导图社区 小学数学3-6年级思维导图
- 197
- 3
- 1
- 举报
小学数学3-6年级思维导图
北师大 小学数学知识点思维导图 3-6年级，如三年级上，内容有数与代数、图形与几何、统计与概率、解决问题的知识。
编辑于2023-06-07 09:52:47 广东- GESP5级
算法进阶指南：从基础到高阶实战 想系统掌握算法核心？本指南涵盖GESP5级必备知识点：从算法复杂度分析（多项式、指数、对数）到递归与分治（归并排序、快速排序），再到贪心策略与二分查找深入数论工具（素数筛法、唯一分解定理、辗转相除法），实现高精度运算，并熟练操作队列、栈、链表等数据结构详解时间复杂度的分类（常数、线性、对数、阶乘等），助你精准评估算法性能理论 实战结合，适合有一定基础的开发者突破瓶颈！
- GESP 五级知识点思维导图
这是一篇关于GESP五级思维导图的思维导图，主要内容包括：复杂模拟，基础数据结构，基础算法，初等数论，算法复杂度的估算（含多项式、指数、对数复杂度）。
- GESP 3级 考点
这是一篇关于GESP 3级 考点的思维导图，掌握数据编码、进制转换、位运算等知识，掌握一维数组的、字符串及函数的使用，能够独立使用模拟法枚举法解决对应的算法问题。
小学数学3-6年级思维导图
社区模板帮助中心，点此进入>>
- GESP5级
算法进阶指南：从基础到高阶实战 想系统掌握算法核心？本指南涵盖GESP5级必备知识点：从算法复杂度分析（多项式、指数、对数）到递归与分治（归并排序、快速排序），再到贪心策略与二分查找深入数论工具（素数筛法、唯一分解定理、辗转相除法），实现高精度运算，并熟练操作队列、栈、链表等数据结构详解时间复杂度的分类（常数、线性、对数、阶乘等），助你精准评估算法性能理论 实战结合，适合有一定基础的开发者突破瓶颈！
- GESP 五级知识点思维导图
这是一篇关于GESP五级思维导图的思维导图，主要内容包括：复杂模拟，基础数据结构，基础算法，初等数论，算法复杂度的估算（含多项式、指数、对数复杂度）。
- GESP 3级 考点
这是一篇关于GESP 3级 考点的思维导图，掌握数据编码、进制转换、位运算等知识，掌握一维数组的、字符串及函数的使用，能够独立使用模拟法枚举法解决对应的算法问题。
- 相似推荐
- 大纲
小学数学思维导图
一、 三年级上
数与代数
时分秒
公式
每两个相邻的时间单位之间的进率是60
1时=60分 1分=60秒
认识时钟
分针、时针、秒针之间的相互关系
概念
万以内的加法和减法
读数和写数
数的大小比较
最大的几位数和最小的几位数
万以内加减法的运算
笔算
验算
求一个数的近似数
四舍五入
倍的认识
倍的意义
求一个数是另一个数的几倍用除法
一个数÷另一个数=倍数
求一个数的几倍是多少用乘法
多位数乘一位数
笔算方法
一个因数中间有0的乘法
0和任何数相乘都得0
三位数乘一位数
关于“大约”
分数的认识
分数的意义
比大小
分数的部位名称
分子、分数线、分母
分数的加减法
相同分母的分数加、减法的计算方法
1减几分之几的计算方法
分数的运用
根据图形写分数
图形与几何
测量
毫米、厘米、分米
概念
进率
公式
测量方法
合理运用测量单位
长方形和正方形
图形的概念
四边形的特点
长方形特点
长方形有两条长,两条宽，四个角都是直角，对边相等
正方形特点
有4个直角，4条边相等。
周长
长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4
封闭图形一周的长度，就是它的周长
统计与概率
数字编码
数学广角
解决问题
计算时间的问题
结束的时间-开始的时间=经过的时间
万以内加减法的问题
倍数的问题
估算
问题中出现“大约”、“约”、“估一估”、 “估算”、 “估计一下”都去近似值，估算。
多位数乘一位数的问题
计算周长的问题
灵活运用公式计算
分数计算的问题
二、 三年级下
1 除法
口算除法
把数拆分成能被这一位数整除的两个数
例
68÷2
将68拆分成60和8，先算60÷2=30,再算8÷2=4,30+4=34,所以68÷2=34
48÷3
先算30÷3=10,剩下的10个加上8个就是18个,再算18÷3=6,10+6=16(个),所以48÷3=16(个)
306÷3
把306看成是300与6的和,先分整百数,即300÷3=100;再分个位数,即6÷3=2;最后用100+2=102,所以306÷3=102
笔算除法
方法
①多位数除以一位数，从高位除起，除到被除数哪一位，商就写在哪一位上
②被除数的每一位与除数相除后，若无余数，直接用被除数下一位的数除以除数。若有余数，要把余数与被除数下一位的数合起来继续除。每次除得的余数要比除数小
③遇到被除数哪一位上的数是0并且前一位没有余数时，商的对应位直接商0，接着落下一位的数继续除；如果前一位有余数，就把余数和0合起来继续除
注意哪一位的结果商0，则这一位横线间的计算步骤就省略不写，接着算下一位
④遇到被除数哪一位上的数不够商1时，就商0，再落下一位数,接着除
注意哪一位的结果商0，则这一位横线间的计算步骤就省略不写，接着算下一位
⑤首位不够商1时，就多看一位，即看前两位
解决问题
连除解决实际问题
画图表示
解决问题
法一：先求一个书架放了多少本，再求每层放了多少本
分步列式
200÷2=100(本)100÷4=25(本)
综合算式
法二：先求出2个书架共有几层，再求每层可以放几本书
分步列式
2×4=8(层) 200÷8=25(本)
综合算式
归一、归总应用题
画图表示
解决问题
笑笑讲一个故事用了4分，平均每分讲150字。如果要3分完成，每分应讲多少字？
画图表示
解决问题
总结
有的问题要先算1个单位的量,有的问题要先算总量
用列表格的方式来表示题意,题目的意思清晰明了,就很好解答了
乘除混合运算的顺序是从左到右依次计算,有括号的要先算括号里面的
2 图形的运动
轴对称图形的特点
对称轴的两边的图形能完全重合
两侧的对称点、对称线段、对称图案完全重合
两侧的对称点、对称线段、对称图案到对称轴的距离相等
平移和旋转
旋转是物体绕着某一点或轴运动的现象，平移是物体沿直线运动的现象
物体在平移或旋转的时候,图形的大小、形状没有变化,只是物体的位置变了
3.乘法
口算乘法
乘数是整十数
当乘数扩大10倍、100倍、1000倍,积也会相应扩大10倍、100倍、1000倍。也就是说,乘数的末尾多几个零,积的末尾一定也会多几个0
计算方法
先不看0，先把乘数中0前面的数相乘,然后再看两个乘数的末尾一共有几个0,就在乘得的数的末尾添几个0,求出积
两位数乘两位数的口算方法
①
利用数的组成将两位数都拆分成几十和几，然后两两相乘，4个积的和就是最后的结果
通常采用列表格的形式
例12×14
根据数的组成对数进行拆分计算14×12。把14分成10和4,12分成10和2。用14分成的两个数分别去乘12分成的两个数。即10×10=100,10×4=40, 2×10=20,2×4=8。然后把四个积相加,100+40+20+8=168
②
将其中一个乘数拆分成几十和几，然后分别与另一个乘数相乘，2个积的和就是最后的结果
例12×14
将14拆分成10和4，12×10=120，12×4=48，120+48=168
笔算乘法
两位数乘两位数(不进位)的竖式计算
计算方法
①相同数位对齐，从低位算起
②先用下面的数中的个位上的数去乘第一个乘数中的每一位数，得数末尾与个位对齐
③再用下面的数中的十位上的数去乘第一个乘数的每一位，得数另起一行，末尾与十位对齐
④然后把两次的乘积加起来
例
2×4表示2个一×4个一，2×4=8，8表示8个一，所以8写在个位上。然后2×1表示2×1个十，数字相乘结果是1×2=2，单位分别是一和十，相乘是十，所以结果是2个十，2写在十位上
1×4表示1个十×4，数字相乘结果是4，单位分别是十和一，相乘是十，所以结果是4个十，4写在十位上，2的前面是百位不能写在那里，所以我们另起一行写在2的下面。接下来是1×1表示1个十×1个十，数字相乘结果是1，单位分别是十和十相乘是百，结果是1个百，1写在百位上，也就是4的前面
然后把两次的乘积加起来
注意
竖式计算时乘数的上下位置不影响结果，通常把位数少的放在下面
两位数乘两位数(进位)的竖式计算
计算方法
先用第二个乘数每一位上的数分别去乘第一个乘数,用哪一位上的数去乘,乘得的数的末位就要和那一位对齐,哪一位上的乘积满几十,就向前一位进几,最后把两次乘得的积加起来
例
相同数位对齐，从个位算起
先用21中的1乘26中的每一位数，1×6=6，6写在个位上。1×2个十=2个十，2写在十位上
再用21中的2乘26中的每一位数，2个十×6=12个十，满十进一，十位写2，向前一位进1。2个十×2个十=4个百，4个百再加进的1共5个百，5写在百位，即2的前面
最后求两个积的和
4 千克、克、吨
认识质量单位
克（g）
克一般表示较小或较轻物体的质量
一粒花生米、2分硬币、3个曲别针的质量都大约重1克
千克（kg）（2斤）
千克一般表示较大或较重物体的质量
两瓶矿泉水、4个苹果、16个鸡蛋的质量都大约重1千克
吨（t）
1头小象的质量大约是1吨,三头水牛的质量大约是1吨
生活中的质量单位
单位换算
1吨=1000千克，1千克=1000克，1千克=2斤，1斤=500克
5 面积
初步认识面积
面积概念
物体的表面的大小或封闭图形的大小就是它们的面积
比较面积大小的方法
观察法
两个物体表面或图形的大小相差较大时,用观察法可以直接看出来
重叠法
将两图形重合，比较一个图形是否能完全包含另一个图形
剪拼法
将两个图形沿边缘对齐重叠,然后把不重叠的部分剪下来,把余下的部分重叠,把不重叠的部分再剪下来,再重叠……直至拼到两个图形没有可重叠的部分为止,那么剩余部分大的那个图形的面积就大
同一物体测量法
用同样大小的小方格或其他物品测量
如用同样大小的小方块在图形里逐行逐行地摆,哪个图形里摆的小方块多,那个图形的面积就大
画格法
在图形中画边长一定的小方格，画出的小方格越多，面积就越大
注意
面积相同的图形，但形状不一定相同
面积与周长的区别
认识面积单位
面积单位作用
数方格比大小,是比较图形面积大小的基本方法，要想得到一致的测量结果,使计算方便、准确,就需要统一单位
需要定有一样大小的方格，定有3个标准
面积单位
平方厘米
边长为1厘米的正方形的面积是1平方厘米
面积单位
“平方厘米”,用符号表示为cm²，读作“平方厘米”,
应用
看图形含有几个这样的小方格，就有几平方厘米
测量较小物体的面积用平方厘米作单位
生活中的例子
一枚1角硬币的面积约是1平方厘米
大拇指指甲盖的面积约是1平方厘米
平方分米
边长为1分米的正方形的面积是1平方分米
面积单位
"平方分米"，用符号表示为dm²，读作平方分米
应用
看图形含有几个这样的小方格，就有几平方分米
测量稍大物体的面积用平方分米作单位
生活中的例子
手掌的面积大约是1平方分米
粉笔盒一个面的面积大约是1平方分米
平方米
边长为1米的正方形的面积是1平方米
面积单位
平方米，用符号表示为m²,读作:平方米
应用
看图形含有几个这样的小方格，就有几平方米
测量较大物体的面积用平方米作单位
生活中的例子
一般瓷砖的面积大约是1平方米
长方形面积公式
用画格法求三个长方形的面积
得出结论
结论
长方形的面积=长×宽
当长方形的长和宽相等时，长和宽就为正方形的边长
正方形的面积=边长×边长
面积单位间的进率
推导方法
①物体测量/摆方格
如平方分米和平方厘米的换算
在1平方分米的正方形纸上摆边长为1厘米的方格,观察1平方分米里有几个1平方厘米的小方格
竖着摆每列正好可以摆10个小正方形,摆了10列,一共可以摆10×10=100(个)这样的小正方形,也就是说1平方分米里面有100个1平方厘米,即1平方分米=100平方厘米
②画格法
如平方米和平方分米的换算
1平方米就是边长是1米的正方形的面积,我在里面画边长为1分米的小方格，看能画多少个，因为1米=10分米,所以一行可以画10个，一列也可以画10个，10×10=100（个），1个小方格1平方分米，因此可得出结论1平方米 = 100平方分米
③先换算边的单位
如平方米和平方分米的换算
正方形的面积是边长×边长，它的边长是米所以面积单位是平方米。将边长换成分米，则面积单位会变成平方分米。边长1米=10分米，所以面积=10×10=100平方分米，因此可得出结论1平方米 = 100平方分米
结论
面积单位之间的进率为100，即1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米
6 认识分数
分数的意义
把一个整体平均分成了几份，取/表示其中的几份就用分数表示
平均分成了几份分母就是几，取其中几份分子就是几
分数表示了部分与整体的关系，即部分是整体的几分之几，部分占整体的几分之几
如涂色部分用分数表示是1/3，也表明了涂色部分占整个长方形的1/3
求部分占总体的几分之几时，部分取了几份或部分的数量是几分子就是几，整体平均分成了几份或整体数量是多少分母就是几
看份数或直接看数量（1个为1份）
整体的含义
可以是一个物体
整体的1/3
可以由若干个个体组成
整体的3/5
练习
根据意义一：将它们平均分成5份，则1只小鸭子为1份，然后取出其中的3份，3份为3只。意义二：部分占整体的3/5，整体有5份，根据总数5只，1只为1份，部分有3份即3只
意义一：3/5表示的是将其平均分成了5份，取其中的3份。平均分成5份，则每份可以看作一列，3份即3列。意义二：部分占整体的3/5，整体是5份，总数为20只，4只为1份，部分有3份即12只
分数比较大小
比较同分母分数
借助图形分析
比较分数大小时前提：整体都一样，所以图形都一样
结论
分母相同，分子大的分数大
比较同分子分数
借助图形分析
结论
分子相同，分母小的分数大
练习
分数加减法
①创设情景
孙悟空、猪八戒和沙和尚三人围在一个西瓜旁在考虑怎么分,八戒把西瓜平均分成了8块,这样,他们四个人每人就可以分到2块。八戒先捧着2块西瓜给唐僧吃。接着八戒也吃了自己的那两块西瓜,可他实在是口渴,于是又偷偷地吃了一块西瓜
②同分母分数相加
问题：唐僧和猪八戒一共吃了这个西瓜的几分之几
法一
题目是求一共吃的份数占西瓜总份数的几分之几，唐僧吃了2份则占西瓜的2/8，猪八戒吃了3份则占西瓜的3/8，则一共吃了5份，占西瓜的5/8
法二
平均分成8份每一份则占西瓜的1/8，唐僧吃了2份即吃了2个1/8，同理八戒吃了3个1/8，则一共吃了5个1/8。一共吃了西瓜的5个1/8，5个1/8即5/8，共吃了西瓜的5/8
总结
同分母分数相加,分母不变,分子相加
③同分母分数相减
问题：八戒比唐僧多吃了这个西瓜的几分之几？
法一
题目是求八戒比唐僧多吃的份数占西瓜总份数的几分之几，唐僧吃了2份则占西瓜的2/8，猪八戒吃了3份则占西瓜的3/8，则多吃了1份，占西瓜的1/8
法二
平均分成8份每一份则占西瓜的1/8，唐僧吃了2份即吃了2个1/8，同理八戒吃了3个1/8，则八戒比唐僧多吃了这个西瓜的1个1/8，即1/8
总结
同分母分数相减,分母不变,分子相减
④1减去一个分数
问题：现在还剩下这个西瓜的几分之几?
整体用1表示，1=分子分母相等的分数，减数的分母是几就将分子分母改写成几
总结
计算1减几分之几可以把1改写成分子与分母都和减数分母相同的分数,再按照同分母分数减法的计算方法计算
7 数据的整理和表示
画数线图整理数据，在统计每个类别的数量时,可以用符号来表示
例
三、 四年级上
1.升和毫升
（1）容量单位的产生
（2）升和毫升之间的进率
1升（L）=1000毫升（ml 、mL）
生活中升和毫升的运用
生活中的升和毫升的运用
2.观察物体
（1）长方体无论从哪个角度观察，最多只能同时看到三个面
（2）观察物体的前面、右面和上面
3.角的度量
（1）认识线段、直线、射线和角
（2）角的度量
（3）角的分类以及画角
4.三位数乘两位数
（1）三位数乘两位数的笔算方法
三位数乘两位数
三位数乘两位数笔算
用两位数个位上的数去乘三位数
积的末尾与两位数的个位对齐
用两位数十位上的数去乘三位数
积的末尾与两位数的十位对齐
两次乘积相加
积也乘以或除以相同的数。
解决问题
总价问题：单价×数量=总价
路程问题：速度×时间=路程
拓展：乘法的其它算法
格子乘法
另一个因数乘几或除以几（0除外）
顺序计算
积的变化规律
两个数相乘，一个因数不变，
前面的数相乘
因数中间有0或末尾有0的乘法
因数末尾有0：先把0
因数中间有0：按笔算
积最大的问题
（2）因数中间或末尾有0的乘法
（3）积的变化规律
（4）总价、路程问题
8.可能性
（1）先列举出整个事件中所有可能出现的结果
（2）公平的游戏规则
7.统计表和条形统计图
（1）认识条形统计图
（2）认识1格代表多少单位的条形统计图
（3）分段整理数据
（4）
6.除数是两位数的除法
（1）口算除法
（2）笔算除法
（3）商的变化规律
5.平行四边形与梯形
（1）平行与垂直
（2）平行四边形与梯形
四、 四年级下
小数
小数的意义
小数的组成:以小数点为界，小数由整数部分和小数部分组成。
小数的性质
1.小数部分最大的计数单位是十分之一，小数部分没有最小的计数单位。小数的数位是无限的。
2.小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
比小数大小的方法:先看整数部分，整数部分大的小数大；整数部分相同，看小数部分的十分位，十分位上的数字大的小数大……
小数加减法
小数加减法的方法:小数点对齐，按照整数加减法的方法计算。从末位算起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一，如果被减数的小数末尾的数不够，可添“0”再减，哪一位上的数不够减，要从前一位退一，在本位上加十再减；得数的小数点对齐横线。
小数加减法混合运算的运算法则:小数加减混合运算的运算顺序与整数相同。同级运算，从左往右；有括号时 先里后外。
小数的乘法
小数的乘法运算方法:小数乘法可按整数乘法计算，积的小数位数是两个乘数小数位数之和。
小数四则混合运算的运算法则:小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同；同级运算，从左往右；两级运算，先乘除后加减；有括号时，先里后外。
图形
三角形
性质
1.三角形具有稳定性。
2.三角形内角和等于180°。
3.三角形任意两边的和大于第三边。
分类
按角分
钝角三角形:有一个角是钝角的三角形。
直角三角形:有一个角是直角的三角形。
锐角三角形:三个角都是锐角的三角形。
按边分
等腰三角形:三条边中有两条边相等的三角形。（等边三角形是特殊等腰三角形。）
任意三角形:三条边均不相等的三角形，仅满足三角形的基本性质。
四边形
分类
平行四边形:两组对边分别平行且相等的四边形。（长方形、正方形、菱形都是特殊的平行四边形）
梯形:有一组对边平行的四边形。（直角梯形、等腰梯形）
性质
1.四边形具有不稳定性（多变性）。
2.四边形内角和360°。
轴对称图形:长方形、正方形、等腰梯形、菱形、等腰三角形、圆形。
图形密铺:图形之间没有缝隙也不重叠，是密铺。
方程
含义:含有未知数的等式叫方程。
等式的性质
1.等式的两边都加上或减去同一个数，等式依然成立。
2.等式的两边都乘以同一个数，等式依然成立。
3.等式的两边除以同一个不为0的数，等式依然成立。
用字母表示图形的计算公式
1.长方形的周长:C＝2（a+b）
2.长方形的面积:S＝ab
3.正方形的周长:C＝4a
4.正方形的面积:S＝a²
用字母a.b.c表示运算定律
1.加法交换律:a+b＝b+a
2.加法结合律:（a+b）+c＝a+（b+c）
3.乘法交换律:a×b＝b×a
4.乘法结合律:（a×b）×c＝a×（b×c）
5.乘法分配律
（a+b）×c＝a×c+b×c
（a-b）×c＝a×c-b×c
6.减法的运算性质:a-b-c＝a-（b+c）
7.除法的运算性质:a÷b÷c＝a÷（b×c）
等量关系式
1.平均数关系式:总数÷总份数＝平均数
2.总数、份数、每份数关系式:每份数×份数＝总数
3.行程关系式:速度×时间＝路程
4.购物问题关系式:单价×数量＝总价
5.工程问题关系式:工作时间×工作效率＝工作量
6.相遇问题关系式:速度和×相遇时间＝相遇路程
数据表示和分析
平均数:一组数据平均水平的代表是平均数。
条形统计图:条形统计图能很容易比较各个数据的大小，制作时选取数量单位的大小要合适。
折线统计图:折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能表示出数量的变化情况。
五、 五年级上
第一单元：小数除法
1.小数除法意义：
已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，和整数除法意义相同
2.除数是整数：
从被除数的最高位除起，除到哪一位就在那一位上写商，商的小数点要与被除数的小数点对齐。例：26.5÷5；11.5÷5
从被除数的最高位除起，除到被除数的末位仍有余数的，就在余数的后面添加0继续除 例：18.9÷6；26÷4
课后提升
小数点移位：左缩右扩，一位10倍；灵活应用被除数、除数或商移位运算 例：乐乐和悠悠一共有896.5元，乐乐的钱数的小数点向左移动一位，他的钱数就和悠悠一样多，请问两人的钱
消元思想：二元一次方程组中两个未知数，如果消去其中一个，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可先求出一个未知数，然后再求出另一个，这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫消元思想； 消元方法：1.代入消元法 2.加减消元法
方法运用：消元法解决差倍问题 例：一个小数，如果把它的小数部分扩大3倍，这个数变成4.2,； 如果扩大7倍，这个数变成5.8。这个数是多少
从被除数的最高位除起，如果商的中间哪一位上不够商1，就在那一位上用“0”占位 例：12.6÷12；43.23÷6；
整数除以整数，如果商的整数部分不够商1，那么要在商的个位用0占位，并在0的后面点上小数点，同时在被除数个位的后面也点上小数点，添加0继续除； 例：18÷24；2.6÷5；2.52÷36
课后提升
方法运用：消元法解解方程 例：学校上午买了4个足球和2干篮球，共付436.8元；下午买了同样的1个足球和2个篮球，共付人民币237元。一个篮球和一个足球各多少元？
思维开放：用画线段解决平均分 例：甲、乙、丙三人各拿出同样多的钱买气球。甲拿到的气球比乙拿到的气球少6个，乙、丙拿到的气球同样多。这样，乙、丙每人要给甲0.8元。每个气球的售价是多少钱？
3.除数是小数
计算方法：移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位；位数不够的，在被除数的末尾用0补足；然后按整数除法计算 例：5.28÷1.2；5.76÷0.03；8.4÷0.56；67.85÷0.25；56÷0.14
商不变规律：被除数和除数同时乘(或除以)相同的数(0除外)，商不变。例：5.1÷0.3；54÷7.2
课后提升
方法运用：用转化法解决小数位多的除法 例：0.00000247÷0.000000013
商变化规律： 被除数不变，除数扩大几倍，商缩小同样倍数。除数缩小几倍，商扩大同样倍数 除数不变，被除数扩大几倍，商扩大同样倍数，被除数缩小几倍，商缩小同样倍数
课后提升
思维开放：用商的变化规律解决错解题 例：小明在计算一个三位小数除以一个数时,漏掉了被除数的小数点,得到错误的商是68.09，请算出正确的商？
小数除法验算与整数除法方法相同：商 x 除数 = 被除数；被除数 ÷ 商 = 除数
4.积/商近似值
积的近似值：先算出准确的积，再根据题目或生活习惯用四舍五入取近似值 商的近似值：先看保留几位小数，根据要求多除一位，再用四舍五入取近似值 四舍五入口诀：保留哪位看下位，拿它和5做比对;4舍5入要记牢，还有等变约等号
课后提升
保留位末尾若是0，不能去掉 例：1.904保留两位≈1.90
近似值解决货币兑换和汇率问题：明确兑换关系，最终结果算到千分位，然后保留两位小数（特殊要求除外，默认都保留两位小数：元 . 角分） 例：妈妈用600元人民币可兑换多少美元(1美元兑换人民币7.61元)？
课后提升
四舍五入与平均数近似值应用 例：12个双数的平均数，如果保留一位小数是14.8，那么如果保留两位小数，应该是多少？
列举法/比较法求被除数极值问题 例：A÷0.8=B，B是一个一位小数，保留整数是3。A最大是?最小?
商与被除数大小关系： 除数大于1，商比被除数小；除数等于1，商与被除数相等；除数小于1，商比被除数大 （前提：除数、被除数都大于0）例：不计算比较大小类题目
5.循环小数
循环小数：一个数的小数从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。 例：73÷3=24.3333...；9.4÷11=0.85454...；但3.8888不是循环小数。注意写法区分
循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复的数字，叫这个循环小数的循环节。 例："3"是24.3333...的循环节；"54"是0.85454...的循环节。
课后提升
用循环节求循环小数指定位数上的数字 例：2÷13的商的小数点后第1000位上的数字是几？
循环节的简便写法：可只写一次循环节，然后在其首位、末位数字头上各点一个圆点 例： 0.8543543543...，读作：零点八五四，五四三循环；写作：
6.四则混合运算
加减乘除混合算，明确顺序是关键；同级运算最好办，从左到右依次算。 两级运算都出现，先算乘除后加减；遇到括号怎么办，小括号里要优先。 例：8.5-3.5÷5;
课后提升
运用分类法和图示法解决问题 例：小郭从家打车去学校，共付车费15.6元．小郭家到学校的路程最远是多少千米？出租车收费标准如下：2.5km以内(含2.5km)收费6元，超过2.5km，每千米收费1.6元（不足1km按1km计费）．
除法运算性质简算:一个数连续除以几个数，可除以后几个数的积，也可调换除数位置，商不变。例：8.1÷18=8.1÷(9x2)；1.38÷0.125÷8
第二单元：轴对称和平移
1.轴对称图形的定义
定义：平面内，一个图形沿一条直线对折后，折痕两侧的部分能够完全重合的图形就叫轴对称图形；折痕所在的直线叫做对称轴。轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，对称轴画为虚线，且两端超过图形。轴对称图形是指平面内，例如小鸟，人体等是具有对称性的物体，而不是对称图形
课后提升
用轴对称解决实际问题： 例：老杨去世留下两亩田地(形如右图)，杨家四兄弟因分不均反目，找苏轼主持公道，你知道怎么分才公平吗？
利用列表法解决纸张多次对折问题：把一张长方形的纸沿着同一个方向连续对折n次，折出的小长方形的个数就是n个2相乘的乘积： 例：把一张长方形的纸沿着同一方向连续对折5次，在中间剪下一个正方形，那么展开后这张纸上有多少个正方形（32）
例：在一条公路的同一侧有远近不同的A、B两个村庄，要在公路边上建一个公交站，建在什么位置能使公交站到A、B两个村庄的距离之和最短？思考：如果A、B在公路的两侧该怎么建？
2.轴对称图形的特点
沿对称轴对折后，对称轴两侧图形可以完全重合
对称点到对称轴的距离相等
3.方格纸画轴对称图形
画图步骤： 1.定端点：确定图形每条线段的端点 2.量距离：数出各端点到对称轴的方格距离 3.描对称点：在对称轴 的另一侧描出各端点的对称点 4.连对称点：按原图形的顺序依次把描出的对称点连起来 巧记口诀：最关键，找端点，点轴距离数格算；细心找准对称点，有序连点图形现
课后提升
运用轴对称图形特点补画图形： 例：请在右图中再画一个相同的小正方形，使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴，你能找到几种？
运用镜面对称原理解决生活中实际问题：实际时间+镜面时间=12时 例：小李在镜子中看到身后墙上的钟，实际时间最接近8时的是( )
镜面对称特点： 上下不变、前后不变、 左右相反。
4.轴对称图形的平移
平移方法：1.找出原图关键点(或关键线段) 2.按要求格数平移关键点(或关键线段)，并描出对应点或线段。 3.按原图形连接连接对应点或线段
平移特点： 物体平移后大小、方向、形状都不变，只是位置发生变化
注意：图形平移几格并不是指两个图形之间相距几格，而是指原图形的关键点与平移后的图形的对应点之间的距离
课后提升
用平移解决实际问题： 例：如图BC垂直于地面，高度5.076m，要在AC上建造台阶，如果每级台阶的高度不超过20cm，那至少要建多少级台阶？
例：如图一块边长为8m的正方形土地,上面修了横竖各两条道路,宽都是1m, 空白部分都种上草皮,请利用平移知识求出种草皮的土地面积
5.复杂的图案设计
应用平移或轴对称设计图案，要先选好基本图案，平移要确定好平移的格式和方向；轴对称要确定好对称轴，选好关键点或线段
平移、轴对称是设计图案的常用方法，可单独也可同时使用，但并不是所有的图案都一定要运用这两种方法，非对称也是一种美
课后提升
如图所示，4盏霓虹灯安装在大正方形的4个小正方形框里，3秒后，上下的灯互换图案，又过了3秒，左右的等互换图案，…，重复这样的变化规律．请画出经过1分钟霓虹灯的排列图案．
第三单元：倍数和因数
1.倍数和因数
意义：如果a x b= c(a,b,c均为非零的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数
倍数和因数的关系：倍数和因数是乘法算式中积和乘数的关系，是两个不同但又相互依存的概念，没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数，应该说谁是谁的倍数或因数，就像父子关系。
0的特殊性：在自然数中，0是一个特殊的数，0乘以任何数都等于0，0是任何一个非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。所以讨论它没有太大意义，一般排除。
倍和倍数的区别：倍的概念比倍数广，倍适用于小数、分数、整数；而倍数只是相对于因数而言的，只适用于0除外的自然数；例：0.9x2=1.8不存在倍数和因数的关系
找倍数
列乘法算式找倍数 例：7,14,17,25,77哪些数是7的倍数？ 用7分别和自然数1，2，3...相乘，所得到的积都是7的倍数
课后提升
找一个数的倍数，用“列乘法算式”的方法简单； 判断一个数是不是另一个数的倍数，用“列除法算式”方法简单
列除法算式找倍数 例：7,14,17,25,77哪些数是7的倍数 用上面的数分别除以7，能整除的那个数就是7的倍数
课后提升
用归纳法解决倍数问题：如果两个数是同一个数的倍数，那么这两个数的差或和也是这个数的倍数 例：36是6的倍数，24是6的倍数，36与24的差(和)是6的倍数吗？
用于倍数知识解决实际问题 例：五一班进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班多少人吗？（48人）
倍数表示法：
1.列举法：从这个数本身写起，从小到大，逗号分隔，末位省略号代替 例：7的倍数：7，14，21，28，35，...
2.集合法：画一个椭圆，在椭圆上或下面写上“*的倍数”表示它的倍数的集合，椭圆内和列举法一样的写法
倍数的特征：一个数的倍数的个数无限，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数
找因数
利用拼长方形的方法（面积=长x宽）类推出找因数的方法，例如找12的全部因数
列乘法算式找因数，从自然数1找起，一对一对的找，看看那两个数的乘积是这个数，它们就是这个数的因数。
列除法算式找因数，看看这个数可以被哪些数整除，这些除数和商就是这个数的因数
因数表示法：
1.列举法：把该数的因数按从小到大的顺序排列起来，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完后加句号 例：18的因数：1，2，3，6，9，18。
2.集合法：画一个椭圆，在椭圆上或下面写上“*的因数”表示它的因数的集合，椭圆内和列举法一样的写法，但末尾不加句号。
因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身
课后提升
用因数和倍数知识解决问题(先找出全部因数，再从因数中找倍数) 例：有一个数，既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是？(5,10,20,40)
2.2/5/3/9的倍数的特征
2/5/3/9的倍数的特征： 个位是2,4,6,8,0的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数； 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数((能被3整除))，这个数就是3的倍数； 一个数各个数位上的数字之和是9的倍数((能被9整除))，这个数就是9的倍数; 一个数是9的倍数，那么这个数一定是3的倍数，但是3的倍数不一定是9的倍数
课后提升
用集合法解决找倍数问题 例：用0，5，6组成的三位数中，2的倍数的数有哪些？5的倍数的数有哪些？既是2的又是5的倍数有哪些？(每个数字只能用一次)(506,560,650；560,650,605；560,650)
根据特殊数字的倍数特征解决复杂找数问题。例：同时是2、3、5、9的倍数的两位数是( 90 )，最小的三位数是(180 )
运用列表法解决组数问题 例：5口口0是有两个相同数字的四位数，它同时是2，3，5的倍数，这个四位数最大时多少？最小是多少？（5880，5010）
3.奇数和偶数
是2的倍数(能被2整除)的数叫偶数，可用2a(a是自然数)表示，不是2的倍数的数叫奇数，可用2a+1表示
自然数中，最小的偶数是0；最小的奇数是1，没有最大的偶数和奇数，其个数都是无限的
1.在连续自然数中，奇、偶数不断交替出现的；两个连续自然数中必有一个奇数和一个偶数 2.奇数+奇数=偶数；偶数+奇数=奇数；偶数+偶数+...+偶数=偶数。 3.奇数-奇数=偶数；偶数-奇数=奇数；奇数-偶数=奇数。 4.相邻的两个偶数（或奇数）相差2。 5.n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数；算式中有一个是偶数，则乘积是偶数 6.奇数的个位是1、3、5、7、9；偶数的个位是0、2、4、6、8。 7.奇数除以2余数为1。
课后提升
运用相邻偶数排列特点解决实际问题。例：五个连续偶数的和是100，其中最大的一个偶数是多少？（24）
运用奇偶数排列规律解决实际问题 例：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，求前100个数中，有多少个偶数？（33个）
4.质数和合数
非零自然数分为三类：质数、合数和1； 1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）如2，3，5，7 2.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，如4，6，8，10 3.1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数
最小的偶数是0, 最小的奇数是1；最小的质数是2, 最小的合数是4；
判断一个数是质数还是合数的方法： 1.看这个数的因数的个数，只有1和它本身两个因数的数是质数，其他的是合数； 2.用所有比这个数小的质数从小到大依次去除这个数，若有余数就是质数，否则就是合数
课后提升
根据质数特征解决实际问题 例：用0,1,4,5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数分别是？(5, 401)
根据质数和奇偶数的关系解决知和求积问题。例：三个不同的质数相加的和是82，这三个质数相乘的积最大时多少？(2x37x43=3182)
分解质因数： 每一个合数都可以由几个质数相乘得到，把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫分解质因数，例：30=2x3x5，其中2，3，5每个质数都是30这个合数的因数，叫做这个合数的质因数；如果这个合数是偶数(质数相乘的积)，那么它的这几个相乘的质因数里一定有2
课后提升
用分解质因数的知识解决实际问题： 例：刘小华是一名五年级学生,他参加数学竞赛，赛后小华说:"我的分数和名次、年龄都是质数,它们的乘积是2134,"你知道他的成绩和名次各是多少吗? （2134=2*11*97）
质数×质数=合数；合数×合数=合数；质数×合数=合数； 除2以外所有的质数都是奇数；除2以外任意两个质数的和都是偶数
100以内质数歌
二三五七和十一； 十三后面是十七； 还有十九别忘记； 二三九,三一七； 四一四三,四十七； 五三九,六一七； 七一,七三,七十九； 八三,八九,九十七
第四单元：多边形的面积
1.方格子纸上 比较图形面积
数方格法： 比较图形所占的方格数量，直观但有局限性
重叠法： 借助平移或沿对称轴对折，观察两个图形重叠情况，重合面积相等，否则较大图形的面积大。
分割移补法： 两个图形形状不同，不能完全重合时，可以把图形进行分割、移补，变成相似的图形再比较
拼组法： 把两个图形拼组在一起，看是否与其他图形相同
注意：图形使用割补法可以保证图形的面积不变，但是可能会改变图形的周长；另外两个图形的面积大小与他们的形状没有关系。
课后 提升
运用分割法解决复杂的图形面积问题 例：航航用七巧板拼成一个大正方形，他量出这个大正方形的边长是10cm，七巧板中平行四边形(阴影)的面积是多少？
运用长方形和正方形面积和画图法解决问题： 例：刘老师搬进新居，她去超市买了一块长9m、宽4m的地毯，回来后把它剪了两次，拼成一款正方形的地毯，应该怎样剪拼？
2.认识底和高
梯形的底和高： 梯形中相互平行的两条边为梯形的上底和下底，上底和下底直接的垂直线段就是梯形的高，梯形有无数条高。
平行四边形的底和高： 从平行四边形一条边上的任意一点向它的对边画一条垂直线段，就是平行四边形的高，这条对边就是这条高所对应的底。平行四边形有无数条高；在平行四边形中，底和高是相对应的，有两组对应的底和高
三角形的底和高： 三角形每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是对应的底和高。三角形都有三条高。注意锐角、直角和钝角三角形他们三条高的位置（内部、直角边、外部）。
3.图形高的画法
梯形：在梯形的上底或下底任意找一点，从这个点向对边的底画垂线，两底之间的垂直线段就是梯形的高
平行四边形：以任意一边为底，从对边上的一点向底边画垂线，两边之间的垂直线段就是平行四边形的高
三角形：以任意一边为底，从底边所对顶点向底边画垂直线，顶点和底边之间的垂直线段就是三角形的高
注意：画高时用虚线，并标注上垂直符号
画给定底和高的平面图形：先画给定的底，再根据底确定给定的高，最后画其他边，等底等高的同一种图形可以画出无数个
课后 提升
用画图或逆推法解三角形剪拼成正方形问题。例：哪种三角形沿高剪开后能拼成正方形？(等腰直角三角形特点：以斜边为底时所对应的高正好时斜边的一半，这是解题关键)
用画图法解图形分割问题。例：把一个平行四边形剪成两个完全相同的图形，且没有剩余，可以剪成几种规则的图形？（3种剪法）
4.图形面积的计算
平行四边形面积=底 x 高，字母表示：S=ah；a=S÷h; h=S÷a（要用一组对应的底和高）
一个平行四边形，如果形状发生了变化，周长不变，但面积会变化，因为它的高发生了变化，形状越接近长方形，面积越大
在同一个平行四边形中，不同的底和它对应的高的乘积相等，都等于平行四边形的面积，用该特点可灵活解周长和面积关系的问题。
用分割法解决图形面积问题： 例：平行四边形ABCD的面积是48平方厘米，E、F分别是BC,CD的中点,求图中阴影部分的面积（42平方厘米）
用假设和方程解图形面积问题： 例：平行四边形ABCD的面积是48平方厘米，E、F分别是上下两边的中点,求图AECF的面积（42平方厘米）
三角形面积=底 x 高 ÷ 2，字母表示：S=ah÷2； a=Sx2÷h；h=Sx2÷a；（只有大小、形状完全相同的两个三角形才能拼成一个平行四边形，面积相同的三角形并不一定可以拼成）
在画钝角三角形钝角边上的高时，因高在三角形外，需画延长线延长底边，但钝角三角形的面积与底边的延长线的长度无关。
抓不变量法解三角形面积： 例：一个三角形，如果高增加8厘米，底不变，则面积增加20平方厘米；如果高不变，底减少4厘米,则面积减少28平方厘米。求原三角形面积？(35平方厘米) 三角形的高和底增加或减少时的关系： 增加(减少)的底 x 高(不变)÷2=增加(减少)的面积；增加(减少)的高 x 底(不变)÷2=增加(减少)的面积
用剔除法或分割法解决图形面积问题： 例：求图中阴影面积(54平方厘米) 1、剔除法：两个正方形剔除掉两个空白三角形的面积 2、分割法：把阴影部分分割成两个三角形并计算面积后相加
梯形面积=(上底+下底) x 高 ÷ 2， 字母表示：S=(a+b) x h÷2；只有完全相同的两个梯形才能拼成平行四边形
运用各图形具有相同的高或底求图形面积： 例：如图阴影部分的面积是24平方厘米，求梯形面积 （38平方厘米）
用代换法求梯形面积（把阴影换成可求的其他图形）： 例：三角形ABC和EFD是完全相同的直角三角形，如图把他们叠放在一起，求阴影面积（7平方厘米）
第五单元：分数的意义
1.分数的意义
整体1的含义：一个物体或者一些物体都可以看作一个整体，这个整体可用自然数1表示，叫做整体1
分数意义：把一个整体平均分成若干份，其中一份或几份可用分数表示，写作1/m或n/m(m,n为自然数且m≠0)；分子表示所取的份数，分数线表示平均分，分母表示把这个整体1平均分成的总份数
根据分数所表示的数量可以求出对应的整体数量，分母是几，整体就被平均分成几份；同一个分数对应的整体越大，表示的具体数量就越大；同一个分数表示的具体数量大，对应的整体就大；
判断分数所表示的具体数量大小时，除了要看分数本身的大小，还要看所对应的整体1的大小；例：有甲乙两个正方形，乙正方形面积的1/2一定大于甲正方形面积的1/4吗？
整体1的变换。例：小红看一本书，第一天看了它的1/4，第二天看了剩下的1/4，她两天看的页数一样多吗？哪天看的多？
2.分数单位
把整体1平均分成若干份，取其中的一份的数，叫做分数单位, 即分子是1，分母是正整数的分数，又叫单位分数，记为1/m
分数单位的大小：分母越大，分数单位越小；分母越小，分数单位越大
一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，这个分数里就有几个分数单位
画线段解分数问题，例：小明邮票数的1/4是8张，小刚邮票数的1/3是9张，那谁的邮票多？
分母相同的分数，其分数单位相同；分母不同的分数，分数单位不同
3.真/假分数
真分数：指大于0小于1的所有分数，分母大于分子；为表示“用自然数无法数的比1小的连续量”而发明了分数，真分数就像一开始发明分数的理由一样，用来表示小于1的量
假分数：分子大于或者等于分母的分数，假分数大于1或等于1；任何非零的整数都可以写成分母是1的假分数
例：用数字1，4，8，9分别组成最大/最小的带分数，最大/最小的真分数(不重复)
例：一个分数，分子和分母的和是30，分子增加8后，分数值就等于1，原分数是
带分数(也是假分数)：由整数(≠0)和真分数合成的数，带分数是假分数的另一种书写形式，读作几又几分之几；分数只分两类：真分数、假分数
4.分数与除法
分数与除法关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值就是商
分数不但可以表示部分与整体的关系，也可表示具体数量，表具体数量要加单位
带分数化为假分数：用整数与分母的乘积再加上原来的分子作为分子，分母不变. 假分数化为带分数：分子除以分母，如果没有余数就化为整数，如有余数，化为商又余数/分母
逆推法接分数互化：例：一个带分数，它分数部分的分子是3，把它化成假分数后，分子是28，这个带分数可能是
求一个数是另一个数(≠0)的几分之几：用一个数除以另一个数得到的商就表示两个数的关系，没有单位名称
把2m长的绳子平分5段，每段是全长的();每段绳子是()m
除法和分数虽然有一定联系，但代表的意义不同，不能说两者意义一样或者相同，比如
分析法解周期排列问题：有红、白、黑三种颜色的珠子共89颗，按1颗红、3颗白、2颗黑的顺序循环排列，三种珠子数量各占全部珠子的几分之几？
5.分数基本性质
分数基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变，用不同图形方格涂色理解分数的基本性质
解分数值不变问题：一个分数是16/20,如果把它的分子减去12，要使它大小不变，那么分母应该减去多少？
根据分数基本性质，可把一个分数化成无数个和它相等的分数
逆推法解复杂分数：一个分数，分母比分子大25，分子分母同时除以一个不为零的数后得4/9，原分数是?25÷(9-4)=5->20/45
6.找最大公因数
几个数相同的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫作它们的最大公因数 求几个数的公因数和最大公因数：先分别找出它们各自所有的公因数，再从中找出两个数的公因数，其中最大的一个就是它们的最大公因数
公因数表示 1.例举法：12和18的公因数有1，2，3，6；12和18的最大公因数是6； 2-集合法：
运用转化法解分物问题（求几个数的公因数，最大或最多的份数，就是求这几个数的最大公因数） 例：若把110块糖平均份给全班同学，则多出5块；若把210块糖平分给全班同学，则正好分完，若把240块糖平均分给全班同学，则少5块，那该班最多多少人(105,210和245的最大公因数35)
用最大公因数和植树策略：例：桥头公园有一个三角形的喷水池（三条边分别是48dm、72dm、56dm），设计师想在喷水池的三条边上等距离地插红旗(三个订单各插一面)，至少要准备多少面旗？(间距是三边的最大公因数(48+72+56)÷8=22)
7.约分与最简分数
约分：把一个分数的分子、分母同时除以它们的公因数，分数的大小不变，这个过程叫约分
最简分数：分子、分母只含有公因数1，不能再约分了，这个分数就是最简分数；在以后的计算中，如没有特殊要求，计算结果一般都要化成最简分数
拓展：分子和分母是两个相邻自然数(≠0)d的分数一定是最简分数；分子和分母是两个不同质数的分数一定是最简分数
约分的方法： 逐次约分法：用分子和分母的公因数(1除外)逐次去除分子和分母，直到得出最简分数 一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母，直接得到在最简分数
约分 书写 格式
约分技巧： 1.当分数的分母是分子的倍数时，分子和分母同时除以分子，约分得到分子是1的最简分数 2.当分数的分子和分母都是整百、整十数时，可先划去分子、分母末尾同样多的0，再约分 3.当分数的分子和分母比较大，难以一次约分时，可考虑能否用2,3,5,7逐次约分 4.遇到带分数约分时，整数部分不变，只把它分数部分约分即可
当分数的分子、分母加上或减去同一个数时，分子和分母的差不变： 例：分数5/13的分子、分母加上同一个数，约分后得到1/2，加上的这个数时多少(3)
逐步倒推法解约分还原： 例：把一个分数约分，用2约了两次，用5约了一次，约成最简分数5/6，求原分数(100/120)
8.找最小公倍数
几个数的公有倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作它们的最小公倍数； 因一个数的倍数无限多，所以若干个数的公倍数也无限多，只有最小的公倍数没有最大的公倍数； 当较大数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是那个较大的数,例：3和24的最小公倍数是24
公倍数表示： 1-列举法：4和6的公倍数有12,24,36,... 4和6的最小公倍数是12； 2-集合法：
两个数的最小公倍数求法： 1-列举法：先写出这两个数各自的倍数，再从中找出它们的公倍数和最小公倍数； 2-试除法：先写出这两个数中较大数的倍数，再用这些倍数从小到大的依次除以较小数，第一个除以较小数没有余数的的数就是它们的最小公倍数，例：找10,15的最小公倍数(30)
用转化法求最小公倍数；例：小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次分组每组5人也余下2人，那最少有多少人做游戏？(22)
用最小公倍数解实际问题；例：马路的一侧从头到尾有106棵树，原来每相邻两棵树之间距离是9m，现在改成相邻两棵树间距为15m，那有多少树不需要移动？(945÷45+1=22)
9.分数大小与通分
两个异分母分数比较大小方法：1-画图比较大小；2-化成同分母分数比较大小
通分含义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等且分母相同的分数，这个过程叫通分，根据分数的基本性质可知，通分目的是统一分数单位，不改变分数的大小。
用通分逆推面积大小(注：占哪个图形的面积越大，这个图形的面积反而越小) 例：一个正方形的面积占一个三角形面积的4/11，占梯形面积的1/8，占平行四边形面积的8/9，请比较这四个图形的大小？(正<平<三<梯)
通分方法：用原来几个分数分母的公倍数作为公分母，通常选用最小公倍数作公分母(最小公分母)，再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数
当分子和分母比较大且分数值接近1时，可用'1'减的方法比较分数大小；例：比较大小
通分和约分的异同点： 1-相同点：都是根据分数的基本性质，保持分数的大小不变； 2-不同点：约分是对一个分数进行的，通分至少对两个分数进行；约分是分子分母同除以一个不为0的数，通分是分子分母同乘一个不为0的数
第六单元：组合图形面积
组合图形面积算法
计算组合图形面积：运用分割、割补、添补等方法，把组合图形转化成简单的规则图形，然后分别计算规则图形面积，再通过加、减计算出原图形的面积；做分割、添补时要画虚线 1.分割法：将组合图形进行合理分割，分割成几个规则的图形 2.割补法：割下组合图形不规则的部分，补在适当的位置，形成规则的图形 3.添补法：将组合图形所缺失的部分进行添补，组成规则图形
采用哪种方式分割图形，要考虑是否有足够已知条件求分割后图形的面积，并要考虑哪种计算更简便
用割补法求不规则图形面积 例：如图四边形ABCD的面积是25平方厘米，如果AD=CD，DE=BE，AE=2.5厘米，那四边形BCDE的面积是多少(18.75)
用等量代换法求阴影面积 例：如图四边形ABCD是边长10厘米的正方形，三角形ABF的面积比三角形CEF的面积大20平方厘米，求阴影部分面积（30）
面积单位公顷
公顷：是测量和计算土地面积的常用单位，边长100m的正方形面积是1公顷，即1公顷=10000平方米 公顷和平方米换算：可直接移动小数点，平方米换公顷小数点向左移动四位；公顷换平方米小数点向右移动四位
面积单位平方千米
平方千米：平方千米是比公顷还大的面积单位，边长是1000m的正方形面积是1平方千米，即1平方千米=1000000平方米=100公顷
用分割法解土地面积 例：一块长1700m,宽1500m的长方形耕地，退耕还林后长减少了500m,宽减少了300m,现在的耕地面积比原来减少了多少公顷（111公顷）用两种算法
用转化法解复杂面积： 例：下图正方形ABCD和正方形DEFG是人造林地，三角形CDH这块地已经种植了松树，已知三角形AFH这块地面积是7平方千米，求说种植松树的这块地的面积是什么？（7，设两个正方形边长为a,b，通过列公式可知梯形和大三角形面积相等）
第七单元：可能性
等可能性与游戏规则的公平性
等可能性：像抛硬币那样，正面和反面朝上的可能性随机且相等，即事件发生的可能性相等，就是等可能性
判断一个游戏规则是否公平，可以找出所有可能出现的情况，若每种情况出现的可能性相等，则公平，否则不公平
判断是否等可能性，要客观仔细，把影响可能性大小的因素考虑全面： 例：抛一枚瓶盖，盖面朝上和朝下的可能性就不相等，因为瓶盖构造不均匀，重心偏向盖面，盖面朝下的可能性更大
游戏规则公平，可能性相等，但由于随机现象的不确定性，并不表示实际的结果相等 例：口袋有黑白各10枚棋子(除了颜色不同，其他完全一样)，从中任意摸出一枚，摸完后放回，虽然摸出黑棋子和白棋子的可能性是相等的，但不一定刚好摸出5枚黑棋和5枚白棋
用列表法判断游戏规则是否公平；例：一班和二班进行足球比赛，两班的队长用“剪刀、石头、布”决定哪个班先开球公平吗（列表各种可能性，判断获胜、平手、失败可能性双方是否相等）
用枚举法和数的奇偶性判断游戏规则是否公平；例：淘气和笑笑一起玩卡片游戏，他们把标有数字1，2，3，4的四张卡片面朝下扣在桌面并打乱，每次任意摸出两张，两张卡片上的数字相加之和是奇数算淘气胜，如果是偶数算笑笑胜，游戏规则是否公平(各个数字分别两两相加，看结果出现偶数和奇数的可能性不同，则不公平)
可能性的大小与物体数量的关系
事件发生的可能性的大小能反映出物体数量的多少，可能性越大，对应的物体数量可能就越多，可能性越小，对应的物体数量可能性就越少。
运用分数知识解不确定问题 例：小李和小张要参加围棋比赛，小李以往历次参加比赛的总成绩是12胜7负，小张历次参加的总成绩是18胜10负，这次比赛谁获胜的可能性更大？
运用列举法和排列组合解可能性大小问题 例：一个口袋里装有3条除颜色外其他都相同的手帕（1蓝、2红），闭上眼睛，从口袋一次摸出2条手帕，摸出1蓝1红的可能性大，还是摸出2红的可能性大？(1蓝1红)
随机现象虽然对于个别试验无法预知结果，但如果在相同条件下进行大量的重复试验时会呈现规律性，称为随机现象的统计规律 例：盒子里有红黄两种颜色的球，但不知道哪种颜色多，可以根据重复从箱子里摸出的红球或黄球的数量统计，猜测哪个多，但只有通过大量重复试验才能推测可能性，如果只是摸一两次就判断谁多是错误的。
六、 五年级下
1. 倍数与因数
因数与倍数的关系
因数与倍数是相互依存的，不能单独存在。
2的特征
个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数（即能被2整除的数——偶数）。
5的特征
能够整除个位上是0或5的数，如:55、10。
3的特征
如果各数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。如:33、93。
公因数
两个数公有的因数，叫做它们的人公因数;其中最大的一个公因数,叫做它的最大公因数。
公倍数
两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数;其中最小的，叫做它们的最小公倍数。
质数与合数
质数（素数）
除1和它本身外还有别的因数的数,至少有3个因数。如:4、9。
合数
只有1和它本身两个因数的数。
1
1既不是质数也不是合数
2. 分数
分数的意义
真分数
分子比分母小的分数叫做真分数，真分数<1。
假分数
分子比分母大或者相等的分数叫做假分数，假分数>1。
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。——这叫做分数的基本性质。
出发算式中商不变的性质
约分
把一个分数化成同它相等，且分子、分母都比原来小的分数的过程是约分。
找分子与分母的最大公因数
通分
把几个分母不相同的分数，分别化成和原来分数相等并且分母相同的分数的过程是通分。
找分子与分母的最小公倍数
最简分数
分子、分母只有公因数1,即分子与分母互质的分数，这样的分数是最简分数。
分数与小数
分数与小数的互化
3. 长方体 正方体
长方体
6个面，12条棱，8个顶点；12条棱按长度可以分成3组，4条长，4条宽，4条高；相对的两个面完全相同。
表面积
体积
正方体
正方体有6个面（都时相等的正方形），12条棱（都相等），8个顶点；正方体的12条棱一样长。
表面积
体积
体积与体积单位
常用的体积单位有:立方厘米、立方分米、立方米、毫升和升，分别写作cm³、dm³、m³、L、mL。
相邻体积单位之间的进率是1000，大单位化小单位除以进率，小单位化化大单位。
1cm³＝1mL ， 1dm³＝1L， 1L=1000mL
4. 分数加减法
分数加减法
同分母：分母不变，分子相加减。
异分母：先同分，再加减。
分数加减混合运算
整数加减法的性质对分数加减法的性质同样适用。
探索规律
看图找规律。
5. 折线统计图
优点
能够更形象的反应出数据的变化趋势
6. 图形的运动（旋转）
旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
旋转的特征：旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有变旋转的方向与角度相同。
旋转的性质;旋转后图形的形状、大小不变，只是位置变了。
七、 六上数学
分数乘法
分数乘整数
整数乘分子做分子分母不变，能约分的要约分
分数乘分数
分子成分子，分母成分母，能约分先约分再计算
分数乘小数
小数与分数的分母能约分，先约分再计算，不能约分的，一般把小数化成分数计算
分数四则混合运算
有括号的先算括号里面的再算括号外面的，没有括号的先算乘法再算加减法
整数乘法运算定律推广到分数
整数乘法的交换律结合律分配律同样适用于分数乘法
位置与方向（二）
描述两个物体之间的位置
确定某个点的位置方向，距离两个条件缺一不可
画两个物体之间的位置
用量角器确定方向，标出角度，再根据定的单位长度确定图上距离，最后标出点的名称角度距离
两个物体之间的位置关系具有相对性
方向相反，角度相同，距离相等
分数除法
倒数
1.乘积是1的两个数，互为倒数，互为倒数的两个数是相互依存的
2.互为倒数的两个数的特征，乘积是1，分子与分母互换
3.1的倒数是1，0没有倒数
4.求一个数倒数的方法： 只有分子和分母的最简分数时，交换分子和分母的位置
计算方法
1.把除号变成乘号，除数变成它的倒数。（变号变倒数）
解决问题
1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数
2.已知比一个数多或少几分之几的数是多少？求这个数
3.已知两个量的和差及两个量的倍分关系，求这两个量
根据数量关系列方程解答
4.利用抽象的“1”解决问题
把工作总量看做单位“1”，用用单位时间内完成工作总量的几分之一，表示工作效率，根据工作总量、工作效率、工作时间，这个关系进行解答
比
比的意义
两个数的相处也叫两个数的比
求比值
比的前项除以后项所得的商叫做比的比值
比的基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同数（0除外)比值不变
化简比
最简单的整数比
应用
按比分配问题
把比看成份数
把比转换成分数
圆
画圆
1.定点（中心点，也就是圆心，用字母表示，确定位置）
2.定长（确定圆规的两只脚的距离，是圆的半径，用字母r表示）
3.转一周（圆规的针钉脚固定，铅芯脚转一周）
圆的各部分
1.圆心：圆的中心点，用字母o表示
2.半径：圆心到圆的距离，用字母r表示
3.直径：两端在圆上并通过圆的线段，用字母d表示
圆的特征
1.圆有一个圆心一条封闭曲线，无数条半径，无数条直径
2.同圆半径相等，直径相等
3.直径的长度是半径的两倍，半径的长度是直径的一半
圆的周长
1.圆的周长的意义：围成圆的封闭曲线的长度
2.圆的周长是直径的3倍多一些
3.圆的周长与直径的商是一个固定的数叫圆周率，用π表示，π→无限不循环小数在计算时取3.14
4.圆的周长＝圆周率×直径 C＝πd＝2πr
圆的面积
1.推导：将一个圆形平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平均分成的份数越多，越近似一个长方形。长方形的长是圆形周长的一半，长方形的宽是圆形的半径，圆周长的一半乘圆的半径就等于圆形的面积。
2.面积公式：S=πr²或S=π*（d/2)²。
3.不规则图形的面积计算
1.外方内圆（正方形里剪一个最大的圆）：a²-3.14×（a/2）²
2.外圆内方（圆内剪一个最大的正方形）：πr ²-2r²
3.圆环的面积：大圆的面积减去，小圆的面积。S环＝π（R²-r²）
扇形
1.弧：圆上两点之间的一段叫弧
2.扇形的结构：有两条半径和两条半径所夹的一段弧围成
3.扇形有一个圆心角，两条半径，一段弧
4.扇形的大小与圆心角的大小有关，与半径的大小有关
数学广角-数与形
运用树形结合发现图形的规律
运用数形结合发现算式的规律
数形结合
扇形统计图
认识扇形统计图
特点
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形表示各部分数量占总数的百分比
作用
可以很清楚地表示出各部分数量与总数之间的关系
应用
根据扇形统计，图中各部分与整体的关系解决问题
选择适合的统计图
要清楚地看出个数量的多少，选用条形统计图
要表示数量的增减变化情况，选用折线统计图
要表示各部分数量与总体之间的关系，选用扇形统计图
百分数（一）
意义
一个数占另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比，百分率表示，两个量之间的关系，不带单位
读法
先读百分号，读作“百分之”，再读分子，分子是多少就读多少
写法
先写分子，再在分子的后面添上百分号。百分号先写左上角的小圆，再写到再写右下角的小圆
互化
把百分数写成分母是100的，分数能化简就化简成最简分数:百分数化分数
把小数点向左移动两位,去掉百分号:百分数化成小数
应用类型
常见百分率
出勤率
合格率
发芽率
成活率
出粉率
求一个数的百分之几是多少？
求一个数比另一个数多或少百分之几
求比一个数多或少百分之几的数是多少？
变化幅度问题
先涨后降
先降后涨
把未知量假设成“1”
数形结合
把未知量假设成“1”
根据数量关系列方程解答