考研数学一线性代数

这个也是我根据李永乐老师以及亿图脑图上其他小伙伴的模板改成适合自己用的模板，以李永乐老师的框架为基础结合了张宇等老师的方法，当时也是做真题时候用来查漏补缺的，效果很好。

线性代数

• 第一章 行列式
  • 概念
    • 一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项）
    • 排列
      • n个数组成的有序数组
      • 逆序
        • 大的数排在小的数前面，这两个数构成一个逆序
      • 逆序数
        • 一个排列中逆序的总和
      • 偶排列/奇排列
        • 逆序数是偶/奇数的排列
    • 对角线法
      • 只能用在三阶以下
  • 性质
    • 转置行列式值不变
    • 行（列）互换行列式的值变号
    • 提取行（列）公因子k
      • 某行（列）元素全为0，行列式的值为0 两行（列）元素成比例，行列式的值为0
    • 某行所有元素都是两个数的和，则可拆成两个行列式之和
    • 行间倍加行列式的值不变
  • 展开式
    • 余子式
      • 划去某元素所在的行和列，剩下的元素构成的行列式，记Mij
    • 代数余子式
    • 定理
      • n阶行列式等于任一行（列）元素与对应Aij乘积之和
      • 行列式任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0
    • 特殊行列式
      • 上三角、下三角
      • 副对角矩阵
      • 拉普拉斯展开式
        • 主对角线或者副对角线至少有一块为0，AB均为方阵，但是阶数可以不相等
      • 范德蒙行列式
  • 计算
    • 计算带λ行列式要点
      • 化出一个0的同时能够出现对应位置上含有λ的式子成倍数关系（用来展开的那一行或列中有一个含λ的因式和两个0）
    • 具体矩阵aij已给出
      • 化成12+1基本型行列式
        • 主对角线行列式*3
          • 主上三角、主下三角、主对角线
        • 副对角线行列式*3
        • 拉普拉斯展开式*6
        • 范德蒙德行列式*1
      • 常用处理手段（主要思想是化出尽可能多的0）
        • 0多
          • 某行/列只有两个非0元素
            • 直接展开（两头非零，中间为零的较易算）
          • 0的位置很有规律
            • 行列互换
              • 化成拉普拉斯
        • 用行列式性质对差别最小的“对应位置元素”进行处理，尽可能多的化出0元素，再按照此行或此列展开
          • 第一行（列）的k倍加到第i行
        • 当行列式中出现较多相同元素时，可考虑
          • 总行列法
            • 行和相同，把列变化都加到第一列，然后提出公因式再用1
          • 逐行（列）相加
          • 升降阶法（加边法）
      • 特殊方法
        • 爪型的可用主对角线元素化其为三角阵
        • 异爪型
          • 递推法
          • 数学归纳法
    • 抽象矩阵
      • 行列式性质
        • 对矩阵直接取行列式，然后对（行）列向量用行列式的性质化简
        • • 可以把抽象的列向量用这种长条表示成矩阵形式然后用行列式性质计算更直观
      • n阶方阵的行列式
        • 矩阵性质
          • C=AB,A、B为同阶方阵，那么|C|=|A||B|
          • 设C=A+B，A,B为同阶方阵，则|C|=|A+B|≠|A|+|B|
            • E可写成任意矩阵与其逆阵相乘，而|A+B|无公式。考虑
            • 做恒等变形，化为矩阵乘积的行列式
          • 设A为n阶方阵，则
        • 相似理论
          • 特征值：|A|=∏λi·
          • 若A~B，则|A|=|B|
          • A是正交矩阵，那么|A|=1或-1
  • 证|A|=0
    • Ax=0有非零解
    • 反证法
    • r(A)<n
    • 0是A的特征值
    • |A|=-|A|
    • A不可逆
  • 克拉默法则
    • n元n次非齐次线性方程组
      • • |Ai|为|A|中第i列元素替换成方程组右端的常数项构成的行列式
    • n元n次齐次线性方程组
      • |A|≠0是有唯一零解的充要条件
      • 有非零解，充要条件是|A|=0
    • n行n列的方程组求解才能用克拉默法则，但是求解方程组一般不用这个方法
  • 应用
    • 矩阵
      • 伴随矩阵求逆法
      • 可逆的证明
    • 向量
      • 线性相关与无关的判定
    • 方程组
      • 齐次方程组有非零解的判定
        • 行列式为0
      • 非齐次方程组有唯一解的判定
        • 行列式≠0
      • （b为任何向量） A的行列式为0，方程组有无穷多解
      • 克拉默法则
    • 特征值特征向量与相似理论
      • 特征值计算
    • 二次型
      • 二次型正定判定
• 第二章 矩阵
  • 概念
    • 矩阵是一个表格，A=O与|A|=0不同！ 当A!=O时，|A|=0或!=0皆可能
    • 是一个表格。m行n列称为m*n矩阵
    • n阶方阵
      • m=n
      • 对应的行列式记作|A|或detA
    • 同型矩阵
      • 行列数相同的矩阵
    • 相等矩阵
      • 两个同型矩阵的对应元素相等，称A与B相等，记A=B
    • 矩阵多项式
  • 常见矩阵
    • 零矩阵
      • 所有元素都为0
    • 单位矩阵
      • 记En，矩阵乘单位矩阵等于其本身
    • 数量阵
      • 数k与单位阵E的乘积
    • 对角矩阵
      • 对角线元素也可能为0
    • 上（下）三角阵
      • 上（下）三角元素为0
    • 对称阵
      • 原矩阵=转置阵
    • 反对称阵
      • 原矩阵=-转置阵，aii=0
    • 向量
  • 运算
    • 加减
      • 交换律：A+B=B+A 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C,A+O=O+A=A，A+(-A)=O
    • 数乘
      • k(mA)=m(kA)=(km)A （k+m)A=kA+mA k(A+B)=kA+kB 1*A=A，0*A=O
    • 矩阵乘
      • 无交换律：一般AB!=BA。AB=O不能推出A=O或B=O 无消去律：AB=AC且A!=O不能推出B=C
      • (AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA AE=EA=A OA=AO=O (kA)(lB)=klAB
      • 条件
        • 左列数=右行数
      • 方法
        • 左行*右列
      • 结果
        • 左行数*右列数
    • 转置
      • 方法：行列互换
  • 伴随、可逆矩阵
    • 定义
      • 伴随矩阵
      • 可逆矩阵
        • 若n阶矩阵A、B，有AB=BA=E成立，称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，记
    • 运算
    • 定理
      • 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
      • A可逆<=>|A|!=0
      • A、B为n阶且AB=E，则BA=E
      • 若A、B都可逆，则AB也是可逆的
    • n阶阵A可逆<=>
      • 存在n阶阵B，使AB=E（或BA=E）
      • |A|!=0
      • 秩r(A)=n
      • A的列（行）向量线性无关
      • 齐次方程组Ax=0只有零解
      • ∀b，非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解
      • 矩阵A的特征值全不为0
      • A与单位矩阵等价
      • A=P1P2...Ps,Pi是初等矩阵
    • 秩
    • 求逆矩阵的方法
      • 1初等变换法，适合具体的矩阵
  • 初等变换
    • 初等变换
      • 倍乘
      • 互换
      • 倍加
    • 初等矩阵
      • 单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵
      • 倍乘初等矩阵
        • 逆矩阵：对应元素取倒数
      • 互换初等矩阵
        • 逆矩阵：不变
      • 倍加初等矩阵
        • 逆矩阵：对应元素取反
    • 等价矩阵
      • 等价的充要条件是存在可逆阵P、Q，使PAQ=B
    • 性质
      • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
      • 初等矩阵均是可逆阵，其逆矩阵仍是初等矩阵
      • 用初等矩阵P左乘（右乘）A，相当于对A做相应的初等行（列）变换
    • 定理
      • A可逆的充要条件是能表示成一些初等矩阵的乘积
    • 行阶梯矩阵
      • 零行在底部，非零行主元在上一行主元右边
    • 行最简矩阵
      • 行阶梯矩阵，非零行主元为1，且其所在列其他元素均为0
  • 分块矩阵
    • 运算
  • 应用
    • 给出AB=O，两个思路
      • B的列向量是Ax=0的解
      • r(A)+r(B)<=n
    • 给出AB=C
      • 对B和C分行：AB的行向量可由B的行向量线性表出
      • 对A和C分列：AB的列向量可由A的列向量线性表出
    • 证可逆
      • |A|!=0
      • r(A)=n
      • 特征值
      • 反证法
    • 求逆矩阵
      • 公式法
      • 初等变换
      • 定义法
        • 使AB=E或BA=E，则A可逆，且A的逆=B
      • 分块矩阵
    • 分块矩阵
      • 分行：求向量，秩
      • 分列：求方程组解
      • 分块：求AB，A^n，A^-1
    • 求A^n
      • 一次方，二次方递推找规律
      • 若r(A)=1，则A可分解成列向量和行向量的乘积，从而A^n=a^(n-1)A，a=对角线之和
      • 拆成E+A`，然后用
      • 分块
    • 求秩
      • 找r(A)>=a,r(A)<=a
    • 向量空间
      • 求过渡矩阵
        • 直接写系数 βi=k1α1+…knαn ,…, βn=…
        • 公式B=AC
      • 坐标变换
• 第三章 向量
  • 概念
    • 向量
      • n个数a1,...an组成的有序数组称为n维向量。α=（a1,...an)^T。 a1,...an称为向量的分量（坐标），有列向量和行向量
      • 零向量0=(0,...,0)^T
      • 相等
        • α=β<=>α，β同维，且对应分量相等
    • 向量组
      • 若干个同维的行（列）向量组成的集合
      • 部分组：向量组的部分向量
      • 整体组：向量组的全部向量
      • 向量组之间的线性表示 求B用A的线性表示，相当于求A X=B的解，X的列向量的坐标为线性表示的系数，即(a1,a2,a3）(x1i,x2i,x3i)T=Bi(i=1，2，3)
    • β可由α1,...,αm线性表出
      • 具有传递性
    • 线性相关和线性无关
      • ①含有零向量，相等向量，成比例向量的向量组相关。单个向量时，零向量是相关的 ②(1,0)(0,1)无关。不成比例的向量无关
      • 存在不全为零的k1,...,km，使k1α1+...+kmαm=0成立， 称α1,...,αm线性相关，否则称为线性无关
  • 运算
    • 加法
    • 数乘
  • 定理
    • n+1个n维向量必相关
    • 部分组相关=>整体组相关，整体组无关=>部分组无关；原组无关=>延伸组无关，原组相关=>缩短组相关
    • ①组(I)可由组(II)线性表出=>r(I)<=r(II) ②(I)(II)等价=>r(I)=r(II)
    • 特征值不同=>特征向量无关
    • 三秩相等：A的秩=r的行秩=r的列秩
    • 经初等变换矩阵的秩不变
  • 向量组、矩阵的秩
    • 极大线性无关组（I）
      • 不唯一，但向量个数一样。零向量没有极大线性无关组
      • （I）是向量组（II）的部分组
      • （I）无关
      • （II）中任一向量均可由（I）线性表示
        • 等价于（I）中加入任一（II）中向量就相关
    • 等价向量组
      • 两向量组可相互线性表示
    • 向量组的秩
      • 极大无关组的向量个数，记r(a1,a2,...,as)
    • 矩阵的秩
      • 矩阵A存在r阶子式!=0，r阶以上子式均=0，则称A的秩为r，记r(A)
        • r阶子式：在矩阵A中任取r行r列，交点元素按原顺序构成的行列式。
      • r(A)=r <=> A中非0子式的最高阶为r
      • r(A)<r <=>A中每个r阶子式=0
      • r(A)>=r <=>A中有r阶子式!=0
      • 若A为n阶，r(A)=n<=>|A|!=0<=>A可逆，r(A)<n<=>|A|=0<=>A不可逆
      • 若A为m*n阶，则r(A)<=min(m,n)
  • 正交
    • 概念
      • 内积
      • 模
      • 单位向量
        • 模=1的向量
      • 两向量夹角的余弦
      • 正交
        • (α,β)=0时，称α与β正交
      • 柯西不等式
      • 两两正交的非0向量线性无关
    • 性质
      • 对称性
        • (α,β)=(β,α)
      • 线性性
        • λ(α,β)=(λα,β)=(α,λβ)
        • (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)
      • 正定性
        • (α,α)>=0，等号成立当且仅当α=0
    • 施密特正交
      • 正交化
      • 标准化
    • 正交矩阵
      • 定义
      • 定理
        • A是正交矩阵=>|A|=+-1
  • 应用
    • 证无关
      • 定义法
        • 设k1α1+...+knαn=0，证k1=0,...,kn=0
          • 乘
            • 直接乘，乘完式子变短
            • 乘完与原式相加减，变短
          • 拆括号重组
      • 秩
        • (α1,...αs)x=0有仅有零解=>r(α1,...αs)=s
        • 方法
          • 三秩相等
          • 秩的公式
      • 反证法
    • 给出AB=O
      • B的列向量是Ax=0的解
      • r(A)+r(B)≤n
    • 证相关
      • [α1,...,αs]x=0有非零解
      • r(α1,...αs)<s
      • αi可由组内其他向量表示
      • 多数向量能用少数向量表示
      • n+1个n维向量
      • n个n维向量，|A|=0
      • 两个向量，分量成比例
    • 证线性表出
      • 证对应的k!=0
      • 反证法
      • 向量组之间的线性表示 求B 用A 的线性表示，相当于求A X=B 的解，X 的列向量的坐标为线性表示的系数，即(a1,a2,a3 ）(x1i,x2i,x3i)T=Bi(i=1 ，2 ，3)
        • 矩阵方程的求解问题
    • 证向量组等价
      • r(I)=r(II)=r(I,II)
      • 可互相表出
        • 几个一起算，不要分开算
• 第四章 线性方程组
  • 概念
    • 零解
      • 齐次方程组必有零解
      • x1=0,x2=0,...xn=0
    • 非零解
      • 除了零解的所有解
    • 基础解系
      • ①线性无关的解向量个数 ②未知数中自由变量的个数
      • t=n-r(A)
      • η1,η2,..ηt是Ax=0的解
      • η1,η2,...,ηt线性无关
      • Ax=0的任一个解η都可由η1,η2,...,ηt线性表出
      • 称η1,η2,...ηt为Ax=0的一个基础解系
  • 求方程组的解（同解变形）
    • 同解变形对应矩阵的初等行变换
    • 两个方程互换位置
    • 用非零常数乘方程的两端
    • 把某个方程的k倍加到另一个方程上
  • 定理
    • • m<n时，Ax=0必有非零解
      • m=n时，Ax=0有非零解<=>|A|=0
    • Ax=0的基础解系由n-r(A)个解向量构成
    • 若η1,η1,...,ηt是Ax=0的基础解系，则其通解是k1η1+k2η2+...+ktηt
    • 解的性质
      • 若η1,η1,...,ηt是Ax=0的解，则有k1η1+k2η2+...+ktηt仍是其解
      • ξ1,ξ2是Ax=b的解=>ξ1－ξ2是Ax=0的解
      • ξ是Ax=b的解，η是Ax=0的解=>ξ+kη是Ax=b的解
  • 应用
    • 具体
      • 行变换
      • 讨论参数
    • 抽象
      • 秩
      • 解的结构
      • 推理分析
    • 齐次解
      • n-r(A)=基础解系
    • 非齐解
      • 有解判定，解的结构
    • 公共解
      • 两个解集合的交集
      • 给出两个方程组，直接联立求解
      • 给出一个方程组和另一个方程组的基础解系，求出基础解系，则公共解可由两组基础解系表出，联立
    • 同解
      • 两个解集合完全相等
      • 同解⇒秩r(A)=r(B)
• 第五章 特征值和特征向量
  • 特征值和特征向量
    • 定义
      • Aα=λα，α≠0
        • A为n阶矩阵，数λ，非零的n维列向量α
        • 满足这个式子只能说明λ是矩阵A的其中一个特征值，非零向量α是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量
    • 特征值
      • A可逆
        • 特征值为0不为0的应用
      • 特征值用处多：相乘为行，相加为迹；是否有0联想秩和A的可逆性
      • • A可逆 =>
      • 若n阶矩阵A有n个不同的特征值
        • λi(i=1.2.3...n)有无数个相应的特征向量，λi对应的线性无关的特征向量为 （λiE-A)X=0的基础解系
    • 特征向量
      • 属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是这个特征值的特征向量
        • αs=k1α1+...ktαt≠0仍是A属于λ的特征向量
        • λ1≠λ2=>α1+α2不是A的特征向量
      • 不同特征值对应的特征向量线性无关
      • 如果A是n阶矩阵，λi是A的m重特征值，则属于λi的线性无关的特征向量的个数不超过m个
  • 相似矩阵
    • 定义
      • A,B为n阶矩阵，P为可逆阵。若P^-1AP=B，则称B是A的相似矩阵，记
        • • 例题：讲义P134例5.21
          • 根据题目给出n阶矩阵A的n组Aiαi=λαj式子改写成分块矩阵形式，进一步写成AP=PB得到相似——A的阶数=无关向量α的个数=Aiαi=λαj的组数一定能推出相似
      • 若A与对角阵相似，称A可相似对角化，对角阵为A的相似标准形
    • 性质
      • 反身性
        • A～B
      • 对称性
      • 传递性
        • • 使得A~B的可逆矩阵为P1；使得B~C的的可逆矩阵为P2；那么使得A~C的可逆矩阵为P=P1P2
    • 相似的性质（相似必要条件）
      • 特征多项式相同，即|λE-A|=|λE－B|
      • r(A+kE)=r(B+kE)
      • A,B有相同的特征值
      • • 括号外面有个n次方也成立
      • f(A)α=f(λ)α，α≠0
        • 由矩阵多项式得到特征多项式，可以得到特征值的可取范围，但是确定下来需要结合其他条件
      • A、B均为可逆矩阵，且A~B则
        • 若进一步，A\B均为实对称矩阵，则
          • 做这种选择题，你举反例的思路是：想这个选项的充分条件是啥，然后看看题干缺什么条件，你就构造一个实例，来说明缺这个条件就推不出选项结论
        • 用相似的定义证明的步骤：矩阵B=带已有相似定义替换B，化简凑新的相似定义（一般令右边的可逆阵为P1，验证左边是不是P1的逆）
    • 相似的充要条件
      • • 3中的λ仅代表是个常数，不是特征值的意思
    • 实对称矩阵
      • 定义
        • A^T=A
      • 定理
        • 必可相似对角化
        • 不同特征值的特征向量相互正交
        • k重特征值必有k个线性无关的特征向量
        • 必存在正交阵Q，使Q^-1AQ=Q^TAQ=对角阵
        • 特征值皆为实数
      • （λ_1E-A)X=0=>ξ_1,...,ξ_s线性无关
      • (λ_2E-A)X=0=>η_1,..η_t线性无关
      • 且ξ_1,...,ξ_s,η_1,..η_t也线性无关
        • A的所有特征向量全部线性无关
    • 与对角阵相似
      • A可对角化的判定
        • 充要条件
          • <=>A的每个特征值线性无关的特征向量数为该特征值的重数
          • <=>A有n个线性无关的特征向量
        • 充分条件
          • <=n阶阵A有n个不同的特征值
          • <=A是实对称矩阵
        • 可以相似对角化3+2判定法
      • 相似对角化的矩阵形式
  • 应用
    • 求特征值
      • 定义
      • |λE-A|=0
        • 求特征值一定不能对矩阵进行变换
      • 相似
      • 上，下三角，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素
      • 特征值的相关定理
      • Aλ=0=>特征值=0，特征向量=λ
      • r(A)<n=>|0E-A|=0=>λ=0
      • 解题要点
        • A(kα)=kAα=k(λα)=λ(kα)
        • (A+kE)α=(λ+k)α
        • A^nα=λ^nα(α≠0)
        • A(β1,...,βs)=(Aβ1,...,Aβs)
      • 反问题;已知特征值求矩阵中的参数，把特征值代入特征多项式，其值为0
    • 求特征向量
      • 求齐次方程组的非零解
        • 记得写参数ki不全为0因为0向量不是特征向量
        • 技巧：对于三阶矩阵，只要能够找到二阶子式不为0，就可以断定r(A)=2,把不好化简的那行直接写成0，留下的两行必须不成比例（保证秩=2即可）
      • 实对称矩阵
      • 特征值特征向量的定理
    • 证相似
      • 定义
        • 通过题干条件可以凑出定义式
      • 找中介（对角阵），利用传递性
        • 两个矩阵都可以相似对角化，并且特征值相同，则一定相似
    • 证不相似
      • 相似必要性否定他
      • A可对角化，B不可对角化
    • 上来先看矩阵类型，有无实对称矩阵；然后看是否满足相似必要条件；
    • 求A的n次方
      • 变换成对角阵的相似，求对角阵的n次方
    • 可以相似对角化判定
    • 求可逆矩阵把一般矩阵相似对角化
      • 求特征值
      • 求特征向量
      • 把特征向量构成可逆阵P
    • 求正交矩阵把实对称矩阵对角化
      • 求特征值
      • 求特征向量
      • 特征向量有重根时，特征向量正交化
        • 注: 实对称矩阵 属于不同特征值的特征向量相互正交； 属于m重特征值的特征向量一般不是正交的，需要正交化处理； 但这个m重特征根一定有m个线性无关的特征向量； 这三句话好好品不要混淆
      • 特征向量单位化
      • 若求出的特征向量已正交化或单位化，则不用处理
      • 把特征向量构成正交阵Q
    • 反求A矩阵
• 第六章 二次型
  • 定义
    • 每一项中未知数相乘的个数都是2。如
    • 含有n个未知数（变量）的二次齐次函数称为n元二次型
    • 平方项
      • 变量相同的项
    • 混合项
      • 变量不同的项
  • 二次型的对应矩阵
    • 平方项把系数放到下标对应的对角线上。混合项把系数除以2，再分别放到下标对应的对称点上
      • 易错：平方项系数放对角线不除2
    • 二次型和一个实对称矩阵是一一对应的关系
      • 这种一一对应告诉我们见到实对称矩阵就要想到他的二次型，看到二次型的矩阵表示形式，就要验证这个矩阵是不是对称矩阵，如果是这个形式就代表二次型，如果不是他不代表二次型
  • 标准型
    • 只有平方项，没有混合项
  • 规范型
    • 只有平方项，且系数只能是1，－1，0
  • 惯性指数
    • 前提（从哪里看）
      • 标准型
      • 一般通过特征值正负个数来看，或者配方法
    • 正惯性指数p
      • 正平方项的个数
    • 负惯性指数q
      • 负平方项的个数
  • 惯性定理
    • 无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形或规范形，其正项个数P、负向个数q都是唯一且不变的
    • 推论：标准形不唯一但是规范型是唯一的
  • 二次型的秩
    • 即对应矩阵A的秩=p+q
  • 坐标变换
    • 1个必要条件：所用的坐标变换矩阵C是n阶可逆矩阵即|C|≠0
    • 3种等价写法
      • 方程组形式
      • 矩阵形式
      • 分块矩阵写法x=Cy（其中x,y为n维列向量，C为n阶矩阵）
    • 2个变换结果
      • x=Cy:坐标（自变量）由x=(x1,x2,x3)^T变到y=(y1,y2,y3)^T
      • 经过坐标变换后得到的一定还是二次型，并且两个二次型的矩阵一定合同：
    • 3个一定：
      • 任意的n元二次型一定可以经过坐标变换化成标准型，也就是说对实对称矩阵A，一定存在可逆矩阵C，使得A合同于一个对角矩阵
        • 二次型的标准形不唯一，可以用不同的坐标变换化二次型为标准型
        • 这里的对角阵未必是由A的特征值组成的，只有经过正交变换化为标准型那个对角矩阵才是由特征值组成的；但是无论是什么样的可逆变换，根据惯性定理A合同的这个对角阵的正负项个数一定是一样的！
      • 正交变换是联系二次型与相似理论的桥梁，任意二次型一定存在正交变换x=Qy（Q为正交阵），化二次型为标准型，并且这个标准型的系数就是矩阵A的特征值
        • 实对称矩阵一定合同并且相似于由自己的特征值组成的对角阵，由相似的性质，r(A)=r(Λ)=正特征值＋负特征值，再由惯性定理=正惯性指数+负惯性指数
        • 由第三个一定和惯性定理可知，从特征值的正负个数里就能看到±惯性指数
    • 一种特殊坐标变换：正交变换法
      • 即Q^-1AQ=Q^TAQ=对角矩^。其中对角元素为A的特征值。即A既相似又合同于对角阵
        • 正交矩阵Q^-1=Q^T
      • 方法
        • 求由A的特征向量所构造的那个正交矩阵（和正交相似对角化那里同一个的Q），然后写出正交变换的矩阵形式以及最终化简结果
      • 经过正交变换，二次型的矩阵不仅合同而且相似
  • 实对称矩阵合同
    • 定义
      • A，B为n阶方阵，存在可逆阵C，使C^TAC=B，称A合同于B，记
        • 并称由A到B的变换为合同变换，C为合同变换的矩阵
      • |A|与|B|符号相同
    • 性质
      • 反身性
      • 对称性
      • 传递性
    • 坐标变换前后两个二次型的矩阵是合同的
      • 实对称矩阵的合同和其相应的二次型坐标变换是同时进行的，合同的概念就是从二次型的可逆线性变换中抽出来的，说矩阵合同就是在说二次型的可逆线性变换
    • 经正交变换后的二次型矩阵是合同且相似的
  • 正定二次型
    • 定义
      • 任意x≠0，恒有x^TAx>0，即有x1,...xn不全为0，使f>0 ，称A为正定矩阵
        • 如果已知f≥0，那么f正定的充要条件是：f=0的充要条件是列向量x=0
    • 充要条件
      • A的全部顺序主子式大于0
      • A的特征值λi>0(i=1.2.3...n)
      • f的正惯性指数p=n
      • A与单位矩阵E合同
      • 存在可逆矩阵D，使A=
    • 必要条件
      • aii>0
        • 主对角元素均>0
      • |A|>0
    • 坐标变换后，二次型的正定性不变
    • 正定也可以用来筛选参数的值
    • 正定的重要结论
  • 应用
    • 化为标准型
      • 正交变换
        • 任意二次型必存在正交变换x=Qy（Q为正交阵），化二次型为标准型
        • 基本步骤
        • 反求参数
        • 最值问题
        • 几何应用
      • 配方法
        • 任意二次型都可通过（配方法）可逆线性变换x=Cy（C是可逆阵），化成标准型
          • 矩阵语言
            • 即实对称矩阵A，必存在可逆矩阵C使得C^TAC=对角阵
        • 得到的标准型不唯一
        • 方法
          • 含平方项
            • 每次只去掉一个变量，配完后剩下的项不含这个变量。依次下去，直到最后一个
          • 不含平方项
            • 创造平方项再按照含平方项的方法配方，比如含有x1、x2项，就令x1=y1+y2;x2=y1-y2构造平方差，y3=x3（这个构造原则是保证可逆线性并且形式最简单）
        • 应用场合
          • 仅要求求出正负惯性指数p、q及其反问题
            • 反问题：已知正负惯性指数，反求A中的参数范围
              • 配方
              • A的行列式=全部特征值乘积的正负性（可以从正负惯性指数个数推出来）
          • 判断A的正定性
          • 小题居多
          • 一般含有参数用配方简单，特征值好求的用特征值，正交变换法
          • 配方带来的东西
            • 1.求出化成标准型和规范形所用的可逆线性变换
            • 2.与A合同的对角矩阵
            • 3.二次型或者矩阵的秩
            • 4.正负惯性指数
            • 5二次型是否正定
            • 求这五样东西时候都可以想一想配方
    • 规范型
      • 可以通过配方或者正交变换先化为标准形，再使用伸缩可逆线性变换化为规范形，但是要注意，写出由x到标准型所用的可逆线性变换P=P1P2两部分相乘，而P一般不是正交矩阵，所以正交变换只能化为标准型不能一步化为规范形
    • 证明矩阵合同性
      • 定义
      • 正交、坐标变换
    • 证不合同
      • |A|与|B|符号不同
      • 惯性指数
      • 定义
    • 证明正定
      • 必须先证明矩阵是二次型（即对称）
      • p=n
      • A合同于E，即存在可逆阵C，使C^TAC=E
      • λ>0
      • 顺序主子式>0
      • 坐标变换
      • 与已知矩阵合同
    • 证不正定
      • 必要条件
        • aii>0
        • |A|>0
      • 充要条件
        • 顺序主子式大于0
        • λ>0
        • p=n
        • A=C^TEC，C可逆
    • 已知规范型求系数
      • 求特征值，按小到大排序。规范型的系数按负到正排序。两组一一对应，求出系数
    • 求p和q
      • 看特征值的符号
      • 配方法求出标准型
• 主题

真题错题集

• 求参数并求非齐次方程组的通解
  • 求参数
    • 非齐次方程组有无穷多解（大于一个）
      • 1.充分：系数行列式为0
        • 参数要验证
      • 2.充要
        • 系数矩阵的秩=增广的秩<n
  • 求非齐次方程组的通解
• 二次型
  • 求二次型矩阵A
    • 由A的特征值和特征向量确定A矩阵
  • 证明实对称矩阵A正定
    • 充要
      • 1.A的特征行列式都＞0
      • 2.A的各阶顺序主子式>0
• 反求矩阵A
• 证明实对称矩阵A正定
  • 大前提是A为实对称矩阵
  • 特征值法
  • 各阶顺序主子式均＞0
  • 具体矩阵用这俩方便，抽象矩阵也能用这俩，所以最重要
  • 用与矩阵E合同
  • 用定义，坐标变换
  • 用与已知的正定矩阵合同
  • 抽象矩阵
  • 子主题

矩阵对比

• 等价
  • 等价的充要条件是存在可逆阵P、Q，使PAQ=B
    • 性质
      • 1.矩阵经过初等变换后秩不变
        • 等价的两个矩阵可逆不可逆是一致的
      • 2.反身性：A与A等价
      • 3.对称性
• 相似
  • 定义
    • A,B为n阶矩阵，P为可逆阵。若P^-1AP=B，则称B是A的相似矩阵，记
    • 若A与对角阵相似，称A可相似对角化，对角阵为A的相似标准形
  • 性质
    • 反身性
      • A～B
    • 对称性
    • 传递性
  • 相似必要条件
    • 特征值相同
    • 特征多项式相同，即|λE-A|=|λE－B|
    • 秩：r(A+kE)=r(B+kE)
    • 迹：
    • 行列式：
    • 求参数
    • “特”“多”“字”(秩)“迹”的“行列式”(值)
    • f(A)α=f(λ)α
  • A可逆 =>
  • 定理：A可对角化
    • 充要条件
      • <=>A的每个特征值线性无关的特征向量数为该特征值的重数
      • <=>A有n个线性无关的特征向量
    • 充分条件
      • <=n阶阵A有n个不同的特征值
      • <=A是实对称矩阵
  • 判定
    • AQ=QB且Q可逆，则A~B
• 合同
  • 定义
    • A，B为n阶方阵，存在可逆阵C，使C^TAC=B，称A合同于B，记
    • |A|与|B|符号相同
  • 性质
    • 反身性
    • 对称性
    • 传递性
      • • 能够使得AC合同的可逆矩阵C=P1P2
  • 经坐标变换后的二次型矩阵是合同的
  • 经正交变换后的二次型矩阵是合同且相似的
• 正交矩阵
  • 定义
  • 定理
    • A是正交矩阵=>|A|=±1
    • 转逆相等，行（列）正交； A、B若正交，AB也正交； 特征、行列式，皆为正负1。
• 实对称矩阵
  • 定义
    • A^T=A,元素皆为实数
  • 定理
    • 必可相似对角化
    • 必存在正交阵Q，使Q^-1AQ=Q^TAQ=对角阵
    • 不同特征值的特征向量相互正交
    • k重特征值必有k个线性无关的特征向量
    • “正交”“对角”“不正交”， k重特征k无关。
  • （λ_1E-A)X=0=>ξ_1,...,ξ_s线性无关
  • (λ_2E-A)X=0=>η_1,..η_t线性无关
  • 且ξ_1,...,ξ_s,η_1,..η_t也线性无关
  • 反对称矩阵
• 正定二次型
  • 定义
    • x!=0，恒有x^TAx>0，即有x1,...xn不全为0，使f>0 ，称A为正定矩阵
  • 坐标变换后，二次型的正定性不变
  • 必要条件
    • aii>0
    • |A|>0
  • 充要条件
    • λ>0
    • p=n
    • 顺序主子式＞0
    • A=C^TEC，C可逆
  • 行列、对角为必要， 特征、子式为充要， 还有正惯和定义
• 对角矩阵
  • 转置就是自身