固体物理 第三章晶格振动与晶体的热学性质

第三章固体物理中，讨论了晶格振动和晶体的热学性质。晶格振动是指晶体中原子、离子或分子围绕其平衡位置做小振幅的运动。以下是对该章节内容的简述： 1、晶格振动 2、声子 3、声子色散关系 4、热学性质 5、热容 6、热导率 7、热膨胀系数 8、晶格振动谱的实验方法 通过研究晶格振动和晶体的热学性质，我们可以理解晶体在不同温度条件下的行为，以及其在热学和材料科学领域的应用。这些知识对于热传导、热稳定性、热膨胀补偿等方面的工程设计和材料性能优化都具有重要意义。

晶格振动与晶体的热学性质

• 一维晶格振动
  • 一维单原子链的振动
    • 原子的振动方程
    • 弹性恢复力系数
    • 给出试探解
    • 将试探解代入振动方程得振动频率，即色散关系 (晶格振动谱)
    • 色散关系图
    • 再由由玻恩—卡门周期性边界条件
    • 波矢q的取值
      • • 晶格振动波矢只能取分立的值 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
    • 长波极限
      • • 在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波
    • 解题步骤
  • 一维双原子链的振动
    • 只考虑最近邻近似的振动方程
    • 试探解
    • 代入试探解取系数行列式为0，得色散关系
    • 色散曲线
    • 由玻恩—卡门边界条件
      • • 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N，
        • 格波振动频率数目=晶体的自由度数，
        • 格波的支数=原胞内原子的自由度数。
    • 声学波和光学波的长波近似
      • • 在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似
    • 声学波和光学波的意义
      • 长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动。
      • 长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
• 三维晶格振动
  • 色散关系
    • 意义
      • 当确定了色散关系的时候，一个体系的原激发（即准粒子的性质），被完全确定
      • 色散关系就完全确定了这个固体某个部分的性质
      • 确定粒子的色散关系就完全确定了粒子的性质和宏观热力学量
      • 晶体振动频率随着波矢的变化（从量子的角度，就是能量——动量关系）
  • 波矢q的取值和范围
    • 三维情况（设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子,m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n是原胞中原子的数目。）
      • 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N，
      • 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，
      • 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
• 能量量子化、声子
  • 能量量子化
  • 声子
    • 格波(晶格振动)的能量量子------声子
    • 说明
    • 在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态。
• 确定晶格振动谱的实验方法
  • 中子的非弹性散射
  • 光的散射和X射线散射
    • (1)布里渊散射：光子与长声学波声子的相互作用；
    • (2)拉曼散射：光子与光学波声子的相互作用；
    • (3)斯托克斯散射：散射频率低于入射频率的散射；
    • (4)反斯托克斯散射：散射频率高于入射频率的散射。
  • 拉曼散射
• 晶体的非简谐效应
  • 前言：晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象
  • 热膨胀
  • 晶体的物态方程
    • 根据统计物理，出发点是配分函数
  • 热传导
• 晶体的比热
  • 一般理论
    • 杜隆—珀替定律(经典理论)
      • 低温时经典理论不再适用
  • 晶格振动的量子理论
    • 爱因斯坦模型
      • 假设
        • (1)晶体中原子的振动是相互独立的；
        • (2)所有原子都具有同一频率w。
      • 高温极限符合，低温极限不符合
        • 高温
        • 低温
          • • 具体计算表明，在低温情况下，格波的频率很低，属于长声学波，也就是说，在甚低温度下，晶体的比热主要由长声学波决定。因此爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合。
      • 爱因斯坦模型部分成功的原因
        • 近似为一个常数频率歪打正着撞到了频率变化很小的光学波
        • 高温极限下，单个光学波、声学波的贡献是一致的，因此可对所有振动模频率作常数近似
    • 德拜模型
      • 假设
        • （1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波；
        • （2）声学波有一支纵波两支横波；
      • 频率分布函数(模式密度)
        • 波矢密度
          • 一个波矢q所占据的倒格原胞的体积是多少呢？用一整个倒格矢原胞的体积除以波矢数量啦！
            • 正格矢与倒格矢原胞的体积之积等于（2*pi）^3
        • 一维、二维、三维晶格振动模式密度计算
      • 比热表达式
      • 高温极限
      • 低温极限
      • 在极低温度下，比热与T3成正比，这个规律称为德拜定律。温度越低，理论与实验吻合的越好，德拜模型是成功的
• 黄昆方程
  • 长光学波
    • 离子晶体的光学波描述原胞中正负离子的相对运动。它伴随着极化并与电磁波有强烈的相互作用，并影响长光学模的频率，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响。
    • 离子晶体的极化由两部分贡献构成
      • 离子位移极化:是正负离子的相对位移产生的电偶极矩，这种极化称为离子位移极化，用e*u表示； u为正负离子的相对位移， e*为离子的有效电荷。
      • 电子位移极化:是离子本身的电子云在有效电场作用下发生畸变，即离子本身也成了电偶极子，这部分的极化为电子位移极化。
  • 黄昆方程
    • • 黄昆方程是唯象方程，第一个称为运动方程，第二个称为极化方程。
      • W是折合位移
    • LST关系：表示光学波的纵波频率与横波频率之间存在非常简单的关系
      • • 低频介电常数总是大于高频介电常数，故纵光学波频率ωLO总是大于横光学波的频率ωTO
        • 由于长光学纵波伴随有一个宏观电场，增加了恢复力，从而提高了纵波的频率
    • 方程意义
      • 成功解释了离子晶体中长光学横波与光子的耦合
      • 成功解释了长光学波和电磁波的耦合
  • 极化激元
    • 用黄昆方程结合麦克斯韦方程组就可以求解色散关系， 在耦合中，会产生所谓极化激元
    • 极化激元（polaritons）是由光和物质强耦合作用产生的一种“半光-半物质”准粒子，能够突破衍射极限将光场压缩聚焦到很小的尺度，实现奇异的微纳光学现象和重要应用。