奇偶性
周期性
定积分的性质
可积函数的性质
连续可积函数的性质
题型
p106题型1：定积分的概念、性质及几何意义
p108题型2：定积分计算
p112题型3：变上限积分函数及其应用
p119题型4：积分不等式
变量代换
积分中值定理
变上限积分
柯西积分不等式
反常积分
知识点
无穷区间上的反常积分
定义
定义1
定义2
定义3
无穷限反常积分敛散性判定
比较判别法
比较判别法的极限形式
P积分
无界函数的反常积分
定义
瑕点（无界点）
函数在这一点的任一领域内都无界
无穷大的点一定是瑕点
定义1
定义2
定义3
无界函数反常积分敛散性判定
比较判别法
比较判别法的极限形式
q积分
题型
题型1：反常积分的敛散性
题型2：反常积分的计算
换元
分部
定积分的应用
几何应用
平面图形的面积
平面域D的面积直接用二重积分计算，然后根据积分域D选择计算二重积分的方法（直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性）
空间体的体积
旋转体的体积
已知截面面积的体积
曲线弧长
第一类平面曲线积分
曲线C由直角坐标方程给出
曲线C由参数方程给出
曲线C由极坐标方程给出
旋转体的侧面积
物理应用
变力沿直线做的功
液体的压力
引力
常微分方程
知识点
微分方程基本概念6
微分方程
微分方程的阶
微分方程的解
微分方程的通解
写出来C为任意常数！
微分方程的特解
初始条件
积分曲线
一阶微分方程5标加2法
可分离变量的方程
定义
求解
齐次方程
定义
求解
dy/dx分子瘦，分母胖且不能分离变量（xy之间始终有加减号）的一般都分离变量，两边同除 系数复杂的那个微分
一阶线性（变系数）方程
定义
求解
先形式标准化再求解，系数化为1；写成标准形式
积分因子法;对于一阶线性微分方程的一般形式，令
解的叠加定理（线性性质凑解定理）
y1、y2是一阶线性微分方程的解，那么ay1+(1-a)y2也是一阶线性微分方程的解（只要两个解前面的系数相加为1即可）
这里微分方程可以看成对函数y的微分运算，可以记成算子L（y），这个算子具有线性性质，因此输入的线性组合对应着输出的线性组合
应用：用来构造微分方程新的解，构造对应的齐次微分方程的解
伯努利方程
定义
求解
第1点是记住他是怎么换的元换元，是Z=Y的1点N次方这是第1点，第2点要记住的是你就直接把它写成一个关于zx这个未知函数的一阶线性，微分方程之后你记住，它是在一次项这个Z前面加了个一减N次方，这个常数在qx前面也成了一个1减N次方这个常数点记住就是最后要把换的元换回去。
全微分方程
定义
子主题
充要条件
求解
偏积分
凑微分
线积分
做微分方程的题首先判断阶数，然后判断类型，如果不属于以上5种标准形式，首先考虑将x,y对调；或者利用简单的变量代换化成以上五种标准形式
降阶是微分方程的一个常用思想
判断微分方程类型关键是锁定未知函数出现的位置和他的微分阶数，圈出来他的位置
可降阶的高阶方程
y'=p,y''=p'
方程中不显含未知函数
方程中不显含自变量p144例2（2）题
线性微分方程
二阶线性常系数微分方程的求解
齐次方程
例题
关键点就是线性常系数微分方程（无论几阶）的一个特征根对应着不同基础解系中的一个独有的特解，把这些无关特解线性组合就是通解了
非齐次方程
解的结构
形式是固定的，就是非齐次特解（形式也是固定的）加上齐次方程的通解（形式也是固定的）
特解设法（特解设三部，求解靠代入）
等号右边=指数×多项式函数
等号右边=指数×多项式函数×三角函数
在特解当中复数根一定是共轭成对出现，所以设cos和sin 也必须同时出现，他们是特解中的双胞胎
特解求法：求导代入对应函数前系数相等
等号右边是以上两种特解形式的叠加
运用线性微分方程解的叠加定理，分别设并求解特解最后把特解叠加
解这个微分方程就是和线代里面的逻辑一样，只要找到一个特解，n个无关齐次解，根据他们解的结构写出通解即可，这是个并联解题步骤不是串联
一阶和二阶线性微分方程的解的结构
一阶线性微分方程解的叠加定理
二阶线性微分方程解的结构
常系数线性微分方程
齐次
一般形式
通解形式
非齐次
一般形式
齐次解设法
特解设法
欧拉方程
化成未知函数y(t)的线性常系数微分方程，解出y(t)后再把t换成x
形式以及微分算子的引入
题型
p143题型1:微分方程求解
p146题型2：微分方程综合题
p149题型3：微分方程的应用
微分方程是对一个未知函数的运算，所以不论对函数还是对自变量换元，最后都得换回y(x)
多元函数微分学概念
知识点
重极限
定义
性质
局部有界性
保号性
有理运算
极限与无穷小的关系
夹逼性
求重极限
利用极限的性质（四则运算法则，夹逼原理）
消去分母中极限为0的因子（有理化、等价无穷小代换）
利用无穷小量与有界变量之积为无穷小
证明重极限不存在的方法：沿着两种不同路径极限不同
多元函数的连续性
定义
性质
连续函数的和差积商及复合仍连续
基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区域内连续
有界闭区域上的连续函数的性质
有界性
最值性
介值性
偏导数
定义
子主题
几何意义
高阶偏导数定理
如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域内连续， 则在区域D内恒有混合偏导相等
全微分
可微定义

可微四条等价定义
极限为0形式
推论

由这几个式子都可以得到f(x,y)在点（x0,y0）处可微， 并且fx'(x0,y0)=A ；fy'(x0,y0)=B
一点可微性判定
必要条件
偏导数都存在
充分条件
偏导数在（x0,y0）连续
用定义判定
1.求f(x0,y0) 2.该点处所有偏导数是否都存在？偏导不存在一定不可微 3.若偏导数都存在，再继续考察该点可微定义式的极限是否为0？
1.通过已知极限+函数连续性可以求该点函数值 2.通过已知极限和函数值凑出微分定义的极限表达式=0，这时不需要通过偏导定义求偏导数的值，因为微分表达式中A、B就是该点的偏导数值（通过已知二元极限以及偏导数的定义也可以求出该点偏导数值，不过这种方法比较难）
全微分计算
连续、可导、可微的关系
题型
p156题型1：讨论连续性、可导性、可微性
偏导数与全微分的计算
知识点
复合函数求导法
理清楚复合关系画树状图，按照图求导
全微分形式不变性
求一个函数的微分，不用关心变量是自变量还是中间变量
隐函数求导法
由一个方程所确定的隐函数
公式法
等式两边求导
需要知道方程确定了谁是谁的函数
利用微分形式不变性
由方程组所确定的隐函数
等式两边求导
利用微分方程形式不变性
题型
p161题型1：求一点处的偏导数和全微分
分段函数在分界点处的偏导数
定义
求具体点处的（高阶）偏导数
先代后求
p162题型2：求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
求偏导数、全微分的表达式
已知偏导数求原函数
p165题型3：含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
p170题型4：隐函数的偏导数与全微分
多元函数极值与最值
知识点
无条件极值
定义
定义法适用于已知条件中含有相关极限
用极限与无穷小的关系写出二元函数表达式，如果y的表达式不同代入到二元函数中时二元函数
极值的必要条件
极值的充分条件
求具有二阶连续偏导数二元函数极值的步骤
1.求f(x,y)的驻点P1,P2.....PK
2.利用极值的充分条件判定驻点Pi是否为极值点
二元函数z=f(x,y)在偏导数不存在的点也可能取到极值，而这种点是否取得极值一般用极值定义判定

易错，充分条件中是计算AC-B^2(两边减去中间的平方);不是BC-A^2
f的条件极值与拉格朗日乘数法
则其中（x,y）就是函数f(x,y)在条件φ（x,y）=0下的可能的极值点
对于实际问题，如果驻点唯一，且由实际意义可知问题存在最大值和最小值，则驻点即为最大值（最小值）点，如果存在多个驻点根据实际意义可知，既存在最大值又存在最小值，只需要比较各驻点处的函数值。
条件极值，只是说目标函数f的定义域要受到约束函数fai的限制（定义域就是fai函数上的点），但是归根结底还是求f的极值和极值点，而不是求F的极值！求出的可能极值点往f中代入。
最大最小值
求连续函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大最小值三部曲
1.求f(x,y)在D内部可能的极值点
2.求f(x,y)在D的边界上的最大最小值
3.比较
应用题
题型
p174题型1：求无条件极值
p178题型2：求最大最小值
二重积分
知识点
二重积分的概念
定义
与一元积分类似
二重积分的几何意义
二重积分是一个数字，当连续函数f(x,y)≥0时，它的值等于以积分区域D为底，以曲面f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积
若f(x,y)在闭区域上连续，则二重积分一定存在
二重积分的性质
不等式性质
比较定理
绝对值
估值定理
积分中值定理
二重积分的计算
利用直角坐标计算
先y后x，画平行于y轴的射线
先x后y，画平行于x轴的射线
外面那层是先积分的，他的上下限是函数表达式，内层上下限是数字
利用极坐标计算
适合用极坐标计算的被积函数
适合用极坐标计算的积分区域
圆形、扇形区域
先r后θ
积分区域对称性+被积函数奇偶性
偶倍奇0
变量对称性
积分区域关于y=x对称
积分区域+被积函数都关于y=x对称
题型
p186题型1：计算二重积分
p191题型2：累次积分交换次序及计算
p194题型3：与二重积分有关的综合题
p197题型4：与二重积分有关的积分不等式问题
三重积分
定义及背景
被积函数为1时，三重积分为空间体的体积
性质
与二重积分类似
计算
用直角坐标计算
先一后二激光投影
设平行于z穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲线S最多有两个交点。Ω在xoy面上的投影为Dxy，则
先二后一截面法
空间区域Ω任一点处的截面表达式已知，则空间体的体积
截面为三角形或者圆，且被积函数中是z的一元函数
求截面表达式以及求截面面积的方法
直接想象任意一个截面在xoy上的投影及参数值（如三角形边长、圆的半径）
通过Ω的表达式，把不等式中的z当成常数移到另一端得出z对xy的限制在xoy平面上画出这个边界图形再利用不等号确定在边界的哪一侧
柱坐标
球坐标
利用奇偶性
轮换对称性
区域Ω的表达式具有轮换对称性：xyz都是有相同的形式可以相互换而不改变区域表达式
形心公式的逆用
题型
p252计算三重积分
p254更换三重积分次序
线积分
第一类线积分
定义及背景
与定积分对比
几何度量：被积函数为1时，第一类曲线积分是曲线C的弧长
平面
代入法：化成定积分
把曲线的方程代入被积函数与ds中化成对参数的定积分
积分上下限是参数的值，由小到大
把L的方程代入被积函数
ds化成dt/dx/dθ
奇偶性
积分曲线L关于x\y轴具有对称性，f(x,y)关于坐标y\x具有奇偶性
对称性
积分曲线L 关于直线y=x对称，那么在曲线L上
空间
代入法：化成定积分
写出空间曲线的参数方程，化成对参数t的定积分
积分上下限是参数的值，由小到大
把L的参数方程代入被积函数
ds化成dt
根号下三个函数对t的导数的平方相加
技巧
边界方程可以带入被积函数
对x的积分 = x的平均值 乘以曲线长度
第二类线积分
定义及背景
无几何量可言
定积分、二重积分、三重积分、一型曲线积分、一型曲面积分都有着相同的背景 ——都是一个数量函数在定义区域上计算几何量（面积、体积等）
物理背景：变力F在平面（空间）曲线L上从起点到终点所做的总功
性质
与积分路径方向有关
线性性质
可加性
对称性
物理背景是做功，做功有正负之分，因此这里的对称性结论与其他积分都不同
平面
带入法：化成定积分
由曲线的参数方程，将其化成对参数的定积分
积分上下限是参数的值，由起点参数到终点参数
把L的参数方程代入被积函数
dx和dy化成dt
格林公式
结论：可将二型闭曲线转化成二重积分
条件
设闭区域D由分段光滑的曲线L所围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数
不能直接用格林公式
L不是封闭曲线——补线法
偏导不连续——挖去法
平面曲线积分与路径无关的判定
四条等价定理定理
计算
改换路径计算
利用原函数计算
空间
代入法：化成定积分
写出空间曲线的参数方程，化成参数的定积分
积分上下限是参数的值，由起点参数到终点参数
把L的参数方程代入被积函数
dx、dy、dz化成dt
斯托克斯公式
空间曲线上的点可以用向量函数F表示
散度是点乘，旋度是叉乘
一般来说选取曲线C所围成的平面作为曲面S
格林公式是斯托克斯公式的特例，因为格林是平面二型线积分，坐标z为0
边界方程可以带入被积函数
两类线积分的联系
设L是平面xoy内的一条有向光滑曲线弧，则
对空间曲线
题型
p255计算对弧长的线积分
平面线积分
空间线积分
p256计算对坐标的线积分
面积分
第一类面积分 （对面积的面积分）
定义以及背景
以f为面密度的空间物质曲面的质量
与二重积分对比
被积函数为1时，曲面积分dS=S,S为平面曲面的面积
性质
与积分曲面的方向无关
计算
代入法：化成二重积分
将曲面投影到某一平面，投影区域为D
把曲面方程z=z(x,y)或者F（x,y,z）=0代入f(x,y,z)
奇偶性
曲面关于坐标面对称，被积函数关于另一个字母有奇偶性
轮换对称性
L的方程中无论x、y、z怎么交换顺序都不改变原方程表达式
那么被积函数中的字母也可以轮换

第二类曲面积分 (对坐标的面积分)
定以及背景
向量函数F通过F通过曲面的通量
性质
总是存在的
线性性质
有方向性
对称性：与之前的结论不同
奇偶对称性
分变量讨论
考虑方向性
变量轮换对称性
L的方程中xyz具有轮换对称性
计算
代入法：化成二重积分
将Σ投影到xoy平面
将z=z(x,y)或者F（x,y,z）=0代入R（x,y,z）
将dxdy写成
有向曲面的法线向量与三个坐标轴的正向夹角为锐角时，即为曲面的上前右侧，此时积分取+号
高斯公式法
条件
有时候题目给的曲面就不是朝向外侧的，不管题中给的方向是什么，你就记住，无论是格林还是高斯公式，二型积分转化成的重积分都带正负号
补面用高斯公式
P、Q、R及相应的偏导在空间闭区域
挖去法
两类面积分的联系
转换坐标变量法
将原本投影在一个坐标平面上的曲面积分，投影到另外一个坐标平面上去
题型
题型1：计算对面积的面积分
题型2：计算对坐标的面积分
线积分和面积分的相同点： 他们的定义域都是在曲线或者曲面方程上，所以说他们的直接算法就是把曲线或者曲面的边界方程代入，曲线积分化成新的参数的定积分，曲面积分化成二重积分。 线面积分的不同点： 他们的维度不太相同所以细分的类型稍有差别 线积分，曲线有平面的（二维），也有空间曲线（三维），所以线积分无论是一型还是二型，计算时都要区分是平面还是空间曲线。 面积分一定是在三位空间的，所以只分了一型二型面积分，而没有细分平面/空间 线面积分与二重三重积分的不同之处： 而二重积分与三重积分的定义域是整个平面区域/空间体内部的整个空间，所以是不能只把边界曲线方程代入积分计算的，他们的计算方法是化成累次积分计算 线面积分向重积分的转化： 线积分都可以通过代入法转化为定积分，其中二型平面线积分可以通过格林公式转化为二重积分计算；二型二型面积分都可以通过高斯公式转化为三重积分进行计算 面积分都可以通过代入法直接转化为二重积分计算。 线面积分之间的转化： 空间二型线积分可以转化为一型面积分进行计算，再借助一型面积分和二型面积分之间的转化关系，从而转化为二型面积分。
多元积分应用
知识点
多元积分应用一览表
变力做功
对坐标的线积分
通量
对坐标的面积分
场论初步
梯度
gradU
偏导数的向量

散度
divA
偏导数之和
旋度
rotA
行列式
题型
p268题型1：求几何量
p270题型2：计算物理量
p272题型3：梯度、散度、旋度计算
向量代数与空间解析几何
p231空间向量运算及其性质
向量的运算

运算性质

p231空间向量之间的关系

p233空间直线方程

p234空间平面方程
p235空间平面与直线的位置关系（平行、垂直、夹角）
关键是用平面的法向量与直线的方向向量的关系
点到平面的距离
点到直线的距离
常数项级数
知识点
级数的概念
无穷级数简称级数
数列Un的无穷多项的和
部分和Sn
级数的和s
该极限存在则称级数收敛，该极限不存在则称级数发散
级数的性质
级数的敛散准则
正项级数
积分判别法
条件
单调递减、非负、连续函数
交错级数
定理：莱布尼茨判别法
注


任意项级数
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛的一些基本结论
题型
p202题型1：正项级数敛散性的判定
p205题型2：交错级数敛散性判定
p206题型3：任意项级数敛散性判定
p209题型4：证明题和综合题
函数项级数和幂级数
函数项级数、收敛域、和函数

幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域
幂级数的定义
阿贝尔定理
定理1：
定理3：
幂级数的性质
运算性质

和函数的性质
逐项求导和逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径
逐项求导只能在收敛区间上面，但是连续性和积分性质在整个收敛域上都成立

函数的幂级数展开式
泰勒级数
麦克劳林级数
泰勒级数的收敛定理

常用的麦克劳林展开式

除了ln(1+x)的级数是从n=1开始的，其他都是从n=0开始的
母型和子型都是从第一个和函数求导和积分得到的
指数函数以及正余弦函数是含有阶乘项的，其中COS的表达式可以通过sin的表达式得到
必须在x=0处展开成泰勒级数才能套公式，如果不是0处展开立即换元，让t在0处展开为泰勒级数
母型和子型级数都是从n=0开始的，并且都是小猪配齐
母型级数：分母上的关于n的表达式和x的次数一致
阶乘型级数
分母上的关于n的阶乘表达式要和x的次数表达式一致
题型
p215题型1：求收敛区间及收敛域
求收敛区间或收敛域的关键是求收敛半径R，求收敛半径的方法
系数an已知
公式法
系数an未知
阿贝尔定理
p217题型2：将函数展开为幂级数
直接展开法
间接展开法
一般都是用间接展开法
p220题型3：级数求和
幂级数和函数
利用公式+幂级数的性质
有理运算：加减乘除
收敛域取交集
逐项求导
逐项积分
收敛区间不变
1.求收敛区间
2.求和函数收敛域
3.判断级数类型
母型级数：通项可以因式分解，n在分母上
1.把x的次方数配成和系数an一致的表达式
2.通过乘除x把x的次数调整成n次
这个过程中如果除以x，那么最终求得的和函数的定义域不包含x=0，但是如果和函数的收敛域中包含x=0就要在最后一步用代入法（代入级数表达式，挑出来不为0的项相加）或者极限法专门求解S（X0）的值
3.把求和变成从n=0开始，用公式里面的级数减去题中差的那几个项
4.根据公式把3中的级数整理成和函数表达式，并根据和函数的连续性，找到定义域内所有点的函数值

子型级数：通项为n的多项式，可以拆成1，（n+1），（n+1）(n+2)的线性组合
1.先把题中给的级数配成求和从n=0开始的样子，如果题中n从＞0的项开始，那么就要用前式减去多的那几项
2。把二次多项式因式分解成子型级数的线性组合
1，（n+1），（n+1）(n+2)...的线性组合
3.把2中的级数根据子型级数和函数公式写成各阶导数，注意从低阶导数往高阶导数写，这样求导就是一阶一阶往上求的

阶乘型级数

常数项级数和函数
借助幂级数求和，先求幂级数的和函数再代入具体值，得到常数项级数的和函数
傅里叶级数
傅里叶系数与傅里叶级数
能展开为傅里叶级数的条件
周期为2π的周期函数
在【-π，π】上可积
傅里叶级数
傅里叶系数
收敛定理（狄利克雷）
条件
f(x)在【-π，π】上的分段单调函数
除有限个第一类间断点外都是连续的
则f(x)的傅里叶级数在【-π，π】上处处收敛，且收敛于
（1）f(x),当x为f(x)的连续点
（2）
（3）
周期为2π的函数的展开
【-π，π】上展开（没有奇偶性）
【-π，π】上展开，具有奇偶性
f(x)为奇函数
an=0,bn加倍
f(x)为偶函数
bn=0,an加倍
【0，π】上展开
展开为正弦
an=0，bn加倍
展开为余弦
bn=0,an加倍
周期为2l的函数的展开
【-l，l】上展开（没有奇偶性）
an
n=0,1,2,,,
bn
n=1,2,3..
【-l，l】上展开，具有奇偶性
f(x)为奇函数
an=0,bn加倍
f(x)为偶函数
bn=0,an加倍
【0，l】上展开
展开为正弦
an=0，bn加倍
展开为余弦
bn=0,an加倍
题型
p226题型1：收敛定理有关问题
p227题型2：将函数展开为傅里叶级数
1.求出傅里叶系数，写出傅里叶级数
2.根据狄利克雷收敛定理确定其傅里叶级数在哪些点处收敛于f(x)，在哪些点处不收敛于f(x)，在不收敛于f(x)的点处收敛于何值
真题考法
不等式的证明
利用函数的单调性证明
利用函数的最值证明
利用微分中值定理或泰勒公式证明
利用曲线凹凸性证明
若不等式为数值不等式，则可以构造辅助函数将其转化成函数不等式进行证明
定积分的计算
二次根式
例1 

必须要重视计算，这里计算很容易出错
前面有系数的别忘记乘上系数
二元函数可微的概念和定义

常用反例：常函数，构造和分母成倍数的函数


已知二元极限值+偏导数定义求一点处的偏导数值
二元函数极值与最值
无条件极值
定义法

充分条件法



微分方程
f(x)同时是两个方程的解（微分方程组）
先求出一个方程的通解，再代入另一个方程确定未知参数
先把微分方程组联立消去高阶导数转化成一阶微分方程，再代入任何一个原方程确定参数
例1
二阶常系数非齐次线性微分方程通解问题
定未知系数对比系数那步总是错
幂级数收敛域及和函数
求幂级数的收敛域
缺项的幂级数

缺项的幂级数一般用比值审敛法确定收敛半径，再判断幂级数在端点处的收敛性
分母上有n!的收敛域一定是-无穷到+无穷
求和函数
向量空间及其维数的概念
由向量组所生成的向量空间的维数等于向量组的秩
一维概率分布的性质以及分布的数字特征
离散型
连续型
用导数讨论函数的单调性极值
抄错函数了，如果一个题过于简单首先怀疑自己审题不清或者抄错数，或者这道题在很难的位置你觉得几步就写出了最好把这道题留到最后做，大概率你的思路不对
夹逼准则求数列极限
变限积分求导数
定积分的性质
保号性
用来证明不等式
几何应用
只含有字母x\y
一元函数的几何应用
含有字母x\y\z
多元函数微分学的几何应用
曲面S上P处的切平面与xoy面垂直，求点P的轨迹C
面面垂直问题
两个平面的法向量垂直
求曲面上一点处的切平面的法向量
所谓轨迹方程就是一个关于P点坐标xyz的函数等式
空间与平面求几何问题的方法大不相同，先分清是平面还是立体几何，要用各自对应的方法不可串台
求曲面的边界曲线
不会画曲面怎么办
求空间曲线在坐标面上的投影
多元积分
1面
求曲在坐标面上的投影曲线
先求边界曲线在坐标面上的投影，再把等号改成不等号
真题通用思想
当你对整道题目有思路却卡在某一步化简上
1、找等号前后的联系与区别，大多是把前面化成后面，而不是用结论凑条件
2.加项减项拆
拆分重组的分组思想
向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用
向量代数
空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向符合右手系
八个卦限
空间两点间的距离
特殊的
向量的概念
向量的模
向量的大小
单位向量
模长为1的向量
表示与非零向量a同方向的单位向量
零向量
模长为0的向量
向量的运算
线性运算
定义
向量之间的加、减法，向量与数的乘法统称为向量的线性运算
向量加减法定义
向量与数的乘积定义
定理一：向量平行定理
运算法则
几何法
平行四边形法则
三角形法则
代数法
加、减法
向量与数乘法
与坐标的运算方法相同
运算定律
加、减法
加法交换律
加法结合律
向量与数乘法
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
满足三大定律，但是要注意仅是数与单个向量的数乘
数量积
几何表示
代数表示
运算规律
交换律
分配律
完全平方定律
平方差定律
乘法结合律（条件满足）
仅满足与数相乘的结合律
几何应用
求模
存在不等式
求夹角
判定两向量垂直
向量积
几何表示
模
方向
右手法则
代数表示
运算规律
分配律
乘法结合律（条件满足）
乘法交换律（不满足）
又称反交换
完全平方定律（无）
平方差定律（无）
几何应用
求同时垂直于a和b的向量
求以a和b为邻边的平行四边形面积
判定两向量平行
混合积
几何表示
代数表示
运算规律
轮换对称
交换变号
几何应用
求平行六面体的体积
三个向量共面的充要条件
由坐标表示引出的概念
向量模的计算
两点距离公式
方向余弦
定义
方向角、向量的模与坐标的关系
背
空间平面与直线
平面的方程
平面的一般方程
Ax+By+Cz+D=0
法向量
垂直于平面
平面一般方程的几种特殊情况
D=0
平面通过坐标原点
A=0
D=0
平面通过x轴
D≠0
平面平行于x轴
一般方程中哪个字母前面系数为0，平面就平行于这1个坐标轴
推论
类似地可讨论B =0, C = 0情形
A=B=0
平面平行于xoy坐标面
哪两个字母为0，平面平行于含有这两个字母的坐标面
推论
类似地可讨论A=C=0, B=C=0情形
平面的点法式方程
平面的截距式方程
两个平面的位置关系
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征
点乘
结果为一个数
叉乘为0；平面法向量坐标成比例
结果为一个向量
平面束方程
平面束：过直线L的平面的全体称为直线L的平面束
平面束方程：
特殊：
直线的方程
直线的一般方程
与代数表示的联系
方向向量
知道直线是哪两个平面的交线
知道两点，求方向向量
直线的对称式方程
直线的参数式方程
求直线方程的对称式和参数式:需要已知-方向向量和直线上一点坐标
两条直线的位置关系
两直线夹角余弦公式
两直线位置特征
直线与平面的位置关系
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置特征
直线与平面垂直，则直线的方向向量就是平面的法向量
求平面的法向量是叉乘的情况
平面过L1,平行于L2
说明平面法向量垂直于L1和L2
平面P1 ：过L，垂直于P2
空间距离公式
点到空间平面的距离
点到空间直线的距离
两空间平行平面之间的距离
空间两点间的距离
特殊的
求夹角公式汇总
两平面夹角余弦公式
两直线夹角余弦公式
直线与平面的夹角正弦公式
平面之间的夹角∈[0,π/2] 向量之间的夹角∈[0,π] 所以在利用向量关系来求平面的夹角时，需要注意夹角的余弦值只能为正数 自家人余弦角，线面正弦角； 公式分子上都是各自向量的点积的绝对值， 分母上是各自向量的模值相乘
曲面与空间曲线
常用平面曲线的方程
双纽线
极坐标计算
直角坐标
摆线
参数方程计算
星形线
参数方程计算
直角坐标
心形线
极坐标计算
空间曲线
空间曲线C可看作空间两曲面的交线
一般式
参数式
参数方程
参数方程：将曲线上动点的坐标x, y, z分别表示成参数t的函数
空间曲线的投影
投影柱面：以空间曲线Γ为准线，母线平行于z轴的柱面称为曲线Γ对 xOy坐标面的投影柱面
投影曲线：投影柱面与xOy坐标面的交线C称为曲线Γ在xOy坐标面上 的投影曲线
类似地
可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
注意范围
例题
没法消去的时候，F和G哪个投影小，用哪个
截痕法
定义：用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线(截痕)的形状 从而了解曲面的全貌
e.g.
曲面方程
一般式
曲面与方程
曲面上任一点的坐标满足方程
方程的任意一个解在曲面上
常见曲面
旋转曲面
旋转曲面：平面上曲线C（母线）绕他所在平面上一条定直线L（坐标轴）旋转一周所成的曲面
母线：平面曲线C
轴：定直线L
母线所在坐标面内的一个坐标轴
特点：(坐标面内的曲线绕其所在平面的坐标轴旋转），是三元方程
方程
L绕y轴旋转所得旋转面方程
L绕z轴旋转所得旋转面方程
原因
绕谁转谁不变；+-根号下是旋转轴字母以外的坐标，你就想曲面除了柱面全都必须同时有xyz；前面一个字母已经有了，那么后边俩坐标就是除了他之外的坐标
圆锥面
定义：直线L绕一条与L相交成定角α(0＜α＜90°)的定直线旋转一周所 得的旋转曲面
方程：
特殊：(α=45°时)
特征：圆锥方程为齐次方程
柱面
柱面：平行于定直线L并沿定曲线Γ移动的直线所生成的曲面
母线：动直线
准线：坐标面上的定曲线Γ
母线是曲面的轮廓源自谁（由谁生成的问题），（柱面）是准线沿着谁移动的问题，（旋转曲面）是母线绕着谁（绕着旋转轴）转的问题
特点：动直线L（母线）平行于坐标轴，准线为坐标面上的曲线 三元方程中少一个变量，少哪个变量，母线就平行于哪个平面
方程求解
求柱面方程：母线平行于哪个坐标轴，就在准线方程中消去哪个字母，得到的二元方程就是柱面方程
常见柱面及方程
椭圆柱面
双曲柱面
二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面
相应地平面（二元一次方程）被称为一次曲面
刚好和二次型f(x1,x2,x3)=c的概念对应
圆柱面
1
与xoy面的交线为圆
与平面z=c的交线为中心在z轴上的圆
2
与xoz、yoz面的交线为两平行直线
与平面y=c、x=c(c< R）的交线两平行直线
椭球面
椭球面与三个坐标面的交线
a= b=c
球面
椭圆锥面
a=b
圆锥面
特别地
夹角正好(p/4)
椭圆抛物面
a=b
旋转抛物面
特别地
单叶双曲面
双叶双曲面
双曲抛物面(马鞍面)
多元微分学在几何上的应用
曲面的切平面与法线
切平面方程
法线方程
曲线的法向量方向判定
外法线指向曲面外侧，内法线指向内侧。所以考虑切点P处的法线，可以在曲面内侧取一点Q，那么，如果法线方向和向量PQ的夹角大于90°，可以判定其为外法线，反之为内法线。当然，也可以取曲面区域外侧的点进行判断，道理一样
特别的
切平面方程
法线方程
空间曲线的切线与法平面
参数式
切线方程
法平面方程
一般式
法1：切向量
法2：切向量
理解成
切线方程
法平面方程
注意
不是法向量，是切向量
方向导数与梯度
方向导数（是个数值）
定义
计算
求L的方向余弦——把L的方向向量单位化——方向向量的坐标除以该向量的模值
求该点处的梯度向量
在函数可微的条件下，沿着L方向的方向导数=函数的偏导数坐标（梯度向量）点乘L的方向余弦
方向导数和函数表达式、L的方向余弦都有关系，所以必须说是哪个函数沿着哪个方向在哪一点处的方向导数！
最大值
函数在一点处沿着梯度方向的方向导数最大，最大值为该点梯度向量的模值
函数在一点处的梯度向量是确定的，但是自变量变化的方向L是不确定的（L的方向是可以360°旋转的），L指向不同方向时该点方向导数的值是不同的
函数在一点处不同方向会有不同的方向导数，方向导数的最大值是沿这一点梯度方向时计算出的的方向导数
梯度向量
定义：以偏导数为坐标的向量
只和函数表达式有关系，只需要说是哪个函数在哪一点处的梯度向量即可确定
方向
所以梯度就是一个标杆，梯度的方向就是该点处变化率最大的方向，梯度的模就是该点方向导数的最大值
函数上任意一点的梯度方向永远指向该点方向导数最大的方向
梯度的模值=该点的最大方向导数
方向导数=梯度向量·方向余弦=梯度的模·L与梯度的夹角余弦值
计算
自变量偏导数的平方和
二元函数两项相加，三元函数三项相加